現(xiàn)代數(shù)字信號處理課程回顧

現(xiàn)代數(shù)字信號處理課程回顧第一章時域離散隨機信號的分析第二章維納濾波和卡爾曼濾波第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器第四章功率譜估計第五章時頻分析第一章時域離散隨機信號的分析主要內(nèi)容：平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計描述隨機序列數(shù)字特征的估計平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)時間序列信號模型對一個隨機序列的統(tǒng)計描述，可以由這個序列的自相關(guān)函數(shù)來高度概括。對一平穩(wěn)隨機信號，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機信號的主要數(shù)字特征。自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：的特性的特性mm各態(tài)遍歷性：

只要一個實現(xiàn)時間充分長的過程能夠表現(xiàn)出各個實現(xiàn)的特征，就可以用一個實現(xiàn)來表示總體的特性?！磝(n)〉=mx=E［X(n)］〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］功率密度譜：

維納–––辛欽定理（Wiener-KhinchinTheorem）

Pxx(ω)≥0隨機序列數(shù)字特征的估計：估計準(zhǔn)則：無偏性、有效性、一致性均值的估計：方差的估計：自相關(guān)函數(shù)的估計：平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)：相關(guān)卷積定理：卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)

ref(m)=rac(m)*rbd(m)

ryy(m)=rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)時間序列信號模型：MA模型ARMA模型AR模型濾波器階數(shù)：對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。對于FIR濾波器或者MA模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。三種信號模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性，但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。這里說的效率,指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。譜分解定理：

如果功率譜Pxx(ejω)是平穩(wěn)隨機序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),滿足式中，ak,bk都是實數(shù)，a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。rxx(m)Pxx(z)H(z)Z變換Z反變換譜分解自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時間序列信號模型三者之間關(guān)系第二章維納濾波和卡爾曼濾波主要內(nèi)容：FIR維納濾波求解IIR維納濾波求解維納一步線性預(yù)測x(n)=s(n)+v(n)最佳濾波器：維納—霍夫方程：

維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程：FIR維納濾波求解：k=0,1,2,…

設(shè)定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)非因果IIR維納濾波求解：

信號和噪聲不相關(guān)時因果IIR維納濾波求解：

對于因果IIR維納濾波器，其維納－霍夫方程為k=0,1,2,…圖2.3.5利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程

利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:

因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為

因果維納濾波的最小均方誤差為

通過前面的分析,因果維納濾波器設(shè)計的一般方法可以按下面的步驟進行：

(1)根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應(yīng)的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。

(2)求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得

(3)積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。維納預(yù)測：圖2.4.1(b)維納預(yù)測器圖2.4.1(a)維納濾波器一步線性預(yù)測：采用p個最近的采樣值來預(yù)測時間序列下一時刻的值，包括前向預(yù)測和后向預(yù)測兩種。

前向預(yù)測：

得到下面的方程組：

將方程組寫成矩陣形式

（Yule-Walker方程）第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器主要內(nèi)容：LMS自適應(yīng)橫向濾波器LMS自適應(yīng)格型濾波器自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用LMS自適應(yīng)橫向濾波器：e(n)=d(n)-y(n)

最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：

其中,μ是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。Widrow-HoffLMS算法：

最陡下降法：Widrow-HoffLMS算法：采用梯度的估計值代替梯度的精確值。

LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機變化的，

其統(tǒng)計平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。圖

3.2.10LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差

μ值的影響

對穩(wěn)定性的影響：

對收斂速度的影響：預(yù)測誤差格型濾波器：LMS自適應(yīng)格型濾波器：在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計算出反射系數(shù)。其方法有：自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：

自適應(yīng)抵消器：（只有與參考輸入相關(guān)的信號才能被抵消）參考輸入端存在一定的有用信號：

當(dāng)有信號分量泄漏到參考輸入中時，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評價。

泄露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。

自適應(yīng)逆濾波：自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。自適應(yīng)均衡器用以補償信道干擾的影響，使接收信號與發(fā)送信號完全一致。h(n)w(n)第四章功率譜估計主要內(nèi)容：經(jīng)典譜估計：BT法、周期圖法、修正周期圖法；現(xiàn)代譜估計：AR模型法BT法：周期圖法：

周期圖屬于漸近無偏估計，方差很大，不是一致估計。修正周期圖法：Bartlett平均周期圖法窗口處理法平均周期圖Welch法（修正的周期圖求平均法）

結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計方法，采用觀測到的N個樣本值估計功率譜，認(rèn)為在此觀察到的N個數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進方法，總是以減少分辨率為代價，換取估計方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。

估計功率譜的方法：首先根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)估計信號自相關(guān)函數(shù)；求出模型參數(shù)；最后按照下式求出信號的功率譜:AR模型法：AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點。

m≥1m=0

0≤m≤p

m>p

信號預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（Levinson遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法關(guān)于AR模型階次的選擇如果是純P階AR信號，應(yīng)選擇模型階次k≥P。

如果選擇模型階次k＜P時，將產(chǎn)生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。對于白噪聲中的AR信號，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會使譜估計產(chǎn)生偏移，降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次，因此信噪比低應(yīng)選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。第五章時頻分析主要內(nèi)容：線性時頻分析：短時傅里葉變換、小波分析；雙線性時頻分析：維格納變換（WD）。傅立葉變換的不足：缺乏時間和頻率的定位功能；分析時變信號和非平穩(wěn)信號的局限性；分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。STFT特點：STFT要求窗口內(nèi)信號平穩(wěn)，即窗口不能太長；時間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時任意??；窗口固定不變，分辨率單一；窗函數(shù)選擇難；STFT建立在信號穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時反映信號頻譜隨時間變化的情況。小波分析：小波基函數(shù)

當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。

a取不同值時小波變換對信號分析的時－頻區(qū)間

小波變換的特點多分辨率分析方法；小波變換的時頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變；采用不同的尺度a作處理時，各個Ψ(aΩ)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率／帶寬”為常數(shù)。維格納變換：（最簡單的時頻分布形式）WD服從二次疊加原理。

時頻域(t,f)——時間-頻率平面。模糊函數(shù)：

模糊域（θ,τ）——