蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義第2章2.22.2.2向量的減法Word版含答案

向量的減法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)(教師獨(dú)具)1.理解向量減法的意義及減法法則．(重點(diǎn))2.掌握向量減法的幾何意義．(難點(diǎn))3.能熟練地進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算．(易混點(diǎn))通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).向量的減法(1)向量減法的定義若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的差，記為a－b，求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．(2)向量的減法法則如圖所示，以O(shè)為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b，即當(dāng)向量a，b起點(diǎn)相同時，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量就是a－b.1．思考辨析(1)eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→)).()(2)若－b與a同向，則a－b與a同向．()(3)向量的減法不滿足結(jié)合律．()[解析](1)×.eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(QP,\s\up12(→))；(2)√.－b與a同向，則a－b＝－b＋a與a同向．(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．[答案](1)×(2)√(3)×2．化簡eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))等于________．0[eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.]3．化簡eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))的結(jié)果等于________．eq\o(OQ,\s\up12(→))[eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(OQ,\s\up12(→)).]向量減法的幾何作圖【例1】如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.思路點(diǎn)撥：根據(jù)相反向量及三角形法則求作．[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如圖①所示，以A為起點(diǎn)分別作向量eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(AC,\s\up12(→))，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，連結(jié)CB，得向量eq\o(CB,\s\up12(→))，再以C為起點(diǎn)作向量eq\o(CD,\s\up12(→))，使eq\o(CD,\s\up12(→))＝c，連結(jié)DB，得向量eq\o(DB,\s\up12(→)).則向量eq\o(DB,\s\up12(→))即為所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如圖②.(1)作eq\o(AB,\s\up12(→))＝－b和eq\o(BC,\s\up12(→))＝－c；(2)作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，則eq\o(OC,\s\up12(→))＝a－b－c.求作兩個向量的差向量時，當(dāng)兩個向量有共同起點(diǎn)，直接連結(jié)兩個向量的終點(diǎn)，并指向被減向量，就得到兩個向量的差向量；若兩個向量的起點(diǎn)不重合，先通過平移使它們的起點(diǎn)重合時，再作出差向量.1．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.[解]如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up12(→))＝a＋b－c.向量減法法則的應(yīng)用【例2】(1)化簡下列式子：①eq\o(NQ,\s\up12(→))－eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(NM,\s\up12(→))－eq\o(MP,\s\up12(→))；②(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))．(2)如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，eq\o(AE,\s\up12(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(BD,\s\up12(→)).思路點(diǎn)撥：(1)充分利用減法的運(yùn)算律求解．(2)尋找圖中已知向量和所表示向量之間的關(guān)系，然后利用向量的加(減)法解決．[解](1)①原式＝eq\o(NQ,\s\up12(→))＋eq\o(QP,\s\up12(→))－(eq\o(NM,\s\up12(→))＋eq\o(MP,\s\up12(→)))＝eq\o(NP,\s\up12(→))－eq\o(NP,\s\up12(→))＝0.②(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.(2)因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AE,\s\up12(→))＝c；eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝b－a＋c.1向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)字母為終點(diǎn).2用幾個基本向量表示其他向量的技巧：①觀察待表示的向量位置；②尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形；③運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡得結(jié)果.2．如圖所示，已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OE,\s\up12(→))＝e，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，試用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))；(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))；(3)eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)).[解](1)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))，∵eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，∴eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝d－b.(2)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝b＋f－a－c.(3)eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))＝eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，∵eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，∴eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝f－d.|a－b|與a，b之間的關(guān)系[探究問題]1．若a與b共線，怎樣作出a－b?提示：①當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時，在給定的直線l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b；②當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時，在給定的直線l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b；③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則Beq\o(A,\s\up12(→))＝a－b.2．結(jié)合探究問題1的圖示及向量的減法法則，探究|a－b|與a，b之間的大小關(guān)系？提示：當(dāng)a與b不共線時，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時，有：|a－b|＝|a|－|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時，有：|a－b|＝|b|－|a|.【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.思路點(diǎn)撥：|a＋b|＝|a－b|→判斷a與b的位置關(guān)系→求|a－b|的值．[解]如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，以AB，AD為鄰邊作?ABCD.則eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b，因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(DB,\s\up12(→))|.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up12(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up12(→))|2＋|\o(AD,\s\up12(→))|2))＝eq\r(62＋82)＝10，所以|a－b|＝10.1．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。?．正確理解向量加(減)法的幾何意義，恰當(dāng)構(gòu)造幾何圖形，是求解此類問題的關(guān)鍵．3．已知向量a，b，滿足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，求|a－b|.[解]在?ABCD中，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b.由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD為菱形，且AC⊥BD，交點(diǎn)為O，∴AO＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\f(1,2)，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.教師獨(dú)具1．本節(jié)課的重點(diǎn)是相反向量、向量減法的運(yùn)算以及利用已知向量表示未知向量，難點(diǎn)是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量減法的三個問題(1)向量的減法運(yùn)算；(2)向量減法及其幾何意義；(3)利用已知向量表示未知向量．3．掌握用已知向量表示某向量的基本步驟第一步：觀察各向量的位置；第二步：尋找(或作)相應(yīng)的平行四邊形或三角形；第三步：運(yùn)用法則找關(guān)系；第四步：化簡結(jié)果．1．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論不正確的是()A.eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→)) B.eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)) D.eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))D[∵ABCD是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，∴eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，故A正確；又eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))＝0，故B正確；又eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，∴eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，故C正確；又eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))≠eq\o(BD,\s\up12(→))，故D錯誤．]2．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.02[若a，b為相反向量，則a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.∵a與－b共線，∴|a－b|＝2.]3．如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up12(→))＝________.a＋c－b[由三角形法則可知eq\o(DC,\s\up