線代第五章線性變換習(xí)題

其中）習(xí)題1、實(shí)數(shù)域R上由矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中

求此線性空間的維數(shù)與一組基。（提示：習(xí)題2、在中，求一非零向量，使它在基與下有相同的坐標(biāo)，其中

習(xí)題3、在中，求線性變換

在基底

下的矩陣。

（）線性無關(guān)，并求出在習(xí)題4、在中定義線性變換

，求

在基，

習(xí)題5、設(shè)T是n維線性空間V上的線性變換，如果

，但

，求證

基底下的矩陣。

習(xí)題6、設(shè)三維線性空間V上的線性變換T在基

下的矩陣為

⑴、求T在基

下的矩陣。

⑵、求T在基

下的矩陣。其中且。

⑶、求T在基

下的矩陣。

下的矩陣。其中

習(xí)題7、給定的兩組基

定義線性變換T：

⑴、寫出由基

到基

的過渡矩陣。

⑵、寫出T在基

下的矩陣。

⑶、寫出T在基

下的矩陣。

習(xí)題8、如果A可逆，證明與相似。

習(xí)題9、如果A與B相似，C與D相似，證明與

相似。

習(xí)題10、設(shè)

是線性變換T的兩個(gè)不同的特征值，

是分別屬于

的特征向量，證明：

不是T的特征向量。

線性無關(guān)。(1)、(2)、習(xí)題1、實(shí)數(shù)域R上由矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中

求此線性空間的維數(shù)與一組基。（提示：其中）

解:矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式為又知

，則

則

＝

＝E則

再判斷是否是線性無關(guān)的。

設(shè)存在實(shí)數(shù)

，使得

＝0

即

＋

＋

則有

解得

則是線性無關(guān)的，則線性空間得維數(shù)為3維，其一組基為（）。

習(xí)題2、在中，求一非零向量，使它在基與下有相同的坐標(biāo)，其中

解：

由題設(shè)知，

設(shè)向量

在基

與

下的有相同的坐標(biāo)

，

）

其中，A為基到基的過渡矩陣。

＝（

（

）＝（

）A⑴

)=(

＝

（

）

則即

（

）

＝(

)將⑴代入上式得

（）

＝（

）A

即

＝

＝0

又

由于ε1ε2ε3ε4線性無關(guān)

其系數(shù)矩陣的秩為3，則其解空間維數(shù)為4－3＝1。

即

解得

，

則對(duì)于任意得

均滿足條件，即為所求向量。

習(xí)題3、在中，求線性變換在基底下的矩陣。

解：

設(shè)T在基底

下的矩陣為A，則

線性變換T在基底

的象分別為

則

（

）＝（

）A

可得

習(xí)題4、在中定義線性變換其中解：

設(shè)在基

下的矩陣為A，

則線性變換T在基底

的象分別為

在基

，求下的矩陣。

則

T（

）＝（

）A

可得

習(xí)題5、設(shè)T是n維線性空間V上的線性變換，如果，但，求證（n>0）線性無關(guān)，并求出在基底下的矩陣。

證明：

設(shè)

又知T是n維線性空間V上的線性變換，且

，但則用

左乘上式得

同理，再分別用

左乘得到

線性無關(guān)。

則

（n>0）

設(shè)線性變換T在此基底下的矩陣為A，則

即

（

）A）＝（

）AT（

）＝（

則A＝

習(xí)題6、設(shè)三維線性空間V上的線性變換T在基下的矩陣為⑴、求T在基下的矩陣。⑵、求T在基下的矩陣。其中且。

⑶、求T在基下的矩陣。（

⑴、法一：

）＝（）M

則

解：設(shè)A為在基下的矩陣，B為在新基底下的矩陣，M為過渡矩陣，根據(jù)線性變換在不同基底下矩陣的關(guān)系得

則

法二：線性變換T在基底

的象分別為

即

則

B可得⑵、（

）＝（

）M

則

則同理，也可用⑴中的方法二來求。

⑶、（

）＝（）M

則則同理，也可用⑴中的方法二來求。習(xí)題7、給定的兩組基定義線性變換T：⑴、寫出由基到基的過渡矩陣。⑵、寫出T在基下的矩陣。解：

⑴、設(shè)由基

到基的過渡矩陣為M，則

（

（（）＝）M

即

＝

⑶、寫出T在基下的矩陣。M＝

＝⑵、設(shè)T在基

下的矩陣為A，T在基

下的矩陣為B，則

由已知

即

又

（

）＝（

）M

則＝（）M則A＝M＝

⑶、設(shè)T在基

下的矩陣為B，則由線性變換在不同基底下矩陣之間的關(guān)系式得

＝（其中M＝A）

習(xí)題8、如果A可逆，證明AB與BA相似。證明：

根據(jù)定義，只要存在一個(gè)可逆矩陣M，使得

成立，則

稱AB與BA相似。

由已知A可逆，則這里取M＝A，則

則

AB與BA相似得證.

習(xí)題9、如果A與B相似，C與D相似，證明與相似。

證明：設(shè)存在可逆矩陣P，Q，使得

則又

可逆，則

相似。與習(xí)題10、設(shè)是線性變換T的兩個(gè)不同的特征值，是分別屬于的特征向量，證明：（1）、線性無關(guān)。不是T的特征向量。（2）、證明:設(shè)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)使得⑴由假設(shè)知：

使T作用于（1）式得：⑵可得：⑶由