2010東廈中學(xué)數(shù)學(xué) 正余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

第一課時(shí)1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、正弦、余弦函數(shù)的圖象x6yo--12345-2-3-41

y=sinx

x[0,2]y=sinxxR正弦曲線yxo1-1如何作出正弦函數(shù)的圖象（在精確度要求不太高時(shí)）？(0,0)(,1)(

,0)(,-1)(2

,0)五點(diǎn)畫(huà)圖法x6yo--12345-2-3-41

1、正弦、余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)的圖象

x6yo--12345-2-3-41

y=cosx=sin(x+),xR余弦曲線正弦曲線形狀完全一樣只是位置不同（1）正弦、余弦函數(shù)的定義域都是R。（2）正弦、余弦函數(shù)的值域都是[-1，1]。

因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度，

所以即稱(chēng)為正弦、余弦函數(shù)的有界性。（3）、世界上有許多事物都呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如年有四季更替，月有陰晴圓缺.這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為周期性，在函數(shù)領(lǐng)域里，周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).三角函數(shù)的周期性一、周期函數(shù)的概念

1、由正弦函數(shù)的圖象可知,正弦曲線每相隔2π個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)，這一規(guī)律的理論依據(jù)是：2、設(shè)f(x)=sinx，則sin(x+2k)=sinx

可以怎樣表示？其數(shù)學(xué)意義如何？為了突出函數(shù)的這個(gè)特性，我們把函數(shù)f(x)=sinx稱(chēng)為周期函數(shù)，2kπ為這個(gè)函數(shù)的周期.一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有：f(x+T)=f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。周期函數(shù)的周期是否惟一？正弦函數(shù)的周期有哪些？正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．正、余弦函數(shù)的周期性：余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．判斷下列說(shuō)法是否正確（1）時(shí)，則一定不是的周期。（）√（2）時(shí)，則一定是的周期。（）×

知識(shí)遷移

例1求下列函數(shù)的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；（3）

，x∈R

；（4）y=|sinx|x∈R.解：(1)∵3cos(x+2)=3cosx∴y=3cosx是以2π為周期的周期函數(shù).(2)是以π為周期的周期函數(shù).(3)是以４π為周期的周期函數(shù)函數(shù)

思考是不是以11π/3為周期的周期函數(shù)？為什么函數(shù)f(x)的周期不是11π/3?2-2oy4π8π12π16π20π24π結(jié)論：1、理解周期定義時(shí)要注意，式子f(x＋T)＝f(x)是對(duì)“x”而言.2、由周期函數(shù)的定義知：f(x+T)=f(x)的兩端作用的是相同的對(duì)應(yīng)法則f.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+

),x∈R及函數(shù)y=Acos(ωx+

),x∈R(其中A,ω,

為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期

T=二、正、余弦函數(shù)的奇偶性1、觀察下列正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱(chēng)性，你有什么發(fā)現(xiàn)？x6yo--12345-2-3-41

x6yo--12345-2-3-41

y=cosxy=sinxsin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函數(shù)x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、上述對(duì)稱(chēng)性反映出正、余弦函數(shù)分別具有什么性質(zhì)？如何從理論上加以驗(yàn)證？練習(xí)1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)偶函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).小結(jié)

1.函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，一般以定義為依據(jù)，即存在非零常數(shù)T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函數(shù)的周期與函數(shù)的定義域有關(guān)，周期函數(shù)不一定存在最小正周期.3.周期函數(shù)的周期有許多個(gè)，若T為周期函數(shù)f(x)的周期，則T的整數(shù)倍也是f(x)的周期.4.函數(shù)y=Asin(x+)(A

≠0,>0)和y=Acos(x+)(A

≠0,>0)的最小正周期都是