專題04導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用（講）（原卷版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題04導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·全國·高考真題（理））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題（理））已知，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．總結(jié)規(guī)律預(yù)測(cè)考向（一）規(guī)律與預(yù)測(cè)1.高考對(duì)本部分的要求一般有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式考查，難度較小.3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題．4.涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性、極（最）值的求參數(shù)取值范圍問題，是?？碱}型.（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一導(dǎo)數(shù)的幾何意義【核心知識(shí)】1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．3.函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．警示:求曲線的切線方程時(shí)，要注意是在點(diǎn)P處的切線還是過點(diǎn)P的切線，前者點(diǎn)P為切點(diǎn)，后者點(diǎn)P不一定為切點(diǎn).【典例分析】典例1.（2022·貴州遵義·高三期中（理））若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________．典例2.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．典例3.（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【總結(jié)提升】1.求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y＝f(x)過點(diǎn)P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程．(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程．(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y＝f(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程．2．一些距離類最值，可以轉(zhuǎn)化為求一條直線上的點(diǎn)到一條曲線上的點(diǎn)的最小值，此時(shí)與已知直線平行的曲線的切線到已知直線的距離即為最小值.考向二利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)【核心知識(shí)】主要涉及公切線問題、兩直線位置關(guān)系問題、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線的斜率（切線方程）問題以及與切線相關(guān)的距離問題.【典例分析】典例4.（2022·河南·一模（理））已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）．A． B． C． D．典例5.（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．典例6.（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是___________．【總結(jié)提升】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．考向三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【核心知識(shí)】導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系1．f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0時(shí)，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性．【典例分析】典例7.（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．典例8.（2022·廣西北?！ひ荒＃ㄎ模┖瘮?shù)的增區(qū)間為____________.典例9.（2021·全國·高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(證)不等式(或).2.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．常見構(gòu)造的輔助函數(shù)有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝，g(x)＝exf(x)，g(x)＝，g(x)＝f(x)lnx，g(x)＝等．3.溫馨提醒：（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域．（2）單調(diào)區(qū)間的劃分要注意對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的確認(rèn)．（3）所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．考向四由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【核心知識(shí)】(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的取值范圍；(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在該區(qū)間上有解，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求參數(shù)的取值范圍.【典例分析】典例10.（2022·上海市進(jìn)才高三期中）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.典例11.（2022·陜西·蒲城縣蒲城高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是__________.典例12.（2019·北京·高考真題（理））設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【總結(jié)提升】1.利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.應(yīng)用條件(或)，恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍是不恒等于0的參數(shù)的取值范圍.2.可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f(x)是否滿足題意．3.若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．4.函數(shù)在上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為在上有解.5.特別提醒：（1）弄清參數(shù)對(duì)f′(x)符號(hào)的影響，分類討論要不重不漏．（2）已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，要注意導(dǎo)數(shù)等于零的情況．考向五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值【核心知識(shí)】1.導(dǎo)數(shù)與極值、最值(1)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右負(fù)”?f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左負(fù)右正”?f(x)在x0處取極小值．(2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在該區(qū)間上的極值與該區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值中的“最大者”；函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在該區(qū)間上的極值與該區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值中的“最小者”．2．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．【典例分析】典例13.【多選題】（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線典例14.（2019·全國·高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【特別提醒】1.不能忽略函數(shù)的定義域.2.是可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要不充分條件.3.函數(shù)的極小值不一定比極大值小.4.若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)也是最值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.考向六函數(shù)的極（最）值相關(guān)參數(shù)問題【核心知識(shí)】由函數(shù)極值（個(gè)數(shù)）求參數(shù)的值或范圍．討論極值點(diǎn)有無(個(gè)數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．【典例分析】典例15.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．典例16.（2022·廣東實(shí)驗(yàn)高三階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B． C． D．典例17.（2022·全國·高考真題（理））已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．典例18.（2022·北京海淀·高三期中）已知函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________；②若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【特別提醒】1.已知函數(shù)極值（個(gè)數(shù)），確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．2．由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，故含參數(shù)時(shí)，需注意是否分類討論．3．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問題得以解決．考向七利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象【核心知識(shí)】函數(shù)的圖象與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系的判斷方法(1)對(duì)于原函數(shù)，要重點(diǎn)考查其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．(2)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)考查其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并考查這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．【典例分析】典例19.（2022·貴州遵義·高三期中（理））函數(shù)的大致圖象為（