第41講 等差數(shù)列高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案 精講專研（新高考）

第41講等差數(shù)列1、數(shù)列的通項公式一般地，如果數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的．注：并不是每一個數(shù)列都有通項公式，有通項公式的數(shù)列，其通項公式也不一定唯一．2、數(shù)列的表示方法數(shù)列可以用來描述，也可以通過或來表示．3、等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的，符號表示為(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是，其中A叫做a，b的等差中項．4、等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．(2)前n項和公式：?當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項．1、（2023?甲卷（文））記為等差數(shù)列的前項和．若，，則A．25 B．22 C．20 D．152、（2022?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項和．若，則公差．3、（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個．4、（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項和．（1）若，，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．5、（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．6、（2021?甲卷（理））已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．7、（2023?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．1、在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．62、記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a6＝16，S5＝35，則{an}的公差為()A．3B．2C．－2D．－33、是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項和等于（）A．64 B．100 C．110 D．1204、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎椀炔顢?shù)列滿足，且是與的等比中項，則的前項和___________.考向一等差數(shù)列中基本量的運算例1、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷）數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值變式1、（2022年福建省永泰縣高三模擬試卷）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則下列命題中正確的是（）A. B.C. D.數(shù)列中最大項為變式2、(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________；(2)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，則an＝________；(3)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.①求數(shù)列{an}的通項公式；②若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值．變式3、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.方法總結(jié)：(1)a1，d是等差數(shù)列的基本量，把所給的條件代入等差數(shù)列的通項公式，可列出方程組，如果能把a1－1作為一個整體處理，則能簡化運算．一般地，給出含有a1，d的兩個獨立條件，即可求出該等差數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出其前n項和．(2)第(2)小問，充分利用等差數(shù)列的第二通項公式a5＝a2＋3d，a3＝a2＋d，則簡化了運算．考向二等差數(shù)列的性質(zhì)例2、（2020屆北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校上學(xué)期期中）已知等差數(shù)列的前項之和為，前項和為，則它的前項的和為（）A.B.C.D.變式1、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A． B．1 C． D．2變式2、(1)若等差數(shù)列{an}的前17項和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________；(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項和S9＝________；(3)已知等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)等于()A.eq\f(37,27)B.eq\f(19,14)C.eq\f(39,29)D.eq\f(4,3)變式3、(1)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意正整數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－1,3n－2)，則eq\f(a11,b6＋b10)＋eq\f(a5,b7＋b9)的值為________．(2)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(an,bn)＝________；方法總結(jié)：如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件；若求am項，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋an＋m的值．考向三等差數(shù)列的判定及證明例3、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在數(shù)列中，，且.(1)令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求.變式1、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝eq\f(1,2)，an＝－2SnSn－1(n≥2).(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列；(2)求Sn和an.變式2、已知在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．等差數(shù)列的判定方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn．在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．1、（2022年廣州番禺高三模擬試卷）我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同（暑是按照日影測定時刻的儀器，暑長即為所測量影子的長度），夏至?小暑?大暑?立秋?處暑?白露?秋分?寒露?霜降?立冬?小雪?大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至?處暑?霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（）尺.A.1 B.1.25 C.1.5 D.22、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.43、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列各項為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列3、（多選）（2023·山西朔州·懷仁市第一