等腰三角形的性質(zhì)(九中宋俊)

等腰三角形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3動(dòng)腦筋如圖,把一張長方形紙片按圖中的虛線對(duì)折,

AC和AB有什么關(guān)系?這個(gè)三角形有什么特點(diǎn)?然后沿著虛線剪去一部分,再把它展開,得△ABC.說一說定義：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

邊：等腰三角形中,相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.角：等腰三角形中,兩腰的夾角叫做頂角，

腰和底邊的夾角叫做底角.探究任意畫一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖,作△ABC關(guān)于頂角平分線AD

所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對(duì)稱.ABABBAD探究由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D,因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC,射線DA的像是射線

,因此∠BDA=∠CDA=

°,從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA,射線BC的像是射線

,因此∠B

∠C.DC中點(diǎn)DA90高CB=性質(zhì)1等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.性質(zhì)2等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）．在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）幾何語言：性質(zhì)3等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）．在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC上1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

.

2、∵AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠

.3、∵AD是角平分線，∴

⊥

，

=

.幾何語言：BADCADBDCDBDCDBADCADADBCADBC如圖（1）在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°,則∠B=,∠C=

.變式練習(xí)：1、如圖（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,則∠B=

，∠C=.2、如圖（3）在等腰△ABC中，∠A=120°則∠B=

，∠C=

.做一做72°72°65°65°30°30°做一做在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△

ABC各角的度數(shù).

解：設(shè)∠A=x°

∵AD=BD∴∠A=∠ABD=x°∠BDC=2x°∵BD=BC∴∠BDC=∠C=2x°∵AB=AC∴∠C=∠ABC=2x°∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180即x=36∠A=36°∠ABC=∠C=72°想一想如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB＝BC＝AC,從而∠C＝∠A＝∠B．由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.結(jié)論由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.舉例例2

已知：如圖,在△ABC

中,

AB=AC,點(diǎn)D,

E在邊BC上,且AD=AE.求證：BD=CE.證明：作AF⊥BC,垂足為點(diǎn)F∵AB=ACAD=AE∴BF=CF

DF=EF，∴BF

－DF=CF

－EF，即BD=CE.解題規(guī)律：在等腰三角形中，做頂角平分線或作底邊上的高或作底邊上的中線是一種常用的輔助線.如圖

的三角測(cè)平架中,AB=AC,在BC的中點(diǎn)D掛一個(gè)重錘,自然下垂,調(diào)整架身,使點(diǎn)A恰好在鉛垂線上．(1)

AD與BC是否垂直,試說明理由;(2)這時(shí)BC處于水平位置,為什么?議一議小結(jié)與復(fù)習(xí)本節(jié)課你學(xué)習(xí)了等腰三角形的哪些重要性質(zhì)?思考已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.求證：∠DBC=∠A.中考試題例

已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=900∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG+∠BCF=900又∠ACE+∠BCF=900∴∠ACE=∠CBG又AC=BC，∴△AEC≌△CGB（ASA)∴AE=CG中考試題（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖①），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直CE,垂足為H,交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖②）,找出圖中與BE相等的線段,并說明.求證:BE=CM中考試題證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED∴∠CMA+∠MCH=900∠BEC+∠MCH=900∴∠CMA=∠BEC又AC=BC，∠ACM=∠CBE=450∴△BCE≌△CMA（ASA)∴BE=CMF解：作AF⊥BC于