83曲面及其方程

LI/S/0Z0Z燥

喜與口

口

三喜\/男第

三

節(jié)

曲

面

及

其

方

程一

、

曲

面

方

程

的

概

念二

、

旋

轉

曲

面三

、

柱

面四

、

二

次

曲

面2020/8/17

2一

、

曲

面

方

程

的

概

念定義：若曲面S與三元方程F(

x,y,z)=0

有如下關系：(1)S

上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)坐標滿足方程F(x,y,z)=

0的點都在S

上；那末，方程F(x,y,z)=0

叫做曲面S的方程，而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0

的圖形.曲面S1-1對應±F(x,y,z)=

0(三元方程)2020/8/17

3研

究

空

間

曲

面

有兩

個

基

本

問

題：(

1

)

已

知

曲

面

作

為

點

的

軌

跡

時

，

求

曲

面

方

程.(

討

論

旋

轉

曲

面

)(

2

)

已

知

曲

面

方

程

，

研

究

曲

面

形

狀

.(

討

論

柱

面

、

二

次

曲

面

)2020/8/17

4球球

心

在

原

點

時

a2-52+2=R表

示

上

(

下

)

球

面

.2020/8/17以下給出幾例常見的曲面.例1

建立球心在點M?(xo,yo,zo)、

半徑為R的球面方程。解

居Z.R.M?根

據

題

意

有

IMK=R,面

的

標

準

方

程M5此方程表示：

球心為

N8(1—2,半徑為

√

的球面.

說明：如下形式的三元二次方程(A≠0

)

—球面的一般方程都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是一個球面，或點

，或虛軌跡.2020/8/17

6例2.研究方程的

曲

面

.解

：配

方

得表

示

怎

樣例

3解

根

據

題

意

有

N化

簡

得

所

求

方

程

—平面方程2020/8/17

7實

正

題角

位

自

的

曾

灰

礦解

根

據

題

意

有

z≥3醫(yī)下合之眉排是復例4方程

一的圖形是怎樣的?2020/8/17

8圖

形

上

不

封

頂

，

下

封

底

.Z二

、旋

轉

曲

面定義一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸

.旋轉曲線稱為該旋轉曲面的母線.2020/8/17

9例

如

：旋轉軸母

線2020/8/17

10旋

轉

曲

面>

具

語

食

計

角

由

備

倍

馨母

線

：fCy,z)=O,x=0,設①曲z

Z

任

意

意

，y,z),1上建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程：2020/8/17

11代

)將yoz坐標面上的已知曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉一周的旋轉曲面方程為

22020/8/17

12得

方

程

f+x22,-0此即yoz

坐標面上的已知曲線

Cf(y,z)=0旋轉一周的旋轉曲面方程.當曲線

C繞

y

軸旋轉時，

方

程

如

何

?繞

z軸代

入將例5

直

線

工

繞

另

一

條

與L

相

交

的

直

線

旋

轉

一

周

，

所

得

旋

轉

曲

面

叫

圓

錐

面

.

兩

直

線

的

交

點

叫圓錐面的頂點，

兩直線的夾角

叫圓

錐

面

的

半

頂

角

.

試

建

立

頂

點

在

坐

標

原

點

，旋

轉

軸

為z軸

，

半

頂

角

為

α

的

圓

錐

面

方

程

.解所以圓錐面方程為令

a=cota

兩

邊

平

方Z=aa2+3)—

—

圓錐面的標準方程2020/8/17G3yZ13例6以

曲

線為

母繞

z

軸

旋

轉

而

成

的

曲

面

方

程

為2020/8/17

14—

—

旋轉單葉雙曲面線

，即2020/8/17

15—

—

旋轉雙葉雙曲面以曲線為母線

：例7即旋轉曲面方

程

的

特

點

：有

系

數

相

等

的

兩

坐

標

平

方

和的項.2020/8/17

16例9以曲線曲

面

方

程

為為：母線，繞z

軸旋轉而成的一旋轉橢球面=1即三

、

柱

面定

義平

行

于

定

直

線

并

沿

定

曲

線

C

移

動

的

直

線

工所形成的曲面稱為柱

面

.這條

定

曲

線C

叫

柱

面

的準線，動

直

線L

叫

柱

面

的母

線.觀

察

柱

面

的

形成

過

程

：2020/8/17

17柱

面

演

示2020/8/1718注意：

在空間直角坐標系，

缺項方程(不完全方程)的圖形是柱面.2020/8/17

19在xoy面上，x2+y2=R2表示以

原點O

為圓心，半徑為R

的圓.曲

面

可

以

看

作

是

由

平

行

于z軸的直線L沿xoy面上的

圓x2+y2=R2

移動而形成，稱該曲面為圓柱面.例如：考慮方程

x2+y2=R2

所表示的曲面.(1)y2=2x表示拋物柱面，母

線

平

行

于z

軸

；準線為xoy面上的拋物線.(2)

x-y=0

表示母線平行于z

軸的平面.(且z軸在平面上)注意：

描述柱面只須指出其準線及母線.2020/8/17

20一般地，在空間解析幾何>

柱

面，母線平行于z軸；準線xoy

面上的曲線Z=F(sy)=是

B

元是主面，母

線

平

行

于x

軸

；準線yoz

面上的曲線z=G3Z方后

x

B元是柱面，母線平行于y

軸；準線xoz

面上的曲線3二2020/8/1721指

出

下

列

方

程

在

平

面

解

析

幾

何

中

和

空

間

解

析

幾

何

中

分

別

表

示

什

么

圖

形

?2020/8/17

22思

考

題2x2+2-4(x=3方程平

面

解

析

幾

何

中空

間

解

析

幾

何

中xC2一

橋

寧

牽

的

能個方的o子圓忙在(Q0),平

的斜率為1的直線碎

于

文

車

書

可2020/8/17

23思

考

題

解

答四

、

二

次

曲

面二

次

曲

面

的

定

義

：三

元

二

次

方

程

所

表

示

的

曲

面

稱

之

.相

應

地

平

面

被

稱

為一

次

曲

面.討

論

二

次

曲

面

性

狀

的截

痕

法：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，

考察其交線(即截痕)的形狀，然后加以綜合，從而

了

解

曲

面

的

全

貌

.以下用截痕法討論幾種常見的二次曲面.2020/8/17

241°

用

坐

標

面z=0,x=0

和y=0

去截割，分別得橢圓2020/8/17

25(1)

橢

球

面當

lkl≤c

時

，lk

l越

大

，

橢

圓

越

小

；當

lk|=c

時

，

橢

圓

退

縮

成

點

.2020/8/172°

用平面z=k去截割(要求

lkl≤c),得橢圓(1)

橢

球

面26

球

面球面方程可寫為

a2-b22

橢

球

面

的

幾

種

特

殊

情

況

：

V

乙

:1旋

轉

橢

球

面2020/8/17

27(

2

)

橢

圓

拋

物

面2020/8/17

282020/8/17

29(2)橢圓拋物面—

—

旋轉拋物面

.特

殊

情

況

：(3)橢圓錐面特

殊

情

況

：—

圓

錐

面

.2020/8/17302特

殊

情

況

：

—

圓

錐

面

.若

方

程

為2020/8/17

31(3)橢圓錐面則圖形如右圖ZWX7

—22N—-(

5

)

雙

葉

雙

曲

面(

4

)

單

葉

雙

曲

面2020/8/1732拋

物

線x?兩

條

相

交

直

線雙

曲

線y(z=0)(6)

雙

曲

拋

物

面

(

馬

鞍

面

)2020/8/17