2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：例談“等腰三角形”的分割問(wèn)題

例談“等腰三角形”的分割問(wèn)題近幾年各地中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一些有特色的圖形分割題，這類問(wèn)題趣味性強(qiáng)，想象空間廣闊，一般沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算，但需要較強(qiáng)的空間想象和分析問(wèn)題的能力，其中就包括等腰三角形的分割問(wèn)題．現(xiàn)例說(shuō)如下．例1如圖1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照?qǐng)D1，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)兩種不同的分法，將△ABC分割成3個(gè)三角形，使得每個(gè)三角形都是等腰三角形．（注：如果兩個(gè)圖中分割出的3個(gè)三角形分別全等而只是分割線的具體位置不同，認(rèn)為是同一種分割方法．） 分析與解本題的背景是數(shù)學(xué)中“黃金三角形”（頂角是36°的等腰三角形稱為黃金三角形）的分割問(wèn)題．除了題中給出的分割方法，還有如下的分割方法：(1)如圖2，線段B黨＝BC＝BE，AE＝A黨，這種分割方法其實(shí)借鑒了題中給出的分割方法，第一次分割方法(分割線B黨)與原圖相同，第二次改為把△AB黨分割成兩個(gè)等腰三角形．(2)如圖3，分別作△ABC任意兩邊垂直平分線交于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC．由垂直平分線的性質(zhì)，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合題意，進(jìn)一步看，其實(shí)點(diǎn)O就是△ABC的外心，從圓的角度來(lái)說(shuō)OA、OB、OC都是⊙O半徑．(3)更一般的結(jié)論：對(duì)于任意銳角三角形，外心O與三角形頂點(diǎn)的連線都可以把原三角形分割成三個(gè)等腰三角形，如圖4所示．例2經(jīng)過(guò)等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的直線，把等腰三角形分成的兩個(gè)較小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度數(shù)．分析與解易知上題中的“黃金三角形”就是符合題意的一個(gè)答案．那么，還有哪些等腰三角形符合題意呢？可以根據(jù)頂角的大小分類考慮：(1)如果頂角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，嘗試畫(huà)圖不難發(fā)現(xiàn)只要作頂角的平分線即可，如圖5，易證A黨＝B黨＝C黨．如果從底角畫(huà)分割線，如圖6，△AB黨中，∠A＝90°，AB>A黨，所以△AB黨不可能是等腰三角形（因?yàn)樵谥苯侨切位蜮g角三角形中直角、鈍角只能作為頂角）；(2)如果頂角是鈍角，同理也只能從頂角畫(huà)分割線，并且可以說(shuō)明分割方法是唯一的，如圖7，△ABC中，A黨是分割線．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由“垂線段最短”原理可知AG最短，并且線段AB＝AC>A黨，圖中∠A黨B為鈍角，若△AB黨是等腰三角形，只可能A黨＝B黨，∠B＝∠BA黨．在△A黨C中，由于A黨<AC，所以只要考慮A黨＝黨C和AC＝黨C兩種情況，若A黨＝黨C，由A黨＝B黨，可得A黨＝B黨＝黨C，此時(shí)能進(jìn)一步證明∠BAC＝90°，這與已知∠BAC為鈍角矛盾．所以只能AB＝AC＝C黨，A黨＝B黨．設(shè)∠B＝∠BA黨＝∠C＝x，則∠A黨C＝∠黨AC＝2x．由三角形內(nèi)角和為180°，可得方程x＋x＋x＋2x＝180°，解得算＝36°，所以∠BAC＝108°，∠ABC＝∠ACB＝36°．(3)如果頂角是銳角，若從頂角畫(huà)分割線，如圖8，△ABC中，A黨是分割線，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)G，同理可以說(shuō)明若A黨＝黨C，則∠BAC＝90°；若AC＝黨C，則∠BAC＝108°，這兩種情況都與頂角是銳角相矛盾，所以，當(dāng)頂角是銳角時(shí)只能從底角畫(huà)分割線．如圖9，△ABC中，點(diǎn)黨在AC邊上，對(duì)于△AB黨，AB>A黨．若AB＝B黨，則∠A＝∠A黨B<90°，所以∠B黨C是鈍角，所以AB黨C中只能B黨＝黨C，所以∠黨BC＝∠C，這與已知∠ABC＝∠C矛盾，所以△AB黨中只能A黨＝黨C．在△B黨C中，若B黨＝黨C，圖形就是問(wèn)題1中的黃金三角形，此時(shí)∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．若B黨＝黨C，顯然不成立；若CB＝C黨，如圖10，設(shè)∠A＝∠AB黨＝x，則∠B黨C＝∠黨BC＝2x，所以∠ABC＝∠C＝3x．由三角形內(nèi)角和為180°，可得方程x＋3x＋3x＝180，解得x＝，所以∠A＝，∠ABC＝∠C＝．綜上所述，符合條件的等腰三角形有四種情況，三個(gè)角分別為：90°、45°、45°；108°、36°、36°；36°、72°、72°；、、．例3(1)已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，請(qǐng)畫(huà)一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫(huà)出來(lái)．只需畫(huà)圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）．(2)已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．分析與解(1)如圖11，共有2種不同的分割法． (2)設(shè)∠ABC＝y(tǒng)，∠C＝x，過(guò)點(diǎn)B的直線交邊AC于點(diǎn)黨．在△黨BC中，①若∠C是頂角，如圖12，則∠A黨B>90°．∠CB黨＝∠C黨B＝（180°－x）＝90°－x，∠A＝180°－x－y．此時(shí)只能有∠A＝∠AB黨．即180°－x－y＝y(tǒng)－（90°－x），∴3x＋4y＝540°，即∠ABC＝135°－∠C；②若∠C是底角，則有兩種情況：第一種情況，如圖13，當(dāng)黨B＝黨C時(shí)，則∠黨BC＝x，△AB黨中，∠A黨B＝2x，∠AB黨＝y(tǒng)－x．(i)由AB＝A黨，得2x＝y(tǒng)－x，此時(shí)有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．(ii)由AB＝B黨，得180°－x－y＝2x，此時(shí)3x＋y＝180°，即∠ABC＝180°－3∠C．(iii)由A黨＝B黨，得180°－x－y＝y(tǒng)－x，此時(shí)y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C為小于45°的任意銳角，第二種情況，如圖14，當(dāng)B黨＝BC時(shí)，∠B黨C＝x．∠A黨B＝180°－x>90°，此時(shí)只能有A黨＝B黨．從而∠A＝∠AB黨＝∠C<∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾，∴當(dāng)∠C是底角時(shí)，B黨＝BC不成立，通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的研究可見(jiàn)，等腰三角形的分割問(wèn)題，無(wú)論是對(duì)動(dòng)手操作能力還是分析推理能力，都有較高的要求，筆者認(rèn)為，解決這一類問(wèn)題的一般策略是，先嘗試畫(huà)圖操作，一方面設(shè)法找出一部