云南省文山州第一中學2024屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

云南省文山州第一中學2024屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.2．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A B.C. D.63．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．等比數(shù)列的前項和為，前項積為，，當最小時，的值為（）A.3 B.4C.5 D.65．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.6．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等7．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知集合，，則（）A. B.C. D.12．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線焦點坐標是，則______14．已知曲線在處的切線方程為，則________15．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，則______16．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點（1）求的最小值；（2）當?shù)拿娣e最大時，求直線l的方程18．（12分）現(xiàn)將兩個班的藝術(shù)類考生報名表分別裝進2個檔案袋，第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一個檔案袋，然后從中隨機抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率19．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值20．（12分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且.（1）求C；（2）若D是BC的中點，，，求AB的長.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求的極值；（2）當時，，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.2、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.3、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.4、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)計算得到，，進而求出與，代入后得到，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性得到當時，取得最小值.【詳解】顯然，由題意得：，，兩式相除得：，將代入，解得：，所以，所以，，所以，其中單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值.故選：B5、A【解析】利用對立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.6、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.7、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B8、A【解析】取的中點為，的中點為，然后可得或其補角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A9、A【解析】設(shè)，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的軌跡方程.10、B【解析】求出，進而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B11、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B12、B【解析】利用條件概率公式進行求解.【詳解】，其中表示：兩次點數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點坐標為，即.故答案為：214、1【解析】先求導，由，代入即得解【詳解】由題意，故答案為：115、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的加法法則，對求導，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：16、①②【解析】假設(shè)與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4；（2）或.【解析】(1)過定點D(4，2)，當CD⊥l時，|PQ|最?。?2)，當時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.【小問1詳解】由，得，由，∴直線l過定點D(4，2)，∵，∴在圓C內(nèi)部，∴直線和l與圓C相交，當CD⊥l時，|PQ|最小，；【小問2詳解】∵，∴當時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，∴，解得，∴此時l的方程為：或.18、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設(shè)事件表示抽取到第個檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：19、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理結(jié)合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標，當斜率不存在時，設(shè)出點的坐標進行求解；（2）結(jié)合第一問的定點坐標，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點，使得為定值，求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因為，所以，即，根據(jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點【小問2詳解】由（1）可知因為，取中點，則此時，【點睛】直線過定點問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進而得到定點坐標.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合三角變換可求答案；（2）根據(jù)余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小問1詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小問2詳解】設(shè)，則，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.22、（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】（1）把代入，然后對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對進行分類討論，其中當和時易判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，而當時，的最小值與0進一步判斷【小問