上海市復(fù)旦附中浦東分校2023年高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題含解析

上海市復(fù)旦附中浦東分校2023年高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.2．已知在等比數(shù)列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.273．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1294．已知數(shù)列滿(mǎn)足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11345．若圓與直線(xiàn)相切，則（）A.3 B.或3C. D.或6．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.7．已知橢圓C：（）的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.8．已知滿(mǎn)約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.39．如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.810．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.211．下列關(guān)于拋物線(xiàn)的圖象描述正確的是（）A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為C.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 D.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為12．已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，則___________.14．已知向量，且，則實(shí)數(shù)________________15．已知向量，，，若，則____________.16．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)且.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)，圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，求直線(xiàn)的方程.18．（12分）已知曲線(xiàn)C的方程為（1）判斷曲線(xiàn)C是什么曲線(xiàn)，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.20．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點(diǎn)，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21．（12分）某書(shū)店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷(xiāo)售前該書(shū)店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷(xiāo)，每種單價(jià)（元）試銷(xiāo)l天，得到如表單價(jià)（元）與銷(xiāo)量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）1819202122銷(xiāo)量（冊(cè)）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程：（2）預(yù)計(jì)今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書(shū)的成本是12元，書(shū)店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書(shū)的單價(jià)應(yīng)定為多少元？附：，，，.22．（10分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，逐步計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則，解得，又，所以.故選：B.3、C【解析】由題設(shè)可得，再由即可求值.【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，∴，即，∴.故選：C.4、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開(kāi)來(lái)計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.5、B【解析】根據(jù)圓與與直線(xiàn)相切，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線(xiàn)相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得或，故選：B6、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時(shí)，.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程問(wèn)題，橢圓中的最值問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、D【解析】由題設(shè)可得求出橢圓參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.8、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線(xiàn)系，作出直線(xiàn)，平移直線(xiàn)到直線(xiàn)，使其過(guò)點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B9、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.10、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D11、A【解析】把化成拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)看開(kāi)口方向，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為故選：A12、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由兩點(diǎn)間的斜率公式及直線(xiàn)斜率的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.14、【解析】，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】，則，解得故答案為：15、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，，所以向量，因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?6、【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和，本題中，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，考查觀(guān)察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設(shè)方程為：，圓心，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，因?yàn)?，所以有，或舍去，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，因?yàn)閳A上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，所以直線(xiàn)與該圓相離，當(dāng)兩平行線(xiàn)間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為：，符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.當(dāng)兩平行線(xiàn)間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為：，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.故直線(xiàn)方程為或.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點(diǎn)差法即可求解中點(diǎn)弦斜率和中點(diǎn)弦方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，E(x，y)，∵，，且，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)l斜率存在，設(shè)，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.19、（1）（2）【解析】（1）由于在點(diǎn)處有極小值，所以，從而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可求出其值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，①且②聯(lián)立①②得：；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以在上的值域?yàn)?20、（1）證明見(jiàn)解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與的方向向量，利用向量法可求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點(diǎn)，，平面，，又，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為21、(1)(2)當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【解析】（l）先計(jì)算的平均值，再代入公式計(jì)算得到（2）計(jì)算利潤(rùn)為：計(jì)算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對(duì)的回歸直線(xiàn)方程為：（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開(kāi)口向下，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.22、（1）；（2）.【解析