2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題5.3 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 （解析版）

5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識點總結(jié)1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：對于兩個非零向量a和b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角.當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；當(dāng)θ＝90°時，則稱a與b垂直，記作a⊥b.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.(3)投影向量設(shè)a，b是兩個非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))

稱為向量a在向量b上的投影向量.向量a在向量b上的投影向量為(|a|cos__θ)eq\f(b,|b|).2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.[常用結(jié)論]1.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c

，兩邊不能約去同一個向量.典型例題分析考向一數(shù)量積的計算例1(1)(2022·全國乙卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，則a·b＝()A.－2 B.－1C.1 D.2答案C解析由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，所以a·b＝1，故選C.(2)(2023·八省八校聯(lián)考)如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD向外分別作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝eq\f(π,4)，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝________.答案0解析法一eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|coseq\f(3π,4)＋|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(FA,\s\up6(→))|coseq\f(π,4)＋0＝eq\r(2)－eq\r(2)＝0.法二建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\r(2)－eq\f(1,2)＋eq\r(2)＋eq\f(1,2)＝0.感悟提升平面向量數(shù)量積的兩種運算方法：(1)基底法，當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法，當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.考向二數(shù)量積的應(yīng)用角度1夾角與垂直例2(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝()A.－6 B.－5C.5 D.6答案C解析由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因為〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，

即eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)，即eq\f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5，故選C.(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________.答案eq\f(22,15)解析因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以有eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝eq\f(22,15).角度2平面向量的模例3(2023·華大新高考聯(lián)盟質(zhì)測)已知平面向量a，b，c滿足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，則|a|＝________.答案4eq\r(2)解析依題意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，故a·b＝|a||b|cos45°＝8，解得|a|＝4eq\r(2).感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)利用|a|＝eq\r(a2).2.求平面向量的夾角的方法(1)定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，θ的取值范圍為[0，π].(2)坐標(biāo)法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

考向三平面向量與三角的結(jié)合應(yīng)用例4(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點，點P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，則()A.|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))| B.|eq\o(AP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up6(→))|C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))答案AC解析由題意可知，|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2β＋（－sinβ）2)＝1，所以|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|，故A正確；取α＝eq\f(π,4)，則P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，取β＝eq\f(5π,4)，則P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，則|eq\o(AP1,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(AP2,\s\up6(→))|，故B錯誤；因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cos(α＋β)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))，故C正確；因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝cosα，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,4)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))≠eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))，故D錯誤.感悟提升向量與三角函數(shù)結(jié)合時，通常以向量為表現(xiàn)形式，實現(xiàn)三角函數(shù)問題，要注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題1．已知兩個平面向量的夾角為，且，則等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由平面向量數(shù)量積的運算律求解，【詳解】故選：A2．已知向量滿足，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】.故選：C3．已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積運算和模的運算法則可得，由此根據(jù)已知條件可求得答案.【詳解】∵,又∵∴，∴，∴，故選：B.4．在等腰三角形中，，，若P為邊上的動點，則（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】B【分析】取的中點為，連接，可得及，利用數(shù)量積的運算律及中線向量公式可求．【詳解】取的中點為，連接，因為，故，故，又，故選：B．5．設(shè)，均為單位向量，當(dāng)，的夾角為時，在方向上的投影為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量投影計算公式，計算出所求的投影.【詳解】在上的投影為，故選：B.【點睛】本小題主要考查向量投影的概念和運算，考查單位向量，屬于基礎(chǔ)題.6．已知向量與的夾角為，且，若，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．6 D．13【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算法則計算求解即可.

【詳解】由,.故選：B.二、多選題7．已知單位向量，，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用單位向量的定義可判斷C，D，利用平面向量的數(shù)量積公式計算可判斷A，B.【詳解】解：向量，為單位向量，所以有，故A正確；向量夾角未知，所以B不正確；，所以，所以C正確；向量，方向不一定相同，所以D不正確.故選：AC8．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，且，則下列說法正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義及向量加法的平行四邊形法則判斷即可；【詳解】解：依題意，故A錯誤；，故B正確；因為，即，所以以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，對角線長為，所以，故C正確；因為，所以，故D錯誤；故選：BC三、填空題9．已知，，且與的夾角為，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得；【詳解】解：因為，，且與的夾角為，所以故答案為：10．在邊長為4的等邊中，，則___________.【答案】.【分析】畫出圖形，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解向量的數(shù)量積即可．【詳解】解：邊長為4的等邊中，，，可得是的中點，是的中點，所以，

則．故答案為：．11．若向量、滿足、，且、的夾角為，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】解：因為、，且、的夾角為，所以，所以.故答案為：12．如圖，正的外接圓半徑為，點是劣弧上的一動點，則的最小值為_________．

【答案】/【分析】由圓的性質(zhì)可知是的角平分線，故可知與同向共線，再由平方可得的模為1，原式可化為換求的最小值.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，是與同向的單位向量，設(shè)，原式可化為,由外接圓半徑可知，，,當(dāng)時，有最小值，即的最小值為.故答案為：四、解答題13．已知向量滿足，且，求證．【答案】證明見解析【解析】要證，只需證明，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算即可得證.

【詳解】證明：∵，∴．故命題得證.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題.14．設(shè)和是兩個單位向量，其夾角是，求向量與的夾角.【答案】【分析】根據(jù)題意分別求出以及，進而根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出結(jié)果.【詳解】∵且與的夾角是，∴，，設(shè)與的夾角為θ，則又，∴，故與的夾角為.15．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為.（1）求與的夾角；（2）求；（3）當(dāng)為何值時，向量與向量互相垂直？【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念、投影數(shù)量的概念和向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】（1）因為，所以.又在方向上的投影數(shù)量為，

所以，所以，所以.（2）.（3）因為與互相垂直，所以，所以，所以.16．設(shè)且，k、t是兩個不同時為零的實數(shù).(1)若與垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出函數(shù)的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得，依題意相互垂直，它們的數(shù)量積為零，這個等式，化簡得到的表達式；（2）由于的表達式為二次函數(shù)，故利用配方法可求得其最小值.（1），，即，.，∴，由得或，∵k、t是兩個不同時為零的實數(shù)，∴.故.（2）

由（1）知=，，故函數(shù)的最小值為.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．已知，，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的模求出，再結(jié)合公式計算即可.【詳解】由題意知，，所以，，又，所以，故選：B2．已知非零向量，滿足，且，則向量，的夾角（

）A． B． C． D．

【答案】D【分析】根據(jù)得到，再由向量數(shù)量積的運算法則，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】，，，．，．故選：D.3．已知的外接圓半徑為1，圓心為O，且，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由，變形為，兩邊平方求解.【詳解】因為的外接圓半徑為1，圓心為O，且，所以，兩邊平方得，解得，故選：B4．已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】兩邊平方后可得，再由夾角公式求解即可.【詳解】∵，平方得，∵，，∴，設(shè)，的夾角為，其中，可得，所以.故選：C.

5．點M在邊長為4的正△ABC內(nèi)（包括邊界），滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得的取值范圍，利用向量數(shù)量積的運算求得的取值范圍.【詳解】分別是的中點，則，由于在三角形內(nèi)（包括邊界），且，所以點的軌跡是，所以..故選：B

6．的外接圓的圓心為，半徑為且，則向量在向量方向上的投影為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：為中點，又的外接圓的圓心為，所以，因為，所以，因此向量在向量方向上的投影為，選D.考點：向量投影【方法點睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法

(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡.二、多選題7．邊長為1的菱形中，，已知向量滿足，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．為單位向量 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)單位向量的定義即可判斷A選項；根據(jù)向量的線性運算和共線向量的概念即可判斷B選項；由即可判斷C選項；根據(jù)向量的線性運算和向量的垂直關(guān)系即可判斷D選項.【詳解】解：易知是邊長為1的等邊三角形，而

∴A正確；，而，∴，故B正確；∵夾角為，C不正確；取中點E，故，故D正確．故選：ABD.8．已知是的外心，若，則的取值可能是（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】AB【分析】結(jié)合圖形，將原式兩邊平方得，由圖形可知，不能都是正數(shù)，利用三角代換，求函數(shù)的值域，即可判斷選項.【詳解】如圖，，所以，，，即，

如圖可知，點在優(yōu)弧上，所以不能都是正數(shù)，所以設(shè)，，，即故選：AB三、填空題9．若向量，，，則與的夾角為___________.【答案】【分析】先由，求出，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】，，，，，，，，又，則與的夾角為.故答案為：10．已知平面向量、的夾角為，且，，則______．

【答案】【解析】根據(jù)、的夾角為，且，，由利用數(shù)量積求解.【詳解】因為、的夾角為，且，，所以，故答案為：.11．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍是______