人教A版數(shù)學選修2-1講義第3章章末復習課Word版含答案

空間向量的基本概念及運算【例1】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①eq\o(SA,\s\up8(→))＋eq\o(SB,\s\up8(→))＋eq\o(SC,\s\up8(→))＋eq\o(SD,\s\up8(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up8(→))＋eq\o(SB,\s\up8(→))－eq\o(SC,\s\up8(→))－eq\o(SD,\s\up8(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up8(→))－eq\o(SB,\s\up8(→))＋eq\o(SC,\s\up8(→))－eq\o(SD,\s\up8(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up8(→))·eq\o(SB,\s\up8(→))＝eq\o(SC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))；⑤eq\o(SA,\s\up8(→))·eq\o(SC,\s\up8(→))＝0.其中正確結(jié)論的序號是________．③④[容易推出eq\o(SA,\s\up8(→))－eq\o(SB,\s\up8(→))＋eq\o(SC,\s\up8(→))－eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，所以③正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up8(→))·eq\o(SB,\s\up8(→))＝2·2·cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up8(→))·eq\o(SB,\s\up8(→))＝eq\o(SC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))，因此④正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是③④.]1．空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的三個向量作為基向量，并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運算法則表示所需向量．2．空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其變式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)是兩個重要公式．(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問題的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影eq\f(a·b,|b|)＝|a|·cosθ等．1．如圖，已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的eq\f(3,4)分點，設(shè)eq\o(MN,\s\up8(→))＝αeq\o(AB,\s\up8(→))＋βeq\o(AD,\s\up8(→))＋γeq\o(AA′,\s\up8(→))，則α＋β＋γ＝________.eq\f(3,2)[連接BD，則M為BD的中點，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA′,\s\up8(→)).∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).∴α＋β＋γ＝eq\f(3,2).]空間向量的坐標運算【例2】(1)已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x＝()A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)(2)已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.①求向量a，b，c；②求a＋c與b＋c所成角的余弦值．(1)B[由b＝eq\f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)所以x＝(0，6，－20)．](2)解：①∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2),3＋y－2z＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．②∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋（－1）2)＝eq\r(17)，∴a＋c與b＋c所成角的余弦值為eq\f(（a＋c）·（b＋c）,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17).熟記空間向量的坐標運算公式設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)加減運算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)數(shù)量積運算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(3)向量夾角：cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2))).(4)向量長度：設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則|eq\o(M1M2,\s\up8(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).提醒：在利用坐標運算公式時注意先對向量式子進行化簡再運算．2．在空間直角坐標系中，已知點A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC一定是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，4，－8)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(5，1，－7)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(2，－3，1)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(32＋42＋（－8）2)＝eq\r(89)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(52＋12＋（－7）2)＝eq\r(75)，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝eq\r(22＋（－3）2＋1)＝eq\r(14)，∴|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2，∴△ABC一定為直角三角形．]利用空間向量證明平行、垂直問題【例3】在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由．思路探究：(1)證明向量eq\o(BM,\s\up8(→))垂直于平面PAD的一個法向量即可；(2)假設(shè)存在點N，設(shè)出其坐標，利用eq\o(MN,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→))⊥eq\o(PB,\s\up8(→))，列方程求其坐標即可．[解]以A為原點，以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，(1)證明：∵eq\o(BM,\s\up8(→))＝(0，1，1)，平面PAD的一個法向量為n＝(1，0，0)，∴eq\o(BM,\s\up8(→))·n＝0，即eq\o(BM,\s\up8(→))⊥n，又BM平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1，2，0)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(1，0，－2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD.設(shè)N(0，y，z)，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝(－1，y－1，z－1)，從而MN⊥BD，MN⊥PB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up8(→))·\o(BD,\s\up8(→))＝0，,\o(MN,\s\up8(→))·\o(PB,\s\up8(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2（y－1）＝0，,－1－2（z－1）＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)，,z＝\f(1,2)，))∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，∴在平面PAD內(nèi)存在一點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，使MN⊥平面PBD.利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系(1)線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．(2)線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直．(3)線面平行：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示．(4)線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．(5)面面平行：①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．(6)面面垂直：①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．3．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N分別在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D(1)求證：A1C⊥平面AMN(2)當AB＝2，AD＝2，A1A＝3時，問在線段AA1上是否存在一點P使得C1P∥平面AMN，若存在，試確定P[解](1)證明：因為CB⊥平面AA1B1B，AM?平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因為AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM同理可證A1C⊥AN又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN(2)以C為原點，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，因為AB＝2，AD＝2，A1A＝3所以C(0，0，0)，A1(2，2，3)，C1(0，0，3)，eq\o(CA1,\s\up8(→))＝(2，2，3)，由(1)知CA1⊥平面AMN，故平面AMN的一個法向量為eq\o(CA1,\s\up8(→))＝(2，2，3)．設(shè)線段AA1上存在一點P(2，2，t)，使得C1P∥平面AMN，則eq\o(C1P,\s\up8(→))＝(2，2，t－3)，因為C1P∥平面AMN，所以eq\o(C1P,\s\up8(→))·eq\o(CA1,\s\up8(→))＝4＋4＋3t－9＝0，解得t＝eq\f(1,3).所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(1,3)))，所以線段AA1上存在一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(1,3)))，使得C1P∥平面AMN.利用空間向量求空間角【例4】如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，CD＝BE＝eq\r(2)，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖②所示的四棱錐A′-BCDE，其中A′O＝eq\r(3).①②(1)證明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．思路探究：(1)利用勾股定理可證A′O⊥OD，A′O⊥OE，從而證得A′O⊥平面BCDE；(2)用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求兩個平面的法向量的夾角．[解](1)證明：由題意，得OC＝3，AC＝3eq\r(2)，AD＝2eq\r(2).如圖，連接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理，得OD＝eq\r(OC2＋CD2－2OC·CDcos45°)＝eq\r(5).由翻折不變性，知A′D＝2eq\r(2)，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可證A′O⊥OE.又因為OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.(2)如圖，過點O作OH⊥CD交CD的延長線于點H，連接A′H.因為A′O⊥平面BCDE，OH⊥CD，所以A′H⊥CD.所以∠A′HO為二面角A′-CD-B的平面角．結(jié)合圖(1)可知，H為AC的中點，故OH＝eq\f(3\r(2),2)，從而A′H＝eq\r(OH2＋A′O2)＝eq\f(\r(30),2).所以cos∠A′HO＝eq\f(OH,A′H)＝eq\f(\r(15),5).所以二面角A′-CD-B的平面角的余弦值為eq\f(\r(15),5).用向量法求空間角的注意點(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0°<θ≤90°，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－eq\f(π,2)或者eq\f(π,2)－〈n，a〉．(3)二面角：如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補，所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角．4．在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC.(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．[解](1)證明：設(shè)CF的中點為I