河南省高三調研考試數學（理）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat24頁河南省高三調研考試數學（理）試題及答案一、單選題1．全集，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式和求函數的值域，求兩個集合，然后再求.【詳解】解：，，則，則.故選：D.【點睛】本題考查求函數的值域和解對數不等式，以及求集合的交并補，屬于基礎題型.2．下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間上單調遞增的函數是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】從函數的形式以及偶函數的定義判斷函數是否是偶函數，結合函數的性質，排除選項，得到正確選項.【詳解】四個選項中的函數的定義域均為，它關于原點對稱.對于A，因為，為奇函數，故A錯；對于B，因為是偶函數，但在區(qū)間上單調遞減，故B錯；對于C，因為關于對稱，是非奇非偶函數，故C錯；對于D，，所以函數是偶函數，當時，，此時函數單調遞減，滿足條件.故選：D【點睛】本題考查根據函數的解析式判斷函數的性質，屬于基礎題型.3．“”是“直線：和直線：垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意可知，解得，再根據充分必要條件的定義判斷.【詳解】直線：和直線：垂直，則，則或.則“”能推出兩直線互相垂直，反過來兩直線互相垂直，不能推出“”，所以“”是“直線：和直線：垂直”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查根據兩條直線垂直求參數和判斷充分必要條件的綜合問題，意在考查基本公式和基本概念，屬于基礎題型，若和互相垂直，則，若與互相垂直，則.4．已知函數，則（）A．-2 B．9 C． D．【答案】C【解析】根據分段函數，首先求，然后求.【詳解】由題可知，，.故選：C【點睛】本題考查分段函數求值，屬于簡單題型.5．下列說法正確的個數是（）①.“”是“定義在上函數是奇函數”的充要條件②.若：，，則：，③.“若，則”的逆否命題是錯誤的④.若為假命題，則，均為假命題A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】逐一分析選項，對應①可根據特殊函數直接判斷是否成立，②根據特稱命題的否定形式直接判斷；③根據原命題和逆否命題的關系判斷真假；④根據復合命題的真假判斷方法直接判斷.【詳解】對于①時，函數不一定是奇函數，如，，∴錯誤；對于②命題：，，則：，，∴錯誤；對于③，因為若，則正確，所以它的逆否命題也正確，∴錯誤；對于④若為假命題，則，至少有一假命題，∴錯誤；故選：A.【點睛】本題考查有關命題的判斷，意在考查基本概念和基本知識和基本判斷方法，屬于基礎題型.6．若數列滿足，，則（）A．3 B． C． D．-2【答案】C【解析】根據遞推形式求數列的前幾項，判斷數列是周期數列，再求值.【詳解】，，，，，是周期數列，周期為4，故.故選：C【點睛】本題考查數列的函數特性，周期性，數列是特殊的函數，考查數列的函數性質，一般考查單調性，最值，周期性.7．已知向量，，若，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量的幾何意義，因為，所以，再運用向量積的運算得到參數的值.【詳解】因為，所以，所以，將和代入，得出，所以，故選D.【點睛】本題考查了向量的數量積運算，屬于基礎題．8．設，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先這三個數和特征值0或1比較大小，然后再比較這三個數的大小關系.【詳解】解：，，所以，，則.故選：A【點睛】本題考查指對數比較大小，屬于簡單題型，一般指對比較大小，根據函數單調性比較大小，或是根據特殊值比較大小.9．將函數的圖象上各點向右平行移動個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據圖象的平移，伸縮變換規(guī)律得到函數的解析式.【詳解】由題意函數的圖象上各點向右平移個單位長度，得到，再把橫坐標縮短為原來的一半，得到，縱坐標伸長為原來的4倍，得到，故選:C.【點睛】本題考查三角函數的圖象變換規(guī)律，若圖象是左右平移，則根據“左＋右－”變換，例：向左平移個單位，得到函數，若圖象是橫坐標伸縮，則是周期變換，例的橫坐標伸長到原來的倍，得到函數，若是縱坐標伸縮，是振幅變換，例：的縱坐標伸長到原來的倍，得到.10．在中，，，，則符合條件的三角形個數是（）A．一個 B．兩個 C．一個或兩個 D．0個【答案】B【解析】首先求，然后再和比較大小，判斷三角形個數.【詳解】由題意知，，，，∴，如圖：∵，∴此三角形的解的情況有2種，故選：B.【點睛】本題考查已知兩邊和其中一邊的對角，判斷三角形個數，需數形結合和公式相結合判斷求三角形的個數，屬于基礎題型.11．若是函數的極值點，則的值為（）A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2【答案】B【解析】由題意可知，這樣可求出，然后針對的每一個值，進行討論，看是不是函數的極值點.【詳解】，由題意可知，或當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，顯然是函數的極值點；當時，，所以函數是上的單調遞增函數，沒有極值，不符合題意，舍去，故本題選B.【點睛】本題考查了已知函數的極值，求參數的問題.本題易錯的地方是求出的值，沒有通過單調性來驗證是不是函數的極值點，也就是說使得導函數為零的自變量的值，不一定是極值點.12．已知函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先將函數有零點，轉化為對應方程有實根，構造函數，對函數求導，利用導數方法判斷函數單調性，再結合圖像，即可求出結果.【詳解】由得，令，則，設，則，由得；由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調遞減，在上單調遞增；所以；又當時，，，作出函數圖像如下：因為函數恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數的取值范圍是.故選A【點睛】本題主要考查函數零點以及導數應用，通常需要將函數零點轉化為兩函數交點來處理，通過對函數求導，利用導數的方法研究函數單調性、最值等，根據數形結合的思想求解，屬于?？碱}型.二、填空題13．已知數列的前項和，則它的通項公式是_____;【答案】【解析】先根據數列的前項和，求出，再根據當時，求出，并驗證當是否也滿足，即可求出數列的通項公式．【詳解】數列的前項和，,又，，檢驗當時，，【點睛】本題考查數列前項和與通項公式之間的關系，易錯點是，所以必須要檢驗是否滿足通項，屬于基礎題，必須掌握14．已知等差數列，滿足，其中，，三點共線，則數列的前16項和______.【答案】16【解析】因為，，三點共線，可知，再根據等差數列的性質，最后求.【詳解】因為，則,其中，，三點共線，所以；因為為等差數列，所以，因此數列的前16項和.故答案為：16【點睛】本題考查等差數列的性質和平面向量基本定理向結合的問題，意在考查轉化與化歸的思想，屬于基礎題型.15．已知，，分別為銳角三個內角，，的對邊，，，則周長范圍為______.【答案】【解析】首先根據正弦定理邊角互化為，再由余弦定理得到，利用正弦定理和三角函數求周長的范圍.【詳解】由已知，即得，由正弦定理，，三角形的周長為，是銳角三角形是銳角三角形，,,周長的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查正余弦定理解三角形和三角函數求值域，意在考查轉化與化歸和計算能力.16．已知命題：“對任意的，”，命題：“存在，”若命題“且”是假命題，命題“或”是真命題，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】首先分別求兩個命題為真命題時的取值范圍，由題意判斷和一真一假，列不等式組求的取值范圍.【詳解】命題為真時恒成立，，即，，命題為真時，即，解得：或.命題“且”是假命題，命題“或”是真命題時，和一真一假.當真假時，，解得：，當假真時，，解得：，綜上可知，實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查由復合命題的真假求參數的取值范圍，本題的關鍵是根據兩個命題是真命題求的取值范圍.三、解答題17．已知函數.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）當時，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為2，最小值為-1.【解析】（1）首先根據公式化簡，再令求得函數的單調遞增區(qū)間；（2）首先求的范圍，再求函數的最大值和最小值.【詳解】（1），由得：，∴的單調增區(qū)間為.（2）當時，，當時，，當時，，∴的最大值為2，最小值為-1.【點睛】本題考查三角函數的性質和三角恒等變形，意在考查轉化與化歸和計算能力，本題的關鍵是正確化簡函數.18．已知函數.（1）若，求曲線在處切線方程；（2）討論的單調性；（3）時，設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）見詳解；（3）【解析】（1）利用導數的幾何意義直接求切線方程，；（2）首先求函數的導數，，分和兩種情況討論函數的單調性；（3）由題意可知的值域是，值域是，，所以分別求兩個函數的值域，轉化為子集問題求實數的取值范圍.【詳解】（1）由已知時，，，，，故曲線在處切線的方程是，即.（2）定義域為，，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，時恒成立，時恒成立，所以在上單調遞增，在上單調遞減；綜上述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（3）由已知，轉化為在的值域和在的值域滿足：，易求.又且，在上單調遞增，故值域.所以，解得，即.【點睛】本題考查利用導數求切線方程和討論函數的單調性，本題第三問考查雙變量的問題，對任意，存在問題求參數的取值范圍，若滿足，，使，只需滿足，若是，只需滿足.19．已知數列的各項均不為零，設數列的前項和為，數列的前項和為，且，.（1）求，的值，證明數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1），；證明見詳解；（2）【解析】（1）代入，求，并構造，和已知兩式相減，變形，化簡為，并驗證；（2）由（1）可知，利用錯位相減法求和.【詳解】（1）∵，令，得，∵，∴；令，得，即，∵，∴.證明：∵，①∴，②②-①得：，∵，∴，③從而當時，，④③-④得：，即，∵，∴.又，，∴.∴數列是以2為首項，以2為公比的等比數列.（2）由（1）知則，故，于是，∴，上述兩式相減得：∴，∴.【點睛】本題考查已知數列的前項和求通項公式和錯位相減法求和，意在考查轉化與化歸和計算能力，屬于難題，一般數列求和的方法包含1.公式法求和；2.錯位相減法求和；3.裂項相消法求和；4.分組轉化法求和；5.倒序相加法求和.20．在中，角所對的邊分別是已知．（1）求的大??；（2）若的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）．【解析】利用正弦定理，再進行三角恒等變換求的值，從而求出B值；由的面積公式，利用余弦定理求得b的值，再求的周長．【詳解】解：中，，由正弦定理可得，整理可得，又A為三角形內角，，所以，由B為三角形內角，可得；由的面積為，即，所以，又，由余弦定理得，所以，的周長為．【點睛】本題考查三角形的正弦、余弦定理和面積公式應用問題，考查三角函數的恒等變換，以及化簡運算能力，是中檔題．21．某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中，為正常數），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為萬元/萬件．（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．【答案】（1）y=25-(+x)，（，a為正常數）;（2）當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；當O<a<3時，促銷費用投入x=a萬元時，廠家的利潤最大．【解析】試題分析：（1）利潤為總銷售所得減去投入成本和促銷費用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又銷售量t萬件滿足t=5－，整理化簡可得y=25－（+x）；（2）將函數方程整理為對勾函數形式y(tǒng)=28－（+x+3），利用基本不等式得到=x+3，即x=3時，得到利潤最大值為．試題解析：（1）由題意知，利潤y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x由銷售量t萬件滿足t=5－（其中0≤x≤a，a為正常數）．代入化簡可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a為正常數）（2）由（1）知y=28－（+x+3），當且僅當=x+3，即x=3時，上式取等號．當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；當0＜a＜3時，y在0≤x≤a上單調遞增，x=a，函數有最大值．促銷費用投入x=a萬元時，廠家的利潤最大．綜上述，當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；當0＜a＜3時，促銷費用投入x=a萬元時，廠家的利潤最大．22．已知函數.（1）若對于任意都有成立（注意不等號前面是的導函數），求實數的取值范圍；（2）若過點可作函數圖象的三條不同切線，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可知，不等式轉化為對于任意都有成立，即或，求的取值范圍；（2）設點是函數圖象上的切點，寫出過點的切線方程，并轉化為方程有三個不同的實數解，令，利用導數求當函數有3個零點時，求的取值范圍.【詳解】（1）方法1：由，得，因為對于任意都有成立，即對于任意都有成立，即對于任意都有成立，令，要使對任意都有成立，必須滿足或，即或.所以實數的取值范圍為.方法2：由，得，因為對于任意都有成立，所以問題轉化為，對