專題10函數(shù)與方程

專題10函數(shù)與方程名師推薦函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其它內(nèi)容時，起著重要作用；方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是培養(yǎng)運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，高考把函數(shù)與方程思想作為重要思想方法重點(diǎn)來考查.函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其它內(nèi)容時，起著重要作用；方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是培養(yǎng)運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，高考把函數(shù)與方程思想作為重要思想方法重點(diǎn)來考查.函數(shù)思想在高考中的應(yīng)用主要是函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖像的應(yīng)用，探究1中詳細(xì)介紹了利用函數(shù)思想解決立體幾何、三角形、概率統(tǒng)計(jì)等不同類型問題；方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中各個量及其關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言建立方程或方程組，或構(gòu)造方程或方程組，通過求方程或方程組的解的情況，使問題得以解決，探究2中對利用方程或方程組解決問題作了不同介紹，在高考中也會遇到建立不等式或者不等式組解決問題；探究3中給出一些復(fù)雜問題，這時我們需要聯(lián)用函數(shù)與方程的思想，才能化繁為簡，解決問題。——合肥一中高級教師陳銀科——高級教師探究1：函數(shù)思想【典例剖析】例1.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一個球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是(

)A.[18,814] B.[274,選題意圖:選題意圖:本題是2022年新高考Ⅰ卷的第8題，考查球的切接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、導(dǎo)數(shù)等知識，強(qiáng)調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，考查學(xué)生在面對綜合性較強(qiáng)的問題時的應(yīng)變能力，對直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)均有一定的要求，同時滲透了求取值范圍的一個重要思想：函數(shù)思想.思維引導(dǎo)：由正四棱錐的外接球的性質(zhì)，列方程可得V=13【解析】設(shè)正四棱錐P?ABCD的高為PO1=?，底面邊長為a，球心為O，由已知易得球半徑為R=3，

所以(22a)2+(??3)2=9(22a)2+?2=l2?6?=l2【變式訓(xùn)練】練11(2022·山西省月考)ΔABC中，角A，B，C所對的三邊分別為a，b，c，c=2b，若ΔABC的面積為1，則BC的最小值是(

)A.3 B.3 C.2 D.3【解析】設(shè)角A為θ，因?yàn)閏=2b，由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosθ=5b因此a2=5?4cosθsinθ，

設(shè)y=5?4cosθsinθ(0<θ<π)，

令t=cosθ，則y=5?4t1?t2，t∈(?1,1)，則y'=5t?4(1?t2)1?t2，

所以當(dāng)45<t<1，y'>0，函數(shù)y單調(diào)遞增；當(dāng)?1<t<45，y'<0，函數(shù)y練12(2022·江西省月考)2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(COVID?19)疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快．因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大．武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人．在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，當(dāng)p=p0時，f(p)最大，則p0A.1?63 B.63 C.【解析】檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為(1?p)4p，

檢測了6個人才能確定為“感染高危戶”的概率為(1?p)5p，

所以f(p)=(1?p)4p+(1?p)5p，(0<p<1)，

令x=1?p(0<x<1)，

則gx=f(p)=x4(1?x)+x5(1?x)=?x6+x4，

g'(x)=?6x5+4x3=2x【規(guī)律方法】如果所給出的數(shù)學(xué)問題從表面上看是非函數(shù)問題,但其中有隱含的函數(shù)關(guān)系,這就要求我們將問題中隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來,從而充分運(yùn)用函數(shù)知識或函數(shù)方法使問題順利獲解.1.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在如下兩個方面:①借助于初等函數(shù)的性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性、周期性解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題.②在問題研究中通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造中間函數(shù),其中構(gòu)造函數(shù)關(guān)系進(jìn)而利用函數(shù)思想解題是更高層次的體現(xiàn),構(gòu)造時要審時度勢,充分發(fā)掘原題中可類比、聯(lián)想的因素,促進(jìn)思維遷移,—且構(gòu)造成功,把研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.2.基本解題思路如下：觀察（必要時需適當(dāng)變形）→構(gòu)造函數(shù)→結(jié)合具體問題和函數(shù)性質(zhì)/最值等求解問題探究2：方程思想【典例剖析】例2.(2022·福建省模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列{8Sn+2n}也是公差為選題意圖：選題意圖：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等知識，重點(diǎn)體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，注重對能力的考查，強(qiáng)調(diào)問題本質(zhì)與數(shù)學(xué)思維，突出了數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：將條件數(shù)列{8Sn+2n【解析】

因?yàn)閿?shù)列{8Sn+2n}也是公差為d即8即4d即4d所以，有4d=d20=所以，an【變式訓(xùn)練】練21(2022·湖北省模擬)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E在BD上，且AE⊥BD，則AE?EC=(

)

A.1225 B.2425 C.45【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：

則A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，

設(shè)E(x,y)，所以AE=(x,y?1)，BE=(x,y)，BD=(2,1)．

∵AE⊥BD且BE//BD，

∴2x+y?1=0x?2y=0，解得x=25y=15練22(2022·江蘇省模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為23，過(0,2)的直線l與橢圓C相切于第一象限的T點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程和T點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l'平行于直線OT，與橢圓C【解析】(1)解：由短軸長為23，知b=3,又e=ca=12，a2=b2+c2，

解得a2=4，b2=3，所以橢圓C的方程為x24+y23=1；

設(shè)直線l的方程為y=kx+2，

則由?x24+y23=1y=kx+2，得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，

∵Δ=(16k)2?16(3+4k2)=0，解得：k=?12(12舍去)=[x1?(1?m2)]2+94[【規(guī)律方法】方程思想的應(yīng)用十分廣泛,只要涉及含有等量關(guān)系的條件或結(jié)論時,都可考慮通過構(gòu)建方程或方程組求解,其主要應(yīng)用有以下幾個方面:

(1)方程思想在三角函數(shù)求值問題中的應(yīng)用.如:“切弦”互化問題,一般是將“弦”化“切”建立關(guān)于tanα的方程求解，結(jié)合三角恒等式sin2α+cos2α=1與已知條件構(gòu)建方程組求解.

(2)方程思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.如:曲線的切點(diǎn)問題,一般是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和已知條件,構(gòu)建關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0探究3：聯(lián)用函數(shù)與方程思想【典例剖析】例3.(2022·重慶市模擬)已知函數(shù)f(x)=exx?1,x>0e?x+2kx+k,x<0(e為自然對數(shù)的底數(shù)選題意圖：選題意圖：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題，函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了方程根的個數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，也就是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，也考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡運(yùn)算能力和推理能力，注意構(gòu)造函數(shù)，突出了函數(shù)與方程思想解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)時的便捷性和重要性，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：設(shè)F(x)=f(x)+f(?x)，判斷F(x)為偶函數(shù)，考慮x>0時，F(xiàn)(x)的解析式和零點(diǎn)個數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合思想，即可得到所求k的范圍．【解析】設(shè)F(x)=f(x)+f(?x)，可得F(?x)=F(x)，即有F(x)為偶函數(shù)，

由題意考慮x>0時，F(xiàn)(x)有兩個零點(diǎn)，

當(dāng)x>0時，?x<0，f(?x)=ex?2kx+k，

即有x>0時，F(xiàn)(x)=xex?ex+ex?2kx+k=xex?2kx+k，

由F(x)=0，可得xex?2kx+k=0，

即函數(shù)y=xex與y=k(2x?1)在x>0上有兩個交點(diǎn)．

由y=xex，y=k(2x?1)相切，設(shè)切點(diǎn)為(t,tet)，(t,k(2t?1))，

y=xex的導(dǎo)數(shù)為y'=(x+1)ex，y=k(2x?1)的導(dǎo)數(shù)為y'=2k

可得切線的斜率為e【變式訓(xùn)練】練31(2022·河北省月考)已知函數(shù)fx=sinωx-3cosωxω>0，若方程fA.136,72 B.72,【解析】函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx=2sin(ωx?π3)(ω>0)，

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，

令2sinωx?π3=?1，

解得ωx?π3=?π6+2kπ或ωx?π3=7π6+2kπ，k∈Z，

解得x=π6ω+2kπω或x=3π2ω+2kπω，

設(shè)y=?1與y=f(x)在0,+∞上從左到右的第4個交點(diǎn)為練32(2022·遼寧省模擬)已知函數(shù)f(x)=?x2+2?m,x?1xlnx?mx+m,x>1【解析】函數(shù)f(x)=?x2+2?m,x?1xlnx?mx+m,x>1,

令f(x)=0，得m=?x2+2,x?1xlnxx?1,x>1,

設(shè)?(x)=?x2+2,x?1xlnxx?1,x>1,

①當(dāng)x>1時，?(x)=xlnxx?1，則?'(x)=x?1?lnx(x?1)2，

設(shè)p(x)=x?1?lnx，則p'(x)=1?1x>0，所以p(x)單調(diào)遞增，

所以p(x)>p(1)=0，

所以?'(x)>0，所以?(x)單調(diào)遞增，

設(shè)m(x)=xlnx?(x?1)，則m'(x)=lnx，x?∈(1,+∞)，

所以練33(2022·福建省模擬)設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C.求：

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(2)求圓C的方程(用含b的方程表示)

(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b【解析】(1)令x=0，得二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)有一個為(0,b)，

那么結(jié)合題意可得二次函數(shù)f(x)=x2+x+b(x∈R)的圖象必與x軸有兩個交點(diǎn)．

令f(x)=x2+x+b=0，由題意b≠0

且Δ>0，解得b<14且b≠0．

(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．

令y=0得，x2+Dx+F=0，由題意可得，這與x2+x+b=0是同一個方程，故D=1，F(xiàn)=b．

令x=0得，y2+Ey+F=0，由題意可得，此方程有一個根為b且b≠0，代入得出E=?b?1，

所以圓C的一般方程為x2+y2+x?(b+1)y+b=0..

(3)