高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第02講 1.2集合間的基本關(guān)系（教師版）

第02講1.2集合間的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集;②理解與掌握空集的含義，在解題中把握空集與非空集合、任意集合的關(guān)系。1．能利用集合間的包含關(guān)系解決兩個集合間的問題。2．在解決集合問題時，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集時參數(shù)所具備的意義。3.能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系。4.判斷集合之間的關(guān)系時，要從元素入手。知識點(diǎn)01：圖（韋恩圖）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用圖，可以使問題簡單明了地得到解決。對圖的理解(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.知識點(diǎn)02：子集1子集：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出集合的所有子集．【答案】【詳解】集合的所有子集有：知識點(diǎn)03：集合相等一般地,如果集合的任何一個元素都是集合的元素,同時集合的任何一個元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說,若,且,則.

（1）的圖表示（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)【即學(xué)即練2】（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考階段練習(xí)）下面說法中不正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，因，，即，A正確；對于B，因集合的元素為有序數(shù)對，而的元素為實(shí)數(shù)，兩個集合的對象不同，B不正確；對于C，因集合與都表示大于2的數(shù)形成的集合，即，C正確；對于D，由列舉法表示集合知正確，D正確.故選：B知識點(diǎn)04：真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【即學(xué)即練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）滿足條件：的集合M的個數(shù)為______.【答案】7【詳解】由可知，M中的元素個數(shù)多于中的元素個數(shù)，不多于中的元素個數(shù)因此M中的元素來自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，故足條件：的集合M的個數(shù)有7個，故答案為：7.知識點(diǎn)05：空集的含義我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，(2)，則和和和相同點(diǎn)都表示無都是集合都是集合不同點(diǎn)表示集合；是實(shí)數(shù)不含任何元素含有一個元素不含任何元素含有一個元素，該元素為：關(guān)系或者【即學(xué)即練4】（2023·甘肅慶陽·高一校考階段練習(xí)）有下列四個命題：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①錯誤，②正確；，故③正確，④錯誤，正確的個數(shù)為2.故選：B題型01判斷兩個集合的包含關(guān)系【典例1】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A：集合為點(diǎn)集，含有元素，集合含有兩個元素，，所以不包含于，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選：A【典例2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，所以.故選：B.【典例3】（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，，，則、、的關(guān)系滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，所以.故選：B．【典例4】（2023·高一單元測試）設(shè)集合，，則集合與的關(guān)系是______．【答案】【詳解】因?yàn)?，，顯然，而，所以中元素都屬于，而中元素，所以.【變式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，，則這三個集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C題型02判斷子集（真子集）的個數(shù)【典例1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以集合A的真子集個數(shù)是，故選：B．【典例2】（2023·高一單元測試）已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為_____個.【答案】31【詳解】集合，，由得,所以是的真子集故有，故答案為：31【變式1】（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，且，滿足這樣的集合的個數(shù)（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，集合還應(yīng)包含集合中除元素1，2之外的其他元素；若集合中有三個元素，則可以是；若集合中有四個元素，則可以是；若集合中有五個元素，則可以是；即這樣的集合的個數(shù)為7個.故選：B【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【詳解】集合，,，故有個子集.故選：D．題型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若使成立的實(shí)數(shù)的取值集合為，則的一個真子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題意集合，，因?yàn)?，所以?dāng)時，，即；當(dāng)時，有，解得，故,則M的一個真子集可以是或，故選：BC.【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，若用列舉法表示，則集合是________.【答案】{?，{1}，{2}，{1,2}}【詳解】由題意得，A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，則集合B中的元素是集合A的子集：?，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，故答案為：{?，{1}，{2}，{1,2}}.【變式1】（多選）（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)校考期末）已知集合，集合是的真子集，則集合N可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】集合，集合，則集合中至少包含2，4兩個元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素，所以集合可以是,,,故選：ABC題型04空集的概念集判斷【典例1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A． B．C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：，不是空集；B選項(xiàng)：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項(xiàng)：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D【典例2】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┫铝懈魇街校孩?；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯誤；∴②③正確.故選：B.【變式1】（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，表示空集，而表示的是含這個元素的集合，所以不成立.④錯誤，表示空集，而表示含有一個元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，由元素與集合的關(guān)系知，．故選：C.【變式1】（多選）（2023·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：空集中沒有元素，故A錯誤；選項(xiàng)B：中只有一個元素，故B正確；選項(xiàng)C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正確故選：BCD題型05空集的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】m≥1【詳解】∵M(jìn)＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案為m≥1【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【詳解】解：∵不等式組的解集為，①當(dāng)時，由求得；由，求得，故不等式組的解集為，故不滿足條件；②當(dāng)時，由求得；由，求得，若，即時，不等式組的解集為，滿足條件；若，即時，不等式組的解集為，不滿足條件，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．【變式1】（2022秋·湖南永州·高一校考階段練習(xí)）若集合為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【詳解】因?yàn)榧蠟榭占?，即?故答案為：或題型06判斷兩個集合是否相等【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對AD，兩集合的元素類型不一致，則，AD錯；對B，由集合元素的無序性可知，，B對；對C，兩集合的唯一元素不相等，則，C錯；故選：B【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列與集合表示同一個集合的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由解得,所以，所以根據(jù)集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，集合的元素是和兩個數(shù)，的元素是和這兩個等式，與集合M的元素是有序數(shù)對(可以看做點(diǎn)的坐標(biāo)或者對應(yīng)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn))不同,故BD錯誤.故選：．【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】解：方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點(diǎn)的集合，而，所以，所以B錯誤；集合，都表示大于2的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD．題型07根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則等于（

）A．1或2 B．或 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時，，與集合元素互異性矛盾，故不正確.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合.故選：C【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一秀全中學(xué)?？计谀┮阎希?(1)若，求實(shí)數(shù)的值；【答案】(1)【詳解】（1）由已知得，解得；【變式1】（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，若P=Q，則_________.【答案】-2【詳解】，，若P=Q，則有，.故答案為：-2.題型08根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實(shí)數(shù)（

）A．或1 B．0或1 C．1 D．【答案】B【詳解】解：由集合，對于方程，當(dāng)時，此時方程無解，可得集合，滿足；當(dāng)時，解得，要使得，則滿足，可得，所以實(shí)數(shù)的值為或.故選：B.【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎?，且，則實(shí)數(shù)的值是_________．【答案】-3【詳解】因?yàn)椋?，，所以是方程的解，即，解?經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.故答案為：.【典例3】（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）已知集合（1）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】分析：利用一元二次不等式的解法，化簡集合化簡集合（1）利用集合相等的定義可得結(jié)果；（2）利用子集的定義可得結(jié)果.詳解：由，可得，所以由可得，集合（1）因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的范圍是.【變式1】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，解得，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．【詳解】因?yàn)锽={x|x2﹣ax+b＝0}，且B?A，①當(dāng)B中有一個元素時，B＝{1}或B＝{﹣1}當(dāng)B＝{1}時，，解得a＝2，b＝1；當(dāng)B＝{﹣1}時，，解得a＝﹣2，b＝1；②當(dāng)B中有兩個元素時，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1；③當(dāng)時，只需滿足a2﹣4b＜0，題型09新定義題【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定集合，對于，如果，那么是的一個“好元素”，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個．【答案】6【詳解】若不含好元素，則集合S中的3個元素必須為連續(xù)的三個數(shù)，故不含好元素的集合共有，共有6個.故答案為：6．【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________個．【答案】7【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個．故答案為：7.本節(jié)重點(diǎn)方法（數(shù)軸輔助法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.故答案為：或【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】或【詳解】當(dāng)時，，即，滿足要求；當(dāng)時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或，解得或．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為或.本節(jié)數(shù)學(xué)思想方法（分類討論法）【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【詳解】由題意知，若，則，解得，若，，解得或，當(dāng)時，則方程為，解得，此時，不合題意，舍去，當(dāng)時，則方程為，解得，，不合題意，舍去，當(dāng)，即，解得或，則由題意知，則1,4為方程兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得，綜上所述的范圍是或.【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合.(1)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）①若，則，即，此時；②若，則，解得.綜合①②，得實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）（2）若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.本節(jié)易錯題（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榛?，，?dāng)時，此時，符合題意；當(dāng)時，若則，因?yàn)椋?，解得，又，所以，若則，因?yàn)?，所以，解得，又，所以，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為___________.【答案】【詳解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三種情況，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，∵，∴，∴；當(dāng)，，∴；∴實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為，故答案為：1.2集合間的基本關(guān)系A(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知集合且，則集合A的子集的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】D【詳解】因?yàn)榍?，可知，集合中含?個元素，所以集合的子集個數(shù)為.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，解得，故，因?yàn)椋?故選：A3．（2023春·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）下面五個式子中：①；②；③；④；⑤，正確的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【答案】C【詳解】解：①中，是集合中的一個元素，，所以①錯誤；②中，空集是任一集合的子集，所以②正確；③中，是的子集，，所以③錯誤；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正確；⑤中，是的元素，所以⑤正確.故選：C.4．（2023春·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以由?shù)軸法可知.故選：C．5．（2023·北京東城·高三專題練習(xí)）已知集合，集合.若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值集合為.故選：C6．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【詳解】因?yàn)榧希?，所以，且，則，解得：，故選：.二、多選題7．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（

）A．B．若，則C．集合是無限集D．集合的子集共有4個【答案】BCD【詳解】對于A：是指不含任何元素的集合，故A錯誤；對于B：若，則，故B正確；對于C：有理數(shù)有無數(shù)個，則集合是無限集，故C正確；對于D：集合元素個數(shù)為2個，故集合的子集共有個，故D正確．故選：BCD．8．（2023秋·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時，則或【答案】ABC【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時，，解得或，故C正確.故選：ABC．三、填空題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合M滿足則集合M的個數(shù)為______．【答案】7【詳解】因?yàn)?，所以可以為：，，，，，，共?jì)7個，故答案為：7.10．（2023·高一單元測試）已知集合有且僅有兩個子集，則的取值集合為___________.【答案】【詳解】由題意，集合有且僅有兩個子集，則集合只有一個元素，當(dāng)時，，解得，符合題意；當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意.綜上所述，的取值集合為.故答案為：.四、解答題11．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，且．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，(2)或【詳解】（1）由解得，所以，因?yàn)?，所以是集合中元素，所以將代入得，解得?（2）因?yàn)?，由?）得是集合中元素，當(dāng)即時，此時符合題意；當(dāng)時，①，此時符合題意；②，此時不滿足集合元素的互異性，舍去；綜上或.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：時，A＝R，B＝{x|－<x≤2}，滿足B?A，符合題意；時，，因?yàn)锽?A，所以，解得，時，，因?yàn)锽?A，所以，解得，故綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┤艏?，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【詳解】對于集合，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范圍為故選：D3．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【詳解】因?yàn)榧蟽H有個子集，所以集合中僅有一個元素，當(dāng)時，，所以，所以，滿足要求；當(dāng)時，因?yàn)榧现袃H有一個元素，所以，所以，此時或，滿足要求，故選：BCD.4．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎狝＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】a<－4或a>2【詳解】①當(dāng)a>3即2a>a＋3時，A＝，滿足；.②當(dāng)a3即2aa＋3時，若，則有，解得a<－4或2<a≤3綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<－4或a>2.故答案為：a<－4或a>25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________(寫成集合形式).【答案】【詳解】由知，集合B為A的非空子集或空集，即或，解得或故答案為：C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中a，，下列說法正確的是（

）A．對任意a，是的子集，對任意的b，不是的子集B．對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，對任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【詳解】解：對于集合，可得當(dāng)，即，可得，即有，可得對任意a，是的子集；當(dāng)時，，，可得是的子集；當(dāng)時，，且，可得不是的子集；綜上有，對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故選：B.2．（2023·全國·高三專題