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對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見(jiàn)類(lèi)型有難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程

和定理3設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想特解特解綜上討論例1求微分方程的一個(gè)特解.解：所對(duì)應(yīng)的齊次方程為其特征方程為特征根為由于不是特征方程的根，設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式例2.求微分方程的通解.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為λ=0是特征方程的單根，非齊次方程的特解為方程的通解為：代入方程得方程的特解為：解：特征方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征根例3代入方程,得原方程通解為原方程的特解為方程（2）的特解為：（證略）二、型例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程為

r2+1=0,其根為r1,2=

i,對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解為

y=C1cosx+C2sinx.因

iω=2i不是特征方程的根,

k=0，

=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解設(shè)為：代入原方程，整理得比較兩端同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得解之得：求得一個(gè)特解為方程的通解為例5.

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足方程上式整理得：解：將方程寫(xiě)為兩邊對(duì)x

求導(dǎo)得：再求導(dǎo)得：設(shè)y=f(x),問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解初值問(wèn)題：特征方程r2+1=0

的根為

r1,2=

i，對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解為而

iω

=i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).設(shè)非齊次方程特解為于是故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：(待定系數(shù)法)三、小結(jié)P348習(xí)題7-8:6

P347習(xí)題7-8

1.(8)；2.(3).

布置作業(yè)P304------習(xí)題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π丁?解：設(shè)小船的航行路線C：0xvyh水流P315--

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