力與運動圓周運動講義

圓周運動編審教師：市級骨干教師繆祥禹本專題主要涉及水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)和斜面上的圓周運動基本規(guī)律及臨界問題等。高考常以生活中圓周運動的實例為命題背景，考查學生模型建構(gòu)的能力，同時考查學生利用牛頓第二定律和功能關(guān)系求解圓周運動等綜合應用能力。水平面內(nèi)圓周運動及臨界問題（2021.湖北.檢測）水平圓盤上沿直徑方向放置以輕繩相連的兩個小物塊A和B，兩物塊的質(zhì)量分別為mA和mB，到圓心的距離分別為rA和rB，且rA＜rB。兩物塊與圓盤間的最大靜摩擦力均為自身重力的μ倍，重力加速度為g。忽略小物塊A、B的大小，不考慮輕繩拉力上限，輕繩伸直且最初拉力為零。圓盤繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角速度ω由零緩慢增大。（1）當圓盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動時，輕繩上開始出現(xiàn)拉力，求ω1的大??；（2）當圓盤以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動時，小物塊A將開始滑動，求ω2的大??；（3）在角速度從零緩慢地增加到小物塊A將開始滑動過程中，小物塊A與圓盤間摩擦力大小為fA，試通過計算，在坐標系中作出fA－ω2圖象（要求：必須標出每段圖象轉(zhuǎn)折點的縱坐標值）。關(guān)鍵信息：A、B隨圓盤一起繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動→水平圓盤模型A、B隨圓盤一起繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動→水平圓盤模型rA＜rB，且圓盤轉(zhuǎn)速逐漸增大→物塊滑動的臨界狀態(tài)為，則，，故wB臨＜wA臨，即B比A先達到臨界狀態(tài)。解題思路：抓住A剛要滑動和B剛要滑動時的兩個臨界狀態(tài)，B所受的靜摩擦力剛好達最大值時，細繩剛開始有拉力；A所受的靜摩擦力剛好到達最大值時，A、B剛好同時相對圓盤發(fā)生滑動。（1）當角速度較小時，輕繩張力T＝0，圓盤對A、B的靜摩擦力提供其繞軸做圓周運動的向心力，即f0＝mω2r。當圓盤轉(zhuǎn)速增大時，因為rA＜rB，所以物體B先達到最大靜摩擦力，對B：μmBg＝mBω12rB，即當ω1＝時，輕繩上開始出現(xiàn)拉力。（2）當ω＞ω1時，輕繩開始出現(xiàn)張力，對A：fA－T＝mAω2rA①對B：μmBg＋T＝mBω2rB②由①＋②得fA＋μmBg＝(mArA＋mBrB)ω2，則當角速度ω增大時，fA一直增大，當A將要開始滑動時fA＝μmAg，解得ω2＝。（3）由第（1）問可得，當0＜ω≤ω1時，fA＝mArAω2，令ω＝ω1時，解得fA＝由第（2）問可得，當ω1＜ω≤ω2時，fA＝(mArA＋mBrB)ω2－μmBg，令ω＝ω2時，解得fA＝μmAg綜上作出fA－ω2圖象如圖所示（2022.重慶.檢測）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點）落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，小物塊與陶罐內(nèi)壁間的動摩擦因數(shù)為μ，且它和O點的連線與OO′之間的夾角為θ，轉(zhuǎn)動角速度為ω，重力加速度為g。則下列說法正確的是（）A．當ω2＝時，小物塊與陶罐內(nèi)壁間的彈力為mgcosθB．當ω2＝時，小物塊與陶罐內(nèi)壁間的彈力為C．當ω2＝時，小物塊與陶罐內(nèi)壁間的摩擦力沿罐壁向上D．當ω2＝時，小物塊將向陶罐上沿滑動ABC、當摩擦力恰好為零，受力分析如圖所示，支持力和重力的合力提供向心力，設此時角速度為ω0，有：mgtanθ＝mRsinθω02，解得ω02＝，此時小物塊與陶罐內(nèi)壁間的彈力為N＝，故AC錯誤，B正確；D、當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，超過最大值物塊將向陶罐上沿滑動，受力分析圖如下：設此最大角速度為ω，水平方向：fcosθ＋Nsinθ＝mRsinθω2，豎直方向：fsinθ＋mg＝Ncosθ，其中f＝μN，聯(lián)立解得ω2＝，D錯誤，故選B。水平面內(nèi)圓周運動常見的三種臨界情況分析：臨界情況典型模型臨界條件分析相對滑動的臨界條件兩物體相對靜止且存在著摩擦力時，二者相對滑動的臨界條件是靜摩擦力剛好達到最大值接觸與分離的臨界條件兩物體恰好接觸或分離，臨界條件是彈力Fn＝0繩子斷裂與松弛的臨界條件繩子所能承受的張力是有限度的，繩子恰不斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是繩子張力為0豎直面內(nèi)圓周運動及臨界問題（2022.海南.檢測）如圖所示，一質(zhì)量為mv0＝10m/s沖入一管道。該管道為圓管道，半徑為R＝5m。已知小球的入口與圓心在同一高度。經(jīng)過管道后，它又沿著水平導軌進入另一半徑為r的圓軌道，且恰好能通過圓軌道的最高點，若所有銜接處均不損失機械能，不計摩擦，小球直徑以及管道內(nèi)徑可忽略，圓軌道和圓軌道底端均與水平導軌相切，g取10m/s2。下列說法正確的是（）A．小球到達管道最高點時對管道的壓力為零B．小球到達管道最高點時速度為m/sC．小球到達管道最低點時對管道的壓力為6ND．圓軌道半徑r為4m關(guān)鍵信息：光滑圓管道→輕桿模型，最高點速度v≥0光滑圓軌道→輕繩模型，恰好能通過最高點的臨界v＝解題思路：“兩點”即最高點和最低點，在最高點和最低點對小球受力分析，找出向心力的來源，根據(jù)牛頓第二定律列方程，“一過程”，即從最高點到最低點（或從最低點到最高點），用動能定理或機械能守恒定律將這兩點聯(lián)系起來。B．小球從出發(fā)點到管道最高點，由動能定理可得－mgR＝mv12－mv02，解得小球到達管道最高的點時速度v1＝0，選項B錯誤；A．小球在最高點時，小球?qū)艿赖膲毫Φ扔谛∏虻闹亓?，選項A錯誤；C．小球從出發(fā)點到管道最低點，由動能定理可得mgR＝mv22－mv02，解得小球到達管道最低點時速度v2＝m/s，在最低點，由牛頓第二定律F－mg＝，解得管道最低點對小球的支持力F＝5N，再結(jié)合牛頓第三定律可知，選項C錯誤；D．小球剛好通過圓軌道最高點，在最高點速度v滿足mg＝，解得v＝，小球從出發(fā)點到圓軌道最高點由動能定理可得：mgR－2mgr＝mv2－mv02，聯(lián)立得：r＝4m，故D正確。（2022.廣東.檢測）如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”。它可等效為一質(zhì)點在圓軌道外側(cè)運動的模型，如圖乙所示。在豎直平面內(nèi)固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點。質(zhì)點沿軌道外側(cè)做完整的圓周運動，所受圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當質(zhì)點以速率v＝通過A點時，對軌道的壓力為其重力的8倍，不計摩擦和空氣阻力，質(zhì)點質(zhì)量為m，重力加速度為g，則（）A．強磁性引力的大小F＝7mgB．質(zhì)點在A點對軌道的壓力小于在B點對軌道的壓力C．只要質(zhì)點能做完整的圓周運動，則質(zhì)點對A、B兩點的壓力差恒為5mgD．若強磁性引力大小恒為2F，為確保質(zhì)點做完整的圓周運動，則質(zhì)點通過B點的最大速率為A、質(zhì)點在A點，由牛頓第二定律有：F＋mg－FA＝，根據(jù)牛頓第三定律有：FA＝FA′＝8mg，聯(lián)立解得：F＝8mg，選項A錯誤；BC、質(zhì)點能完成圓周運動，則在A點根據(jù)牛頓第二定律有：F＋mg－NA＝，根據(jù)牛頓第三定律有：NA＝NA′；在B點，根據(jù)牛頓第二定律有：F－mg－NB＝，根據(jù)牛頓第三定律有：NB＝NB′；從A點到B點過程，根據(jù)動能定理有：mg?2R＝－。聯(lián)立解得：NA′－NB′＝6mg，選項BC錯誤；D、若強磁性引力大小恒為2F，在B點根據(jù)牛頓第二定律有2F－mg－FB＝，當FB＝0時，質(zhì)點速度最大，聯(lián)立解得vB′＝，故選D。解決豎直平面內(nèi)的圓周運動臨界問題的解題思路：斜面上的圓周運動及臨界問題（2022.河北.月考）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤可繞垂直于盤面的固定中心軸轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離為l＝處有一質(zhì)量為m＝的小物體（可視為質(zhì)點）靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為μ＝，盤面與水平面的夾角為θ＝30°。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。（1）若小物體與圓盤始終保持相對靜止，求圓盤勻速轉(zhuǎn)動角速度的最大值；（計算結(jié)果保留根式）（2）若小物體與圓盤始終保持相對靜止，當圓盤勻速轉(zhuǎn)動的角速度達最大值時，求小物體運動到最高點時所受摩擦力；（3）若小物塊在最高點不受摩擦力，求此時小物塊的角速度和線速度大小。（計算結(jié)果保留根式）關(guān)鍵信息：小物體隨圓盤一起做勻速轉(zhuǎn)動→斜面模型＋勻速圓周運動；小物體在圓盤最低點→所受摩擦力最大，臨界點1：角速度最大；小物體在圓盤最高點→所受摩擦力為零，臨界點2：只有重力沿斜面向下的分力提供向心力。解題思路：“兩點”即最高點和最低點，在最高點和最低點對小球受力分析，找出向心力的來源，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解。（1）小物塊在最低點相對圓盤即將滑動時，圓盤勻速轉(zhuǎn)動角速度最大，受力分析如圖所示：f1＝μmgcos30°由牛頓第二定律有μmgcos30°－mgsin30°＝，代入數(shù)據(jù)解得ω1＝rad/s；（2）設小物體在最高點所受摩擦力大小為f，方向沿斜面向上，受力分析如圖所示：根據(jù)牛頓第二定律得mgsin30°－f＝，代入數(shù)據(jù)解得f＝1N，方向沿圓盤面向上；（3）小物塊在最高點不受摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律有mgsin30°＝，解得小物塊在最高點不受摩擦力時的角速度ω2＝，代入數(shù)據(jù)解得ω2＝rad/s，小物塊在最高點不受摩擦力時的線速度大小v＝ω2l＝m/s（2021.江蘇.檢測）如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小物塊a和b（可視為質(zhì)點），靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動，a到轉(zhuǎn)軸的距離為l，b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l，物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為，盤面與水平面的夾角為30°。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)在最高點時所受摩擦力可能為0 B．a(chǎn)在最低點時所受摩擦力可能為0C．ω＝是a開始滑動的臨界角速度 D．ω＝是b開始滑動的臨界角速度A．假設在最高點，若a所受的摩擦力為零，僅靠重力沿圓盤向下的分力提供向心力，有：mgsinθ＝mlω2，在最低點，有f－mgsinθ＝mlω2，解得最低點的摩擦力f＝mg，而最大靜摩擦力fm＝μmgcosθmg，可知最高點a的摩擦力不會為零，選項A錯誤；B．在最低點，a靠靜摩擦力和重力沿圓盤方向的分力提供向心力，合力指向圓心，則靜摩擦力大于重力沿圓盤方向的分力，選項B錯誤；C．在最低點，對a，根據(jù)牛頓第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝mlω2，解得