高二班正態(tài)分布

2.4正態(tài)分布第二章隨機(jī)變量及其分布引入

離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。高爾頓板復(fù)習(xí)100個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產(chǎn)品尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)200個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產(chǎn)品尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線復(fù)習(xí)產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線導(dǎo)入產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：1、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)式中的實(shí)數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線cdab平均數(shù)XY

若用X表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo),則X是一個(gè)隨機(jī)變量.X落在區(qū)間(a,b]的概率為:2.正態(tài)分布的定義:如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X滿足:

則稱為X的正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定.正態(tài)分布記作N（μ，σ2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作X~N（μ，σ2）

m的意義產(chǎn)品尺寸(mm)x1x2總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平x3x4平均數(shù)x=μ產(chǎn)品尺寸(mm)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的平均水平總體標(biāo)準(zhǔn)差反映總體隨機(jī)變量的集中與分散的程度平均數(shù)

s的意義2、正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.

2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與x軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=0.5μ=-1μ=0

μ=1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0若固定,大時(shí),曲線矮而胖；小時(shí),曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.（5）當(dāng)x<μ時(shí),曲線上升;當(dāng)x>μ時(shí),曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí),以x軸為漸近線,向它無限靠近.

2、正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)總體的函數(shù)表示式當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）當(dāng)=時(shí),函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對(duì)稱.（2）的值域?yàn)?/p>

（4）當(dāng)∈時(shí)為增函數(shù).當(dāng)∈時(shí)為減函數(shù).正態(tài)總體的函數(shù)表示式

=μ

例1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明f(x)是偶函數(shù)；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性。練習(xí)：2025301510xy5351、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

4、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很小（一般不超過5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。1、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02282、設(shè)離散型隨機(jī)變量X~N(0,1),則=

,=

.