自動控制原理-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1引言時域模型頻域模型信號流圖控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型梅遜公式2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2三、數(shù)學(xué)模型的建立方法一、數(shù)學(xué)模型的定義二、數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式§2.1引言2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3一、數(shù)學(xué)模型的定義數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)的物理量或變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。靜態(tài)條件下系統(tǒng)變量間的代數(shù)方程。系統(tǒng)變量各階導(dǎo)數(shù)間的微分方程。深入了解元件及系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：動態(tài)數(shù)學(xué)模型：建模：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4為什么要建立數(shù)學(xué)模型：我們需要了解系統(tǒng)的具體的性能指標(biāo)，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。它是分析和設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5

另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即可知其變量間的關(guān)系，這種關(guān)系可代表數(shù)學(xué)表達(dá)式相同的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。比如機(jī)械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個數(shù)學(xué)表達(dá)式分析，具有相同的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然，對于同一個系統(tǒng)來說，可以選用不同的數(shù)學(xué)模型，研究時域響應(yīng)時可以用傳遞函數(shù)，研究頻域響應(yīng)時則要用頻率特性。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6二、數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式時(間)域模型：頻域模型：微分方程差分方程狀態(tài)空間表達(dá)式頻率特性傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖復(fù)數(shù)域模型：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7三、建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法分析法：實驗法：對系統(tǒng)各部分的運動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律分別列寫運動方程。KCL、KVL、牛頓定律、熱力學(xué)定律人為施加某種測試信號，記錄輸入輸出數(shù)據(jù)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近—系統(tǒng)辯識。黑箱輸入輸出2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8

但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰箱，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實際控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常常可以忽略一些影響較小的因素來簡化，但這就出現(xiàn)了一對矛盾，簡化與準(zhǔn)確性。不能過于簡化，而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過分追求準(zhǔn)確性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型9§

2.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

2.2.1線性元件的微分方程2.2.2控制系統(tǒng)微分方程的建立2.2.3線性微分方程的求解2.2.4非線性元件微分方程的線性化2.2.5線性系統(tǒng)的特性及運動模態(tài)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型10例2-1圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。2.2.1線性元件的微分方程2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型11

解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑懛匠倘缦拢孩佗冖邰堍?023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12

由④、⑤得由②導(dǎo)出將i1、i2代入①、③，則得2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個二階線性微分方程。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14例2-2列寫圖2-2中電樞電壓Ua(t)(v)與電機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)(rad/s)之間的微分方程。電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)矩方程電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程

222023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15解：電樞回路電壓平衡方程①電樞反電勢Ea=Ceωm(t)

②電磁轉(zhuǎn)矩方程③④電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：222023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型16

電動機(jī)機(jī)電時間常數(shù)（s）

⑤⑥忽略電樞電路電感La不計，因而⑤可簡化為③、④求出ia(t)，代入①同時②亦代入①得：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17若電樞電阻Ra和轉(zhuǎn)動慣量Jm都忽略不計,則⑥可簡化為⑦轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，電機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18建立微分方程的步驟如下：①在對系統(tǒng)進(jìn)行定性分析的基礎(chǔ)上，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。②將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳 遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化微分方程。注意：信號傳送的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送。前后兩個元件中，后級對前級的負(fù)載效應(yīng)。③消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。2.2.2控制系統(tǒng)微分方程的建立2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19<4>將所得微分方程標(biāo)準(zhǔn)化：

n－微分方程的階次。將與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。單變量線性定常系統(tǒng)能用定常系數(shù)的線性微分方程來描述；微分方程所描述的是系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系，是系統(tǒng)的輸入輸出特性。

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型20例2-3:試證明圖2-3(a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。

32023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型21對電氣網(wǎng)絡(luò)

解：對機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：③②④

322023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型22利用②、③、④求出代入①,將①兩邊微分得比較上述兩個的公式，可得出如下機(jī)-電相似系統(tǒng)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型23力-電壓相似

機(jī)械系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)?？梢杂秒娤到y(tǒng)仿真研究其它類型的系統(tǒng)。機(jī)械阻尼B1阻尼B2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2電氣電阻R1電阻R21/C11/C22023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型242.2.3線性微分方程的求解

線性定常微分方程的求解方法:

經(jīng)典法 拉氏變換法 計算機(jī)求解2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型25ui(t)LCRuo(t)i(t)例：RLC電路中，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,且電容上初始電壓uO(0)=0.1v,初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ui(t)=1V。試求電路突然接通電源時，電容電壓uo(t)的變化規(guī)律。解：電路微分方程為2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型262023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型27

具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法。在一個小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。（分段定常系統(tǒng)）一個變量的非線性函數(shù)y=f(x)，在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點附件用臺勞級數(shù)展開2.2.4非線性元件微分方程的線性化2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型28增量較小時略去其高次冪項，則有

Δy=kΔx；k比例系數(shù)，函數(shù)在x0點切線的斜率兩個變量的非線性函數(shù)y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點（x10,x20）附近用臺勞級數(shù)展開為令2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型29解：由于研究的區(qū)域為5≤x≤7、10≤y≤12，故選擇工作點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點x0,y0,z0處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項，則有例2-4：試把非線性方程z=xy在區(qū)域5≤x≤7、10≤y≤12上線性化。求用線性化方程來計算當(dāng)x=5，y=10時z值所產(chǎn)生的誤差。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型30z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時，z的精確值為z=xy=5×10=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，線性化方程式為：因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型312.2.5線性系統(tǒng)的特性及運動模態(tài)若u=u1,微分方程的解為y=y1,

u=u2,微分方程的解為y=y2:則u=αu1+βu2時，微分方程的解為

y=αy1+βy2線性系統(tǒng)滿足疊加原理 疊加性和齊次性若微分方程的特征根為λ1

，λ2，．．．，λn,則eλ1t,eλ2t,…,eλnt稱為微分方程所描述運動的模態(tài)（振型）。有重根λ，則模態(tài)有形如teλt,t2eλt…的函數(shù)．若有共軛復(fù)數(shù)根，則模態(tài)為eσtsinωt和eσtcosωt。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型32

數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0

②t>0時，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型332.常用函數(shù)的拉氏變換(1)例1.求階躍函數(shù)f(t)=A·1(t)的拉氏變換。單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為。

(2)例2.求單位脈沖函數(shù)f(t)=δ(t)的拉氏變換。數(shù)學(xué)知識回顧2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型34

（3）例3.求指數(shù)函數(shù)f(t)=的拉氏變換幾個重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型353.拉氏變換的基本性質(zhì)

(1)線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。(2)微分性質(zhì)若，則有f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時的初始值。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型36

證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型37(3)積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t=0時的值。證：設(shè)則有由上述微分定理，有2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型38即：同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型39（4）終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對s趨向于0取極限2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型40注：若時f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲，則其象函數(shù)應(yīng)乘以2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型41b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時間比例尺定理原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：證：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型42(8)卷積定理兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。即證明：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型43

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型44性質(zhì)總結(jié)：線性定理

位移定理

延遲定理終值定理2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型45初值定理微分定理積分定理2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型46二.拉氏反變換

1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型47

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型48例3.2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型492.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點,這時,F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型502023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型512023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型52（2）情況2:F(s)有共軛極點例2：求解微分方程2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型53（3）情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點,而其余極點均不相同。那么2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型542023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型552023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型562023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型57如果不記公式,可用以下方法求解也可得解。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型582.3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型2.3.1傳遞函數(shù)2.3.2傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響2.3.3典型元部件的傳遞函數(shù)2.3.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型59

在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2.3.1傳遞函數(shù)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型60

式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai和bj是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則微分方程求拉氏變換，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程描述為：

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型61系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)分子多項式，其零點為傳遞函數(shù)的零點。特征多項式，其零點為傳遞函數(shù)的極點。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型62例5求例2機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：--》機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)--》電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型63性質(zhì)1

傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關(guān)。性質(zhì)3傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。性質(zhì)4

傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型64例2-6在例2-1中，設(shè)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù),即時,求輸出解：

根據(jù)例2-1得到的微分方程。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型652023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型662.3.2傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點極點是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型67零點距極點的距離越遠(yuǎn)，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大。零點距極點的距離越近，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小。如果零極點重合－該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型682.3.3典型元部件的傳遞函數(shù)電位器：將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。

單個電位器用作為信號變換裝置。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型69單位角位移的輸出電壓（v/rad）E-電位器電源（v）

－電位器最大工作角（rad）2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型70測速發(fā)電機(jī)－測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置

轉(zhuǎn)子角速度（rad/s）輸出斜率（v/rad/s）直流測速發(fā)電機(jī)交流測速發(fā)電機(jī)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型71電樞控制直流伺服電動機(jī)例2-2中求得電樞控制直流電動機(jī)簡化后的微分方程為負(fù)載轉(zhuǎn)矩可視為擾動,分別求到和到的傳遞函數(shù)。

a令b令2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型722023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型73兩相伺服電機(jī)

重量輕、慣性小，加速特性好，是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行電機(jī)。

兩相伺服電機(jī)的特性曲線有負(fù)的斜率，且呈非線性?？刂葡到y(tǒng)中伺服電機(jī)一般工作在零轉(zhuǎn)速附近，可把低速部分的線性段延伸到高速范圍，用低速直線近似代替非線性特性。此外，也可用小偏差線性化方法。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型74一般，兩相伺服電動機(jī)機(jī)械特性的線性化方程可表示為(2-3-2)

其中可用額定電壓時的堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩確定，即

如不考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩，則電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩用來驅(qū)動負(fù)載并克服粘性摩擦，故得轉(zhuǎn)矩平衡方程為(2-3-1)

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型75取拉氏變換

將(2-3-2)代入(2-3-1)后代入(2-3-3)得

(2-3-3)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型76

與直流電動機(jī)得傳遞函數(shù)在形式上完全相同。電樞控制式直流電動機(jī)-常應(yīng)用在輸出功率比較大的控制系統(tǒng)中，其效率比兩相交流電動機(jī)的效率要高得多。

兩相伺服電動機(jī)-常應(yīng)用在儀表隨動系統(tǒng)中，功率范圍在零點幾瓦至100瓦。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型77無源網(wǎng)絡(luò)

為了改善控制系統(tǒng)的性能，常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成。1：列寫網(wǎng)絡(luò)的微分方程，然后在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換。無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的求解方法：2：利用復(fù)數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程，然后求其傳遞函數(shù)。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型782.3.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：

1比例環(huán)節(jié) 式中K-增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。2慣性環(huán)節(jié)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型79

式中T-時間常數(shù)

特點：含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能 立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。

實例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這 一環(huán)節(jié)。3微分環(huán)節(jié)

理想微分一階微分二階微分

特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型804積分環(huán)節(jié)

5振蕩環(huán)節(jié)

式中ξ－阻尼比

-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點：有兩個獨立的儲能元件，可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路,電樞控制的直流伺服電機(jī)。

特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電機(jī)角速度與角度關(guān)系，模擬計算機(jī)積分器等。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型816純時間延時環(huán)節(jié)特點：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。－延遲時間2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型822.4控制系統(tǒng)的方塊圖2.4.1方塊圖元素2.4.2幾個基本概念及術(shù)語2.4.3方塊圖的繪制2.4.4方塊圖的簡化——等效變換2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型83(2)信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。（3）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進(jìn)行加減比較的元件。

“+”表示相加，“-”表示相減。“2.4控制系統(tǒng)的方塊圖、信號流圖與梅遜公式方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。2.4.1方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型84注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量綱。(4)分支點（引出點、測量點）BranchPoint

表示信號測量或引出的位置注意：同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型852.4.2幾個基本概念及術(shù)語(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型86(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction

假設(shè)N(s)=0，主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction 假設(shè)N(s)=0，輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型87推導(dǎo)：因為

右邊移過來整理得

即

適用于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型88(5)誤差傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0，誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入，消去G(s)即得：將2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型89圖2-18輸出對擾動的結(jié)構(gòu)圖利用公式**，直接可得：(6)輸出對擾動的傳遞函數(shù)[R(s)=0]**2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型90（7）誤差對擾動的傳遞函數(shù)[R(s)=0]

圖2-19誤差對擾動的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型91

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入R(s)與擾動N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：注意：由于N(s)極性的隨機(jī)性，因而在求E(s)時，不能認(rèn)為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型92（1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種。

2.4.3方塊圖的繪制2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型93圖2-20一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖2-20，利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對其進(jìn)行拉氏變換得：

例2-8畫出下列RC電路的方塊圖。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型94將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖。_2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型95畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

由圖清楚地看到，后一級R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。例2-92023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型96解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運算電路圖如圖(b)；

（2）根據(jù)列出的4個式子作出對應(yīng)的框圖；

（3）根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型97負(fù)載效應(yīng)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型98如果在這兩極R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-22所示。則此電路的方塊圖如下圖所示。

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型992.4.4方塊圖的簡化——等效變換

為了由系統(tǒng)的方塊圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對方塊圖進(jìn)行等效變換。方塊圖的等效變換必須遵守一個原則，即變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由相應(yīng)環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。三種基本形式的等效法則一定要掌握。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型100圖2-23環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接

（1）串聯(lián)連接

結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù) 等于所有傳遞函數(shù)的乘積。n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型101圖2-24環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接

（2）并聯(lián)連接結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于 所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型102圖2-25環(huán)節(jié)的反饋連接

（3）反饋連接2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型103（4）比較點和引出點的移動圖2-26比較點移動示意圖

2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型104

圖2-27分支點移動示意圖

右2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型105信號相加點和分支點的移動和互換[注意]：相臨的信號相加點位置可以互換；見下例2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型106信號相加點和分支點的移動和互換

同一信號的分支點位置可以互換：見下例

相加點和分支點在一般情況下，不能互換。常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2-1

所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型107結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11[例2]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)?？偟慕Y(jié)構(gòu)圖如下：---引出點后移2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型108結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11

為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：--①--②比較點前移相鄰比較點合并2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型109結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11--③-④2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型110[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例3]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點移動-+①2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型111-+②結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-122023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型112例2-10用方塊圖的等效法則，求圖2-28所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解：圖2-28G22023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1132023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型114小結(jié)結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法；結(jié)構(gòu)圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；作業(yè)：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1152-5信號流圖

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型116一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖：信號流圖的概念節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路增益。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型117上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對輸出節(jié)點y來說是輸入支路。信號流圖的概念2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型118信號流圖的術(shù)語[語幾個術(shù)]：

輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：C

混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：E，P，Q?；旌瞎?jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進(jìn)信號的疊加。

前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時，每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路。

輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：R，N。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型119

回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路。

互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。信號流圖的術(shù)語

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型120信號流圖的等效變換

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型121

混合支路的清除：

自回路的消除：信號流圖的等效變換2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型122信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的信號流圖的性質(zhì)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型123信號流圖的繪制[信號流圖的繪制]：⒈根據(jù)結(jié)構(gòu)圖例2已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型124信號流圖的繪制⒉按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為按方程可繪制信號流圖2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型125梅遜公式的推導(dǎo)二、梅遜公式的推導(dǎo)如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型126于是可求得該方程組的系數(shù)行列式和

梅遜公式的推導(dǎo)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型127根據(jù)克萊姆法則得

于是傳遞函數(shù)為

分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。梅遜公式的推導(dǎo)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型128圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值恰好為

可見，傳遞函數(shù)的分母△取決于信號流圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。

梅遜公式的推導(dǎo)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型129

如果把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為△k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅遜公式的推導(dǎo)2023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型130故用信號流圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的術(shù)語，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

梅遜公式的推導(dǎo)傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式△２除以R(s)。而恰好為

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=12023/11/10控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型131梅遜公式

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點