離散型隨機(jī)變量的分布律

2.5第2節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布律 我們之前介紹了離散型隨機(jī)變量，本節(jié)我們將介紹幾種常用的離散分布。1、兩點(diǎn)分布例1

100件產(chǎn)品中有95件正品，5件次品，現(xiàn)從中任取1件，考查取出的次品數(shù)。試用變量描述該試驗(yàn)的結(jié)果并寫(xiě)出概率分布。一般地，只取兩個(gè)可能值x1，x2的隨機(jī)變量X，其概率分布可寫(xiě)為稱X服從兩點(diǎn)分布。特別地，若x1=0，x2=1，這時(shí)稱X服從0-1分布。0-1分布描述只有兩個(gè)可能的結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，0-1分布的概率分布一般寫(xiě)為其中參數(shù)p:0<p<1.若以概率分布表表示，則為注：兩點(diǎn)分布用于描述只有兩種對(duì)立結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。2、二項(xiàng)分布(the

Binomial

Distribution)（記住這個(gè)英文單詞，后面要考的）其中n是試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)的次數(shù)，p是每一次基本試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。

隨機(jī)變量X指n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。注：二項(xiàng)分布的試驗(yàn)背景是n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?/p>

例2

設(shè)張三做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力100次，則至少成功1次的概率為多少？這說(shuō)明，有百分之一的希望，就要做百分之百的努力。這里，小伙伴會(huì)問(wèn)了，這里的二項(xiàng)分布表達(dá)式如此復(fù)雜，該怎么計(jì)算呢？我們可以借助Excel軟件來(lái)計(jì)算。

操作方法如下：打開(kāi)Excel→公式→插入函數(shù)（統(tǒng)計(jì)）BINOM.DIST（你一定發(fā)現(xiàn)了，這就是前面提到的二項(xiàng)分布的單詞前面幾個(gè)字母）例3

設(shè)一批產(chǎn)品共10000個(gè)，其中廢品數(shù)為500個(gè)，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取10個(gè)，求10個(gè)產(chǎn)品中恰有2個(gè)廢品的概率。3、泊松分布引例

觀察下列隨機(jī)試驗(yàn)：(1)某地區(qū)某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故的次數(shù)；(2)北京某醫(yī)院一天內(nèi)的急診人數(shù)；(3)放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)；(4)《新編線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)》教材一頁(yè)中印刷錯(cuò)誤數(shù)；(5)北京地區(qū)居民中活到百歲的人數(shù)。這些試驗(yàn)有一個(gè)共同點(diǎn)：描述在單位時(shí)間(空間)中隨機(jī)事件的發(fā)生次數(shù)。它們都服從或近似服從泊松分布。泊松（Poisson,Simeon-Denis）（1781—1840）法國(guó)數(shù)學(xué)家。泊松是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和力學(xué)家。他改進(jìn)了概率論的運(yùn)用方法，特別是用于統(tǒng)計(jì)方面的方法，建立了描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種概率分布——泊松分布。他推廣了大數(shù)定律，并導(dǎo)出了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方程中有重要應(yīng)用的泊松積分。泊松分布應(yīng)用廣泛，為避免大量的計(jì)算，一般可通過(guò)查泊松分布表得到結(jié)果。例4

電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)為3的泊松分布，求下列事件的概率：

(1)在一分鐘內(nèi)恰好接到6次呼喚；

(2)在一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)不超過(guò)5次；

(3)在一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)超過(guò)5次?？吹竭@些繁瑣的計(jì)算，小伙伴肯定會(huì)想到，這里應(yīng)該也可以用軟件解決吧！讓我們來(lái)看看如何用Excel如何得到結(jié)果。操作方法：打開(kāi)Excel→公式→插入函數(shù)（統(tǒng)計(jì)）POISSON.DIST4、泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系當(dāng)我們把二項(xiàng)分布推而廣之后，就可以得到泊松分布?？梢赃@樣考慮：在一個(gè)特定時(shí)間內(nèi)，某件事情會(huì)在任意時(shí)刻隨機(jī)發(fā)生（前提是，每次發(fā)生都是獨(dú)立的，且跟時(shí)間無(wú)關(guān)）。當(dāng)我們把這個(gè)時(shí)間段分成非常小的時(shí)間片構(gòu)成時(shí)，可以認(rèn)為，每個(gè)時(shí)間片內(nèi)，該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。幾乎可以不考慮發(fā)生多于一次的情況（因?yàn)闀r(shí)間片可被分的足夠?。?。當(dāng)時(shí)間片分的越小，該時(shí)間片內(nèi)發(fā)生這個(gè)事件的概率p就會(huì)成正比的減少。即：特定時(shí)間段被分成的時(shí)間片數(shù)量n與每個(gè)時(shí)間片內(nèi)事件發(fā)生的概率p的乘積n*p為一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)表示了該事件在指定時(shí)間段發(fā)生的頻度。泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個(gè)分布的數(shù)學(xué)模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n很大p很小時(shí)的近似計(jì)算。泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)λ=np的泊松分布案例1

保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡且同一社會(huì)階層的人參加人壽保險(xiǎn),在一年內(nèi)每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)入保的人在一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)2000元。問(wèn):

(1)在一年內(nèi)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少?

(2)在一年內(nèi)保險(xiǎn)公司至少獲利10000元的概率是多少?案例2

一家商店采用科學(xué)管理。為此，在每一個(gè)月的月底要制定出下一個(gè)月的商品進(jìn)貨計(jì)劃。為了不使商店的流動(dòng)資金積壓，月底的進(jìn)貨不宜過(guò)多，但是為了保證市場(chǎng)需求和完成每個(gè)月的營(yíng)業(yè)額，進(jìn)貨又不應(yīng)該太少。這樣的矛盾怎樣才能合理的解決呢？由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，