小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率及小學(xué)數(shù)學(xué)聽課記錄

小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率一、數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵1.在實(shí)驗(yàn)稿《課標(biāo)》中“統(tǒng)計(jì)觀念”是核心概念，現(xiàn)在為什么改名為“數(shù)據(jù)分析觀念”呢？在《不列顛百科全書》中關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)是這樣定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。的確，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，它是通過收集數(shù)據(jù)，以及對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)幫我們解決問題的。在義務(wù)教育階段我們處理的數(shù)據(jù)都是有實(shí)際背景的，正如課表組組長(zhǎng)史寧中教授所述：“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體包括數(shù)，也包括言語(yǔ)、信號(hào)、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)就是通過這些載體來(lái)提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)?！笨梢?，統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)核心是數(shù)據(jù)分析，實(shí)驗(yàn)稿中叫統(tǒng)計(jì)觀念，現(xiàn)在叫數(shù)據(jù)分析觀念，這兩點(diǎn)并沒有本質(zhì)性的不同，而是用這樣的語(yǔ)言更加點(diǎn)出了統(tǒng)計(jì)的核心就是數(shù)據(jù)分析讓人一目了然。2.數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵在課標(biāo)當(dāng)中，對(duì)于數(shù)據(jù)分析觀念，有這樣的描述：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面說明只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。3.如何發(fā)展學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”？第一，就是讓學(xué)生去經(jīng)歷這個(gè)數(shù)據(jù)分析的過程，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息。例如，清華附屬小學(xué)安華老師執(zhí)教的一年級(jí)《統(tǒng)計(jì)》。安老師為學(xué)生提供了四部動(dòng)畫片，選出大家最喜歡看的一部進(jìn)行播放。學(xué)生的想法各不相同，這可怎么辦呢？老師啟發(fā)學(xué)生自己去想辦法，讓學(xué)生感悟到我們是為了解決問題而來(lái)做統(tǒng)計(jì)的。統(tǒng)計(jì)什么？怎樣統(tǒng)計(jì)呢？學(xué)生自始至終都在思考中，他們最先想到舉手表決，卻沒有準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，然后又繼續(xù)想辦法，有的學(xué)生說站起來(lái)這樣數(shù)的更清楚了，還有說在小組內(nèi)去統(tǒng)計(jì)，然后我們?cè)賲R總，最后大家都統(tǒng)一到用投票表決的方法來(lái)統(tǒng)計(jì)。當(dāng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)上來(lái)以后，如何讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息呢？安老師讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)來(lái)推斷，看哪部動(dòng)畫片，要用數(shù)據(jù)來(lái)說話。恰巧當(dāng)時(shí)這個(gè)班正好有一個(gè)孩子是請(qǐng)假?zèng)]來(lái)，老師提出問題：如果這名同學(xué)也來(lái)投票表決，還是去看“多啦A夢(mèng)”嗎？學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)利用簡(jiǎn)單推理也做出了判斷。第二，鼓勵(lì)學(xué)生掌握數(shù)據(jù)分析的方法，根據(jù)問題的背景能選擇合適的方法。例如，體育課上11名男同學(xué)100米跑的成績(jī)：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。平均數(shù)：15秒6，中位數(shù)：16秒6（1）如果選擇參加一項(xiàng)比賽，希望有一半的男同學(xué)可以參加，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？（2）如果希望確定一個(gè)較高的標(biāo)準(zhǔn)，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？（答案不唯一）（3）如果要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你如何確定？為什么？第三，通過數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。史寧中說：“統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念，難點(diǎn)在于，如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，體現(xiàn)隨機(jī)性以及數(shù)據(jù)獲得、分析、處理進(jìn)而作出決策的全過程?！崩纾荷蠈W(xué)時(shí)間。學(xué)生記錄自己在一個(gè)星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，如果把記錄時(shí)間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時(shí)間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時(shí)具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個(gè)星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時(shí)間。為什么我們要在統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)中，把數(shù)據(jù)分析觀念作為一個(gè)核心概念呢？可以從標(biāo)準(zhǔn)解讀中對(duì)核心概念的價(jià)值進(jìn)行分析。在標(biāo)準(zhǔn)解讀中，提出了四個(gè)方面的價(jià)值。第一，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面(教育價(jià)值)；第二，核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵；第三，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想；第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實(shí)。二、統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容變化及主線分析（一）新課標(biāo)中關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)1.《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)2．分析調(diào)整原因“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)做了較大調(diào)整，使三個(gè)學(xué)段內(nèi)容學(xué)習(xí)的層次性更加明確。強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得更加緊密。內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，三個(gè)學(xué)段有較大的差別。第一學(xué)段內(nèi)容大減少，只保留3條要求。主要是學(xué)會(huì)分類、會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)搜集與整理的；第二學(xué)段分為“簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”兩部分，共8條；第三學(xué)段分為“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“事件的概率兩部分”，共11條。這樣調(diào)整的原因在于，在實(shí)驗(yàn)過程中原來(lái)第一學(xué)段對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，按照學(xué)生現(xiàn)有的理解水平，學(xué)習(xí)有一定困難，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施有很大難度。同時(shí)，在內(nèi)容上與后面兩個(gè)學(xué)段有很大的重復(fù)。因此，較大幅度降低了第一學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，對(duì)后兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容也做相關(guān)的調(diào)整，如中位數(shù)、眾數(shù)等內(nèi)容從第二學(xué)段移到第三學(xué)段。這樣使統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容在三個(gè)學(xué)段的要求上有明顯區(qū)分，在難度上也表現(xiàn)一定的梯度。（二）統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容主線，主要包括四方面的內(nèi)容，第一是數(shù)據(jù)分析過程；第二是數(shù)據(jù)分析方法；第三是數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；第四是隨機(jī)現(xiàn)象及簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。這四條主線很重要，我們常說教知識(shí)不僅僅要教給學(xué)生一顆一顆的珍珠，還需要把這些珍珠串成一條一條美麗的項(xiàng)鏈，顯然主線就是串這個(gè)項(xiàng)鏈非常重要的方面。我們可以看到課標(biāo)每個(gè)學(xué)段的第一句話，都是提出了有關(guān)過程的要求，顯然就成為了統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的最主要或者最首要的一個(gè)主線，《標(biāo)準(zhǔn)》在三個(gè)階段都提出了相應(yīng)的要求：在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計(jì)算器）”。在第三學(xué)段中，提出“經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)”。從三個(gè)學(xué)段的要求不難看到，首先過程都是重要的，第二數(shù)據(jù)分析的過程可以包括收集、整理、描述和分析，另外隨著年齡的差別，在要求上會(huì)有所差別，第一學(xué)段經(jīng)歷簡(jiǎn)單就可以了，到第二學(xué)段稍微要把描述分析數(shù)據(jù)提出來(lái)是這樣一個(gè)過程，為了使大家對(duì)這個(gè)過程，再加深理解，我們下面列舉標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)案例，來(lái)說明這個(gè)過程。第一學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）：對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。從以下的數(shù)據(jù)中可以得到哪些信息呢？第1小組116128124135128141第2小組129130134127134138第3小組138142119123127146第4小組119137136138150152第5小組125120131143135148第6小組138132147139148139[說明]學(xué)校一般每年都要測(cè)量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個(gè)問題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點(diǎn)，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測(cè)量身高的數(shù)據(jù)都保留下來(lái)，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：（1）指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過程中，括號(hào)中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)所代表的意義。（3）在整理中，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如，尋找最高，可以直接比較尋找，當(dāng)學(xué)生人數(shù)比較多時(shí)，也可以分組尋找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中尋找最高；在考慮順序問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)有不同的排序方法。例如，先找到最?。ù螅┑?，然后在剩余的數(shù)中再找到最小（大）的，依次將這些數(shù)按從小（大）到大（?。┑捻樞蜻M(jìn)行排序；或者先固定一個(gè)數(shù)，拿第二個(gè)數(shù)與之比較，然后取第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)比較，根據(jù)它們之間的大小關(guān)系決定位置，這樣繼續(xù)下去，最后將這些數(shù)排序。無(wú)論學(xué)生的出發(fā)點(diǎn)如何，只要思路清晰、排序正確即可。第二學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例38）：對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。[說明]在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來(lái)學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測(cè)未來(lái)身高變化趨勢(shì)。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來(lái)代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以關(guān)注如下要點(diǎn)：（1）組織學(xué)生討論并明確畫統(tǒng)計(jì)圖的基本標(biāo)準(zhǔn)。如果學(xué)生意見不一致，可以根據(jù)意見的不同把學(xué)生分組，各自畫出統(tǒng)計(jì)圖后進(jìn)行比較。（2）可以把幾年來(lái)全班同學(xué)平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生與自己身高數(shù)據(jù)的折線圖進(jìn)行分析比較。還可以對(duì)男女生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和比較。（3）組織學(xué)生討論用什么數(shù)據(jù)來(lái)代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。學(xué)生可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進(jìn)行比較；可以用出現(xiàn)次數(shù)最多的身高作為代表（“眾數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比；也可以用班級(jí)中等水平學(xué)生的身高作為代表（“中位數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比。學(xué)生只要能說出自己的理由就可以，不需要出現(xiàn)“眾數(shù)”“中位數(shù)”等名詞（只要求教師理解，不要求給學(xué)生講解）。（4）雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)論清晰，能夠更好地反映實(shí)際背景。第三學(xué)段：比較自己班級(jí)與別的班級(jí)同學(xué)的身高狀況。[說明]對(duì)于兩個(gè)班級(jí)學(xué)生身高狀況比較，通常可以通過平均值來(lái)判斷，但有時(shí)候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個(gè)班的平均高一些，也不能說這個(gè)班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時(shí)，不僅要看平均值，還需要參考方差。同樣的一個(gè)內(nèi)容，在不同的年級(jí)可以有不同的要求，第一學(xué)段，要求的難度，就是在提取信息的數(shù)量上，要求并不是非常的高，關(guān)鍵是讓他意識(shí)到，感悟到數(shù)據(jù)是信息，那么到了第二學(xué)段，顯得這個(gè)要求又有所變化了，總之要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析的過程，要親自參與其中。三、數(shù)據(jù)分析的方法1．收集數(shù)據(jù)的方法在收集數(shù)據(jù)的方法中我們要把握這么幾點(diǎn)：第一點(diǎn)就是我們所涉及的數(shù)據(jù)，可能是全體數(shù)據(jù)，或者我們說總體數(shù)據(jù)，也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)，在小學(xué)階段，學(xué)生收集的基本上都是總體數(shù)據(jù)。第二個(gè)就是數(shù)據(jù)的來(lái)源，實(shí)際上是有兩種，一種就是閱讀別人現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，比如說報(bào)刊資料上等等的數(shù)據(jù)，還有一點(diǎn)就是需要自己的調(diào)查的數(shù)據(jù)，對(duì)于小學(xué)來(lái)說除了要看別人的數(shù)據(jù)非常重要，也要自己要做一些調(diào)查數(shù)據(jù)，在這方面很多老師都有非常好的經(jīng)驗(yàn)和設(shè)計(jì)好的例子，比如我看到一些課堂中，老師們引入了讓一年級(jí)的孩子來(lái)統(tǒng)計(jì)換乳牙的情況，或者讓有些同學(xué)來(lái)統(tǒng)計(jì)看電視的時(shí)間等等，值得注意的是如果我們讓學(xué)生去收集自己調(diào)查的數(shù)據(jù)，一定要教給他們一些方法，比如說我曾看到，有的學(xué)生并不知道什么叫乳牙，他也不知道看電視的時(shí)間應(yīng)該怎么統(tǒng)計(jì)，所以這樣以來(lái)呢，報(bào)出來(lái)的數(shù)據(jù)就不夠真實(shí)，是比影響統(tǒng)計(jì)的效果，那我們可以安排一些活動(dòng)，讓學(xué)生在老師的指導(dǎo)下，或者在家長(zhǎng)的幫助下，讓他來(lái)去調(diào)查，這樣會(huì)更好。常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括這么幾方面：調(diào)查的方法、實(shí)驗(yàn)的方法、測(cè)量的方法、查閱資料的方法等等?？偠灾瑢W(xué)生應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法有一個(gè)比較豐富的體驗(yàn)，《課標(biāo)》無(wú)論在第一學(xué)段還是第二學(xué)段都提出了這樣的要求，比如說在第一學(xué)段課標(biāo)是這樣說的，要了解一些調(diào)查、測(cè)量等收集數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單方法。那么有的老師說這兩個(gè)好像也沒有太大區(qū)別，其實(shí)嚴(yán)格意義上都是學(xué)生自己去做，當(dāng)然我們可以這么理解，調(diào)查就是學(xué)生去問問自己的同伴，那么測(cè)量呢，比如說我們可以量量這個(gè)課桌有多長(zhǎng)，我們量量我們班的課桌大體上都是多長(zhǎng)，包括我們?cè)谇懊媾e過的上學(xué)時(shí)間都可以理解是測(cè)量。在第二學(xué)段，顯然又進(jìn)了一步，要求學(xué)生能夠自己來(lái)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，這跟第一學(xué)段相比有進(jìn)一步的提高，而且能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，就不僅僅是了解了，在選擇方法中包括了我們說的調(diào)查，可以做一些測(cè)量，還可以做一些試驗(yàn)，比如說我們?cè)瓉?lái)肯定做過的物理試驗(yàn)，或者說呢有的課上這樣讓學(xué)生做試驗(yàn)，反彈高度，就不同高度拋一個(gè)球，肯定起始高度越高，反彈高度一般情況下都會(huì)高，那么到底是什么關(guān)系呢，這時(shí)候通過試驗(yàn)來(lái)獲取一些數(shù)據(jù)。這三點(diǎn)都是學(xué)生能夠自己獲得的。當(dāng)然我們也要讓學(xué)生了解現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，也就是從報(bào)刊、雜質(zhì)、電視等等媒體中呢，有意識(shí)的獲得一些數(shù)據(jù)，那么總而言之應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法有比較豐富的體驗(yàn)。2．整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法當(dāng)人們收集了一堆數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來(lái)比較雜亂，這就需要來(lái)整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對(duì)看起來(lái)雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖表等直觀地表示出來(lái)，并加以適當(dāng)?shù)姆治觯瑸槿藗冏鞒鰶Q策和推斷提供依據(jù)。常用的收集數(shù)據(jù)方法包括調(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量、查閱資料等。學(xué)生應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗(yàn)。為此，《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測(cè)量等收集數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單方法”；在第二學(xué)段提出“會(huì)根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù)據(jù)”“能從報(bào)紙雜志、電視等媒體中，有意識(shí)地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等常見的統(tǒng)計(jì)圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個(gè)重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)。統(tǒng)計(jì)圖可以很直觀反應(yīng)數(shù)據(jù)，學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的分析以及預(yù)測(cè)都是數(shù)據(jù)分析觀念的重要體現(xiàn)。對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，提出幾點(diǎn)需要注意的：第一，不要急于引入正規(guī)統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段《標(biāo)準(zhǔn)》要求鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式來(lái)描述數(shù)據(jù)。第二，在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會(huì)各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，能根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述數(shù)據(jù)。第三，鼓勵(lì)學(xué)生讀懂媒體中的一些統(tǒng)計(jì)圖表。第四，鼓勵(lì)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)圖中獲取盡可能地有用信息。這個(gè)問題也是大家普遍困惑的，到底引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面來(lái)“讀圖”呢？Curcio(1987)把學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)分為三個(gè)水平：（1）數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingthedata），包括用能夠得到的信息來(lái)回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀?。╮eadingbetweenthedata）。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingbeyondthedata），包括通過數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推斷預(yù)測(cè)推理，并回答具體的問題。在實(shí)際教學(xué)中，教師已經(jīng)開始重視鼓勵(lì)學(xué)生嘗試由信息來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。但是，在教學(xué)中還存在了一些誤區(qū)。比如，曾經(jīng)有過這樣的案例：如圖2，教師鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)某女生出生到12歲的身高，由此去預(yù)測(cè)這個(gè)學(xué)生15歲的身高（圖2到圖7中縱軸的身高單位為厘米）。有的學(xué)生（雖然是很少數(shù)）脫離了數(shù)據(jù)去進(jìn)行“預(yù)測(cè)”：“我覺得她應(yīng)該能長(zhǎng)到190厘米，因?yàn)槲蚁Ｍゴ蚧@球”。就是基于數(shù)據(jù)，學(xué)生也有五花八門的答案，有的說：“8歲到10歲長(zhǎng)了10厘米，10歲到12歲長(zhǎng)了24厘米，照這個(gè)趨勢(shì)12到14歲要長(zhǎng)30多厘米，我估計(jì)她到15歲要到2米了”；有的說：“8歲到10歲長(zhǎng)了10厘米，10歲到12歲長(zhǎng)了24厘米，12歲到14歲又會(huì)回到長(zhǎng)10厘米，我估計(jì)她到15歲快到180厘米”；還有的說：“到12歲就不怎么長(zhǎng)了，我估計(jì)她到15歲差不多170厘米。”面對(duì)五花八門的答案，教師也覺得都有道理，不知如何引導(dǎo)。這里需要注意兩點(diǎn)。第一，預(yù)測(cè)需要基于數(shù)據(jù)。對(duì)于脫離數(shù)據(jù)進(jìn)行“預(yù)測(cè)”的學(xué)生，要引導(dǎo)他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個(gè)預(yù)測(cè)也有可能，但可能性不會(huì)大；第二，有時(shí)候?yàn)榱烁侠淼仡A(yù)測(cè)，需要我們收集更多的數(shù)據(jù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：幾個(gè)學(xué)生的想法都有道理，但是要比較合理地預(yù)測(cè)，還需要我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經(jīng)和她差不多情況的人15歲的身高來(lái)幫助預(yù)測(cè)；或者把她與當(dāng)?shù)嘏骄砀哌M(jìn)行對(duì)比，看看12歲與平均身高的對(duì)比情況，由此預(yù)測(cè)15歲與平均身高的對(duì)比情況。當(dāng)然，無(wú)論哪種預(yù)測(cè)都不能肯定是正確的，但會(huì)比單純依靠這個(gè)學(xué)生以前的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)要合理。進(jìn)一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵(lì)學(xué)生實(shí)際去做。在這樣的思考下，一位老師做了如下的設(shè)計(jì)：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖來(lái)進(jìn)行“三次”預(yù)測(cè)。第一次，教師呈現(xiàn)小婷（女生）出生到12歲的身高數(shù)據(jù)（如圖2），鼓勵(lì)學(xué)生預(yù)測(cè)她15歲的身高。和前面敘述的一樣，學(xué)生基于這個(gè)數(shù)據(jù)給出了不同答案。教師沒有就此結(jié)束，而是給出了小婷15歲的身高，引起學(xué)生的反思：“實(shí)際上，小婷今年已經(jīng)15歲了，她的身高是168厘米”，并得到圖3。在此基礎(chǔ)上再鼓勵(lì)學(xué)生預(yù)測(cè)小婷18歲的身高。學(xué)生發(fā)現(xiàn)小婷12—15歲增長(zhǎng)的幅度不大，由此推斷15—18歲增長(zhǎng)的幅度也會(huì)不大。那么是這樣嗎？有的學(xué)生提出可以找一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們18歲時(shí)的身高。根據(jù)學(xué)生的想法，教師呈現(xiàn)了如下三個(gè)女生的身高（如圖4，圖5，圖6）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行第二次預(yù)測(cè)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然她們的身高具體數(shù)值不同，但15—18歲變化趨勢(shì)卻比較一致，增長(zhǎng)的幅度都不大，由此可以預(yù)測(cè)小婷到18歲很可能只比15歲時(shí)增長(zhǎng)2厘米左右，即她18歲的身高在170厘米左右。還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)小婷的身高值與圖6所表示的女生比較接近，并且比這個(gè)女生略矮一些，由此根據(jù)這個(gè)女生18歲171厘米預(yù)測(cè)小婷170厘米。進(jìn)一步，有的學(xué)生提出只有這三個(gè)女生的數(shù)據(jù)是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數(shù)據(jù)。于是，教師給出了北京城市女生平均身高統(tǒng)計(jì)圖（如圖7），鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行第三次預(yù)測(cè)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)也有這個(gè)趨勢(shì)：15到18歲的身高增長(zhǎng)的不多，由此預(yù)測(cè)小婷的身高是170厘米左右。有的學(xué)生則根據(jù)15歲時(shí)小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估計(jì)小婷18歲時(shí)也要多6厘米，所以是169厘米左右。當(dāng)然，這些預(yù)測(cè)也并不能保證一定正確。以上“三次預(yù)測(cè)”的案例是鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取合理信息的有益嘗試，在實(shí)踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵(lì)學(xué)生有效獲取信息的策略，這也構(gòu)成了需要進(jìn)一步研究的問題。教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計(jì)算方法等的掌握。需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖?？傊?，“統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞'”，而不是“對(duì)錯(cuò)”。3．關(guān)于統(tǒng)計(jì)教學(xué)的幾點(diǎn)建議（1）發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值。（2）教師要重視統(tǒng)計(jì)，并把發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)。（3）切忌將統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)處理成單純數(shù)字計(jì)算和繪圖技能。四、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性1．?dāng)?shù)據(jù)隨機(jī)性的內(nèi)涵數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。老師們存在這樣的困惑：概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢？對(duì)于這個(gè)問題，史寧中教授這樣回答：我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對(duì)于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是1/2，然后讓學(xué)生通過反復(fù)擲硬幣去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。這里有兩個(gè)問題。第一，一個(gè)硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是1/2，這是數(shù)學(xué)（或者稱為概率）。這個(gè)1/2是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗(yàn)證出來(lái)的。實(shí)際上，學(xué)生做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到1/2，反而更加糊涂了。第二，運(yùn)用定義的方式教學(xué)隨機(jī)，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念。需要指出的是，我們贊成做實(shí)驗(yàn)，贊成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想來(lái)做實(shí)驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)是通過數(shù)據(jù)來(lái)獲取一些信息，來(lái)幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計(jì)上就會(huì)這樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計(jì)算出現(xiàn)正面的比例（頻率），然后用頻率來(lái)估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個(gè)可能性接近1/2的話，就推斷這個(gè)硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計(jì)的思想。2．合理設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性《標(biāo)準(zhǔn)》中提出了“體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)”的想法，如何在課堂中設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)落實(shí)“體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)”的目的呢？一個(gè)好的切入點(diǎn)是對(duì)目前課堂教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)加以分析，看看哪些實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)是合理的，哪些還需要進(jìn)一步的思考和改進(jìn)。第一類：“驗(yàn)證”類下面是一個(gè)五年級(jí)的課堂教學(xué)片段：老師拿出一個(gè)盒子，盒子里有9個(gè)白球、1個(gè)黃球。如果從中任意摸出1個(gè)球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？(學(xué)生略做思考后交流。)生1：可能摸到白球，也可能是黃球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因?yàn)橛?0個(gè)球，其中9個(gè)是白球。（大家都表示同意）師:好，下面就請(qǐng)你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗(yàn)證一下大家的想法。本活動(dòng)的目的是驗(yàn)證摸到白球的概率是否為9/10，如前所述是不提倡的。因?yàn)閷W(xué)生完全可以通過分析推理得到摸到白球的概率，他們產(chǎn)生不了做實(shí)驗(yàn)的需求。如果做了實(shí)驗(yàn)，摸到白球的頻率往往不是9/10，學(xué)生反而產(chǎn)生困惑，當(dāng)然也體會(huì)不到數(shù)據(jù)的作用了。第二類：“體會(huì)隨機(jī)”類看下面的一個(gè)二年級(jí)的課堂教學(xué)片段：組織小組活動(dòng)：盒子里有3個(gè)黃球、3個(gè)白球。每次摸出1個(gè)，摸之前先猜猜你會(huì)摸到什么顏色的球?每次你都猜對(duì)了么?活動(dòng)結(jié)束時(shí)，老師詢問:有沒有每次都猜對(duì)的同學(xué)?(全班只有2人舉手。)師:為什么我們那么多的同學(xué)都沒有猜對(duì)呢?(此時(shí)，兩個(gè)猜對(duì)的同學(xué)急于向大家介紹方法。)生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣!師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識(shí)一下!生1:(摸出一球，沒看前猜測(cè))黃色!(拿出后是白色，生1低頭坐了下去。)師:怎么不試了?生1：沒有信心了。師:怎么就沒有信心了?生1:摸在手里分辨不出來(lái).生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來(lái)的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯(cuò)出現(xiàn)的。師:你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對(duì)了嗎?生2連連點(diǎn)頭。師(半信半疑地)：還有這個(gè)規(guī)律?摸1個(gè)!(生2摸出1個(gè)白球，放回。)生2:第二次一定是黃球。(第二次生2果真摸出一個(gè)黃球。)師：看來(lái)，下次……生2:第三次該是白球了!(第三次生2摸出個(gè)黃球。)師:這個(gè)規(guī)律還成立么?學(xué)生們直搖頭。師：通過剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么?生:盒子里又有黃球又有白球，摸出一個(gè)球，可能是黃球，也可能是白球.這個(gè)案例乍一看和上面的案例一樣，都是摸球，但仔細(xì)分析目的是不一樣的。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的目的是使學(xué)生體會(huì)不確定性，即事先無(wú)法確定實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。其實(shí)，學(xué)生對(duì)于不確定性的認(rèn)識(shí)并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生們總是希望找到“確定”的結(jié)論。有的學(xué)生認(rèn)為可以憑手感判斷段結(jié)果，有的學(xué)生把球放在固定的地方從而“破壞”隨機(jī)，有趣的是還有的學(xué)生通過幾個(gè)數(shù)據(jù)的黃白相間規(guī)律就去推斷整體是這樣的。學(xué)生出現(xiàn)這些想法是正常，逐漸消除學(xué)生存在的誤解正是教學(xué)的目標(biāo)之一。而最好的辦法就是讓學(xué)生親自實(shí)驗(yàn)，案例中教師正是運(yùn)用了這一策略。第三類：“推斷”類上面已經(jīng)舉過這樣的例子，對(duì)于這樣的活動(dòng)是在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中大力提倡的，即通過數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推斷。我給大家準(zhǔn)備了兩種骰子，一種是均勻的，另一種是不均勻的，但不知道哪種是均勻的，哪種是不均勻的。1、2、3組是一種骰子，4、5、6組是一種骰子。每個(gè)小組至少拋15次，記錄下分別是幾點(diǎn)，然后我們統(tǒng)計(jì)“1”點(diǎn)和“6”點(diǎn)的次數(shù)。（1、2、3組“1”點(diǎn)28次，“6”點(diǎn)33次；4、5、6組“1”點(diǎn)40次，“6”點(diǎn)27次）生：1、2、3組的骰子是均勻的，4、5、6組的骰子是不均勻的。師：他的結(jié)論你們同意嗎？28和33也不一樣啊？生：差距比較小。師：4、5、6組呢？差距大。師：我們就做出推斷，4、5、6組的骰子可能是不均勻的。想知道謎底嗎？第四類：“運(yùn)用頻率估計(jì)概率”類有的教師在課堂中創(chuàng)設(shè)了如下的情境：父親和兒子決定誰(shuí)去看奧運(yùn)會(huì)男籃決賽。但是，與過去教學(xué)不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。師：舉世矚目的北京奧運(yùn)會(huì)圓滿地、無(wú)與倫比地結(jié)束了。去過北京，現(xiàn)場(chǎng)看奧運(yùn)會(huì)的請(qǐng)舉手。沒有人，的確，就是北京當(dāng)?shù)氐娜艘操I不到奧運(yùn)會(huì)的門票。我有一位朋友，知道我當(dāng)年是學(xué)?；@球隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，就專門幫我找了一張男子籃球決賽的門票。（出示籃球票）只有一張。我兒子也是個(gè)籃球迷?？鬃诱f：“己所不欲，勿施于人”。怎么辦呢？飯桌上，我和兒子商量。我兒子看到桌子上有一個(gè)啤酒瓶蓋，就說：“爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。”我說：“兒子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶蓋正、反面圖片，并標(biāo)注“正——兒子、反——爸爸”）你們想一想，（板書：?jiǎn)栴}）這個(gè)辦法好不好？認(rèn)為好的舉手。（學(xué)生紛紛舉手表示認(rèn)可。）師：為什么好？誰(shuí)能說一下，你是怎么想的？生1：我覺得是靠命運(yùn)決定的，所以公平。生2：我認(rèn)為是公平的，因?yàn)閮鹤拥臋C(jī)遇是二分之一，爸爸的機(jī)遇也是二分之一。師：二分之一，就是這個(gè)瓶蓋拋起來(lái)的時(shí)候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有兩種可能，（板書：可能性）并且拋一次的話，一定會(huì)有一面朝上。所以說這是公平的。有沒有不同的想法？生3：我認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)有所爭(zhēng)議，因?yàn)槠【破可w打開過，會(huì)有一定的折痕，會(huì)影響最終的公平性。師：你想的很好，不過我們選的啤酒瓶蓋如果就是平的，好像就沒問題了。用拋啤酒瓶蓋的辦法，剛才大家都說好了?，F(xiàn)在在他的啟發(fā)下，有沒有人認(rèn)為不好？生4：我認(rèn)為瓶子蓋的反面那一圈是折起來(lái)的，這一面的重量會(huì)比正面的重量大，所以爸爸勝的可能性比較大。師：能用“可能性”這個(gè)詞很好。同意這個(gè)觀點(diǎn)的人請(qǐng)舉手。部分同學(xué)同意。師：小結(jié)，看來(lái)現(xiàn)在有兩種意見了。生3一直堅(jiān)持舉手，最終獲得發(fā)言機(jī)會(huì)：我認(rèn)為，瓶蓋上的鋸齒也會(huì)影響比賽的結(jié)果。師：經(jīng)過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)問題（指板書：?jiǎn)栴}），用拋啤酒瓶蓋的辦法來(lái)決定誰(shuí)去看比賽，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么辦呢？生4：做個(gè)實(shí)驗(yàn)唄?？匆幌碌降子袥]有問題。師：非常好！做個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)看一看到底公平不公平。（板書：實(shí)驗(yàn)）有這樣的想法非常好。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。通過這個(gè)例子我們可以看到：當(dāng)華老師問這個(gè)方法行不行時(shí)，因?yàn)楹⒆記]有這方面的經(jīng)驗(yàn)，所以很多孩子都認(rèn)為公平，但有一個(gè)孩子認(rèn)為不公平，但是他正好得了一個(gè)相反的結(jié)論，他覺得既然兒子決定的，肯定對(duì)兒子有利，所以這個(gè)正面朝上的可能性大，其實(shí)正好是錯(cuò)誤的，這個(gè)時(shí)候，我們到底哪個(gè)可能性大？這個(gè)概率誰(shuí)大呢？顯然我們這個(gè)時(shí)候做實(shí)驗(yàn)就顯得非常的重要，孩子也說咱們?cè)囈辉嚢桑ㄟ^試一試學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其實(shí)反面朝上的可能性大，當(dāng)然我們?cè)倥浜弦恍┙忉尅Ｗ詈蠼視詢鹤涌雌饋?lái)好像是想自己去，實(shí)際上他是是為了讓他爸爸能夠去，選擇了這樣一個(gè)事情，因?yàn)樗职质莻€(gè)球迷，很有意思。這個(gè)類實(shí)際上跟我們第五類，體會(huì)頻率與概率的關(guān)系，是密切相關(guān)的。因?yàn)檎且驗(yàn)轭l率和概率有關(guān)系，就是我們說的，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率，所以我做的實(shí)驗(yàn)次數(shù)比較多的時(shí)候，我用頻率去估計(jì)概率。3．隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性在本次《課標(biāo)》的修改中，學(xué)生在第一學(xué)段將不再學(xué)習(xí)概率，主要考慮在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計(jì)的重要性是大于概率的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念是這部分內(nèi)容的核心。即使對(duì)于隨機(jī)的學(xué)習(xí)，如前所述，《標(biāo)準(zhǔn)》中也提出運(yùn)用數(shù)據(jù)分析來(lái)體會(huì)隨機(jī)性。第二學(xué)段《標(biāo)準(zhǔn)》安排了概率的學(xué)習(xí)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，稱為“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”。有兩個(gè)方面的要求：在具體情境中，感受簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象的事例，能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。通過實(shí)驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進(jìn)行交流。綜上所述，我們利用這四個(gè)話題，把課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)統(tǒng)計(jì)概率這部分的要求跟大家進(jìn)行溝通。