淺談高考中向量的極化恒等式的應(yīng)用 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選淺談高考中向量的極化恒等式的應(yīng)用新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上對極化恒等式的介紹相對的較少，沒有系統(tǒng)文中結(jié)合幾道高考題進(jìn)行了介紹關(guān)鍵字：向量、數(shù)量積、極化恒等式、數(shù)形結(jié)合引言：向量是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，是形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合.此做為壓軸試題來提高考生的區(qū)分度。解題方法，比如向量的極化恒等式(平面向量的積化和差公式)。本文介紹向量的極化恒等式及其相關(guān)應(yīng)用。a+b2

a?b2極化恒等式a?b=(

2)(2)2 2 2 2?2 2變式:a?b=(a+b) (a??2 2

,a?b=

|a+b|

|a?b|?

,|a+b|+|a?b|4 4 4 42) ?設(shè)M為BC中點(diǎn)，AB?AC=(AM+MB)?(AM+MC)即

AB?AC=(AM+MB)?MB(AM?MB)故AB?AC=AM2 2MB?質(zhì)。0 0 4AB【例是邊ABB=1 ,且對于邊0 0 4AB恒有PB?PC≥P0B?P0C,則( ).A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選評析:該題新穎別致,獨(dú)具匠心,是一道以數(shù)量積為載體的恒成立問題,最終轉(zhuǎn)化為考查判斷三角形的形狀.觀察到?PBC和?P0BC始終有公共邊BC,因此利用向量的極化公式可以輕松求解.0 4AB 0解析:如圖(2)所示,取AB中點(diǎn)E,因?yàn)镻B=1 ,所以P為EB中點(diǎn),取BC0 4AB 0則DP0?CEB的中位線,DP0//CE,根據(jù)向量的極化公式有PB?PC=PD

2?DB

2,P0B?2 2P0C=P0D

?DB又

∵PB?PC≥P0B?P0C則|PD|≥|P0D恒成立必有P0D⊥AB.因此CE⊥AB.又E為AB中點(diǎn)所以AC=BC.【例2】如圖(3),在?ABC中D是BC的中點(diǎn)EF是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BA?CA=4,BF?CF=?1,則BE?CE的值為是BC的中點(diǎn)”，容易聯(lián)想到向量的極化恒等式。2解析:設(shè)BD=DC=m，AE=EF=FD=n,則AD=3n。2根據(jù)向量的極化公式有，BA?CA=AB?AC=AD2

DB =9n2?m2=42BF?CF=FB?FC=FD

?2DB=n2?m2=?1.28聯(lián)立解得n2=58

?m2=13m822022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選82 2 78因此BE?CE=ED

?DB

=n2?m2=【例和b，|a|=1，|b|=2,若對任意單位向量e均有

|a?e|+|b?e|≤

6,則a?b的最大值為 _.評析:該題延續(xù)2013年的命題風(fēng)格,試題簡短卻內(nèi)涵豐富.它仍然是以數(shù)量積為載體的恒成立問題,將向量與不等式,求最值結(jié)合在一起,要求考生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力,推理論證能力，真正起到了壓軸的作用.考生需要在腦海中搜索最本源的知識,綜合運(yùn)用所學(xué)方能求解解析:由6≥|a?e|+|b?e|≥|a?e+b?e|=|(a+b)?e|得|(a+b)?e|≤6.即|(a+b)?e|≤6對任意對任意單位向量e恒成立.只需(a+b)?e的最大值小于等于 6.2又|(a+b)?e|≤|a+b|?|e|=|a+b|，故有2

|a+b|≤ 6由.2|a+b|2

+|a?b|

=2(a2

+ 2)=10

2 10?|a+b|2 14b42所以|a?b|2=10?|a+b|2，故a?b=|a+b|? ≤4b42【例ABCD中已知=3PD,AP?BP=2,則AB?AD的值是評析:該題面目溫和，平易近人，入口寬，可以有不同的思考方式如坐標(biāo)法基底法等等.本文利用向量的極化公式求解別有一番風(fēng)味.32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選解析:如圖(5)所示,取AB中點(diǎn)E,連接EP交AD于F根據(jù)向量的極化公式有PA?PB=PE2

2=2,故PE=3 2.EA?EA因?yàn)镃P=3PD,CD=8,所以PD=2.又AE=4,所以DP是?FAE的中位線.因此有AF=10,EF=6 2.觀察到AB?AD=40cos∠DAB,AF?AE=401222cos∠DAB故AB?AD=AF?AE.根據(jù)向量的極化公式有122211 2 2 22AF?AE=4[(11 2 2 22

?(AF?AE)

]=4[(AF+AE)

?(EF)]=1AF2+AE2+2AF?AE?(EF)2即1

AE=[AF+AE?(EF)]4[ ]

2AF 4因此AF?AE=22則AB?AD=22