人教A版數(shù)學(xué)必修五講義第1章1.2第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算Word版含答案

第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握三角形的面積公式的應(yīng)用(重點(diǎn)).2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用(難點(diǎn))．1.通過(guò)三角形面積公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).2.借助三角形中的綜合問(wèn)題的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).1．三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為內(nèi)切圓半徑)．思考：(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形嗎？(2)已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角及一邊能求三角形的面積嗎？[提示](1)適用．三角形的面積公式對(duì)任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角，再根據(jù)面積公式求解．2．三角形中常用的結(jié)論(1)A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)；(2)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然；(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；(4)三角形的誘導(dǎo)公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．1．下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào))．①已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積S＝(a＋b＋c)r；②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝eq\r(3)，則A＝60°；③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，則S△ABC的面積是6；④在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則A＝B.③[①中三角形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.②由S＝eq\f(1,2)bcsinA可得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°.④在△ABC中由sin2A＝sin2B得A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).]2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，則△ABC的面積為________．9eq\r(3)[由題知A＝180°－120°－30°＝30°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)知b＝6，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).]3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15eq\r(3)，△ABC的外接圓半徑為eq\r(3)，則邊c的長(zhǎng)為________．3[由題知S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15eq\r(3)得sinC＝eq\f(\r(3),2).又由eq\f(c,sinC)＝2R得c＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.]三角形面積的計(jì)算【例1】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，b＝eq\r(3).(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面積．[解](1)∵角A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，∴C＝eq\f(2π,3)－A，sinA＝eq\f(3,5).∴sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10).(2)由(1)知sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(3＋4\r(3),10).又∵B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(3)，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(6,5).∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×eq\r(3)×eq\f(3＋4\r(3),10)＝eq\f(36＋9\r(3),50).1．由于三角形的面積公式有三種形式，實(shí)際使用時(shí)要結(jié)合題目的條件靈活運(yùn)用，若三角形的面積已知，常選擇已知的那個(gè)面積公式．2．如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計(jì)算．1．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，則b的值為()A．6B．3C．2D．2或3D[因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，所以bc＝6，又因?yàn)閟inA＝eq\f(2\r(2),3)，所以cosA＝eq\f(1,3)，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]三角恒等式證明問(wèn)題【例2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.證明：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).思路探究：由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開．[證明]法一：(邊化角)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c).依正弦定理有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinC)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).法二：(角化邊)eq\f(sin（A－B）,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－\f(b2＋c2－a2,2bc)·b,c)＝eq\f(2（a2－b2）,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2).1．三角恒等式證明的三個(gè)基本原則(1)統(tǒng)一邊角關(guān)系．(2)由繁推簡(jiǎn)．(3)目標(biāo)明確，等價(jià)轉(zhuǎn)化．2．三角恒等式證明的基本途徑(1)把角的關(guān)系通過(guò)正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形．(2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形．2．在△ABC中，求證：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).[證明]由正弦定理得右邊＝eq\f(2RsinC－2RsinBcosA,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sin（A＋B）－sinBcosA,sin（A＋C）－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－sinBcosA,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝eq\f(cosB,cosC)＝左邊．∴原等式成立.解三角形中的綜合問(wèn)題[探究問(wèn)題]1.如圖所示，圖中共有幾個(gè)三角形？線段AD分別是哪些三角形的邊，∠B是哪些三角形的內(nèi)角？[提示]在圖形中共有三個(gè)三角形，分別為△ABC，△ABD，△ADC；線段AD是△ADC與△ABD的公共邊，∠B既是△ABC的內(nèi)角，又是△ABD的內(nèi)角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，則△ABD是什么形狀的三角形？在此條件下若已知∠ADB＝α,AB＝m，DC＝n，如何求出AC?[提示]若sinB＝sin∠ADB，則△ABD為等腰三角形，在此條件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.【例3】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a.(1)求證：B－C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面積．思路探究：(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡(jiǎn)已知三角形即證．(2)結(jié)合第(1)問(wèn)可直接求出B，C，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導(dǎo)出b，c的大小關(guān)系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解．[解](1)證明：由bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a，應(yīng)用正弦定理，得sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝sinA，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinC＋\f(\r(2),2)cosC))－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因?yàn)?<B<eq\f(3,4)π，0<C<eq\f(3,4)π，從而B－C＝eq\f(π,2).(2)因B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，所以B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)·sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a”改為“△ABC的面積S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)”．求：(1)角C的大??；(2)求sinA＋sinB的最大值．[解](1)由題意可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC.所以tanC＝eq\r(3)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A－\f(π,3)))＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(2π,3)))，當(dāng)A＝eq\f(π,3)，即△ABC為等邊三角形時(shí)取等號(hào)．所以sinA＋sinB的最大值為eq\r(3).1．解三角形綜合問(wèn)題，除靈活運(yùn)用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識(shí)外，一般還要用到三角函數(shù)，三角恒等變換，平面向量等知識(shí)，因此掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．三角形問(wèn)題中，涉及變量取值范圍或最值問(wèn)題要注意函數(shù)思想的應(yīng)用．處理三角形問(wèn)題時(shí)常用的公式(1)l＝a＋b＋c(l為三角形的周長(zhǎng))．(2)A＋B＋C＝π.(3)三角形內(nèi)切圓的半徑：r＝eq\f(2S△,a＋b＋c).特別地，當(dāng)△ABC為直角三角形，c為斜邊時(shí)，r＝eq\f(a＋b－c,2).(4)三角形的面積S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，這里p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，這就是著名的海倫一秦九韶公式．(5)三角形的面積S＝eq\f(abc,4R)＝2R2sinAsinBsinC(R為△ABC外接圓的半徑)．1．判斷正誤(1)公式S＝eq\f(1,2)absinC適合求任意三角形的面積． ()(2)三角形中已知三邊無(wú)法求其面積． ()(3)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示]已知三邊可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面積故(2)錯(cuò)．2．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36πC[由余弦定理及題意得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，即eq\f(b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2,2c)＝2，整理得c＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)得sinC＝eq\f(1,3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f(c,