天津市2024屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

天津市2024屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【山東省濰坊市二模】已知雙曲線的離心率為，其左焦點為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域為，命題的值域為.若為真，為假，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．拋物線的準線方程是A. B.C. D.4．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.5．一條直線過原點和點，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.7．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．記為等差數(shù)列的前n項和，有下列四個等式，甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.10．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或11．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.12．（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與平行，則實數(shù)________.14．已知是橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________15．狄利克雷是十九世紀德國杰出的數(shù)學家，對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.16．已知等差數(shù)列公差不為0，且，，等比數(shù)列，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求的長.18．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計，某公司七年時間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時,國家給予公司補貼5億元,預(yù)測當芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,．參考數(shù)據(jù),19．（12分）已知空間中三點，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)的值20．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值21．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個交點；（2）求直線與圓相交的最短弦長，并求對應(yīng)弦長最短時的直線方程22．（10分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A,B兩點，且時，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標準方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點為∴，∴∵∴∴雙曲線的標準方程為故選D.點睛：本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件求出，，的值是解決本題的關(guān)鍵.2、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.3、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準線方程為4、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標,關(guān)鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.5、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.6、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C7、D【解析】建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為2，連接，以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D8、D【解析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗證得到答案【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時與②矛盾；A錯，若乙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；B錯，若丙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；C錯，若丁不成立，則，由①，③可得，此時；，D對，故選：D.9、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C10、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內(nèi)切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內(nèi)切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內(nèi)切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可知的方程為直線，根據(jù)原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.12、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.14、##【解析】根據(jù)題中幾何關(guān)系，求得點坐標，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點為第一象限的點，過點作的垂線，垂足為，如下所示：因為△為等邊三角形，又，故可得則點的坐標為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.15、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè)，，則.故答案：116、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，等比數(shù)列，可得，則的值可求【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，等比數(shù)列，，則，得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.18、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計算即可(2)代入回歸直線計算即可【小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因為,所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當時,億元,此時公司的實際收益的預(yù)測值為億元19、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標表示出、，利用向量夾角的坐標表示求夾角余弦值；（2）坐標表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標表示列方程求的值.【詳解】由題設(shè)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.20、，因此.,當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【解析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當時，，當時，，故是的最小值點，對應(yīng)的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元21、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）由，變形為求解直線過的定點，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時求解.【小問1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過定點，圓可變形為，因為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個交點；【小問2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最