組合數(shù)學(xué)題庫答案

./填空題1．將5封信投入3個(gè)郵筒,有_____243_種不同的投法．2．5個(gè)男孩和4個(gè)女孩站成一排。如果沒有兩個(gè)女孩相鄰,有43200方法．3．22件產(chǎn)品中有2件次品,任取3件,恰有一件次品方式數(shù)為__380______．4．所有項(xiàng)的系數(shù)和是_64__．答案：645．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為_6___．6．由初始條件及遞推關(guān)系確定的數(shù)列叫做Fibonacci數(shù)列7．〔3x-2y20的展開式中x10y10的系數(shù)是．8．求6的4拆分?jǐn)?shù)2．9．已知在Fibonacci數(shù)列中,已知,試求Fibonacci數(shù)1094610．計(jì)算〔DA．5B.8C.10D.6選擇題1．集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為〔AA.1022B.1023C.1024D.10212．把某英語興趣班分為兩個(gè)小組,甲組有2名男同學(xué),5名女同學(xué)；乙組有3名男同學(xué),6名女同學(xué),從甲乙兩組均選出3名同學(xué)來比賽,則選出的6人中恰有1名男同學(xué)的方式數(shù)是〔DA．800B.780C.900D.8503．設(shè)滿足條件,則有序正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為〔DA.100B.81C.50D.454．求中項(xiàng)的系數(shù)是〔CA.1450B.60C.3240D.34605．多項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)是〔CA．78B.104C.96D.486．有4個(gè)相同的紅球,5個(gè)相同的白球,那么這9個(gè)球有〔B種不同的排列方式A.63B.126C.252D.3787．遞推關(guān)系的特種方程有重根2,則〔B是它的一般解A．B.C.D.8．用數(shù)字1,2,3,4〔數(shù)字可重復(fù)使用可組成多少個(gè)含奇數(shù)個(gè)1、偶數(shù)個(gè)2且至少含有一個(gè)3的位數(shù)〔運(yùn)用指數(shù)生產(chǎn)定理A.B.C.D.9．不定方程正整數(shù)的解的個(gè)數(shù)為多少？〔A/C不確定A.B.C.D.10．的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為〔AA.120B.100C.85D.5011．從1至1000的整數(shù)中,有多少個(gè)整數(shù)能被5整除但不能被6整除？〔AA.167B.200C.166D.3312．期末考試有六科要復(fù)習(xí),若每天至少?gòu)?fù)習(xí)完一科〔復(fù)習(xí)完的科目不再?gòu)?fù)習(xí),5天里把全部科目復(fù)習(xí)完,則有多少種不同的安排？〔DA.9B.16C.90D.180013．某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文二個(gè)小組,參加數(shù)學(xué)小組的有23人,參加語文小組的有27人；同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語文兩個(gè)小組的有7人。這個(gè)年級(jí)參加課外學(xué)科小組人數(shù)〔C。A．50 B．57 C．43 D．1114．將11封信放入8個(gè)信箱中,則必有一個(gè)信箱中至少有〔B封信。A、1B、2C、3D、415．組合式與下列哪個(gè)式子相等？〔BA、B、+C、D、16．在{1,2,3,4,5,6}全排列中,使得只有偶數(shù)在原來位置的排列方式數(shù)為〔A。A、2B、4C、9D、2417．若存在一遞推關(guān)系則<A>.A.B.C.D.18．遞推關(guān)系的特解形式是〔B〔為待定系數(shù)A.B.C.D.19．錯(cuò)位排列數(shù)<C>答案：CA.B.C.D.20．有100只小鳥飛進(jìn)6個(gè)籠子,則必有一個(gè)籠子至少有〔C只小鳥A.15B.16C.17D.1821．10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱,4個(gè)舞蹈,今編寫節(jié)目單,要求任意兩個(gè)舞蹈之間至少有1個(gè)演唱,問可編寫出多少種不同的演出節(jié)目單？22．?dāng)?shù)列的生成函數(shù)是〔D。A、B、C、D、23．6個(gè)男孩和4個(gè)女孩站成一圈,如果沒有兩個(gè)女孩相鄰,有〔C種排法。A、B、C、D、24．排A,B,C,D,E,F六個(gè)字母,使A,B之間恰有2個(gè)字母的方式數(shù)〔D。A、12B、72C、36D、14425．求多重集的8-排列數(shù)是〔CA.700B.140C.1260D.120026．一糕點(diǎn)店生產(chǎn)8種糕點(diǎn),如果一盒裝有12塊各種糕點(diǎn),并且可以認(rèn)為每種糕點(diǎn)無限多,那么你能買到多少種不同的盒裝糕點(diǎn)〔假設(shè)裝盒與順序無關(guān)？〔BＡ．50000Ｂ．50388Ｃ．55000Ｄ．5278827．在一次聚會(huì)上有15位男士和20位女士,則形成15對(duì)男女一共有多少種方式數(shù)〔AA．B.C.D.28．的生成函數(shù)是〔DA．B.C.D.計(jì)算題試確定多重集的組合數(shù)。解：把S的r—組合分成兩類：①包含的組合：這種組合數(shù)等于即②不包含的組合：這種組合數(shù)等于組合數(shù)即由加法法則,所求的組合數(shù)為2．求的6-排列數(shù)解：根據(jù)題意有：則的全排列數(shù)3．求展開式中的系數(shù)4．求的展開式中的系數(shù),其中。〔解：=。又因?yàn)樗缘南禂?shù)為〔5．<1>求的生成成函數(shù)。〔解：設(shè),則<2>解遞歸關(guān)系：,。答案：解特征方程x2-4x-4=0x1=x2=2.得H<n>=2n{1+n/2}6．求重集的10-組合數(shù)。答案：C<10+3-1,10>7．的展開式在合并同類項(xiàng)后一共有多少項(xiàng)？答案：C<100+4-1,100>.8．解遞推關(guān)系〔解：遞推關(guān)系〔1的特征方程為,特征根為故其通解為因?yàn)椤?式無等于1的特征根,所以遞推關(guān)系〔2有特征根,其中A和B是待定常數(shù),代入〔2式得化簡(jiǎn)得所以解之得于是其中是待定常數(shù)。由初始條件得解之得所以9.解遞推關(guān)系〔解：遞推關(guān)系〔1的特征方程為,特征根為故其通解為因?yàn)椤?式無等于1的特征根,所以遞推關(guān)系〔2有特征根,其中A和B是待定常數(shù),代入〔2式得化簡(jiǎn)得所以解之得于是其中是待定常數(shù)。由初始條件得解之得所以答案：10．求1到1000之間不能被5,6,或8整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。解：設(shè)A為1至1000的整數(shù)中能被5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)；B為1至1000的整數(shù)中能被6整除的數(shù)的個(gè)數(shù)；C為1至1000的整數(shù)中能被8整除的數(shù)的個(gè)數(shù).則所以即所求為：.11．在所有的位數(shù)中,包含數(shù)字3、8、9但不包含數(shù)字0、4的數(shù)有多少？解：除去0、4,則在1、2、3、5、6、7、8、9這8個(gè)數(shù)組成的位數(shù)中:令表示由這8個(gè)數(shù)字組成的所有位數(shù)的集合,則；令表示具有性質(zhì)：一個(gè)位數(shù)不包含3；令表示具有性質(zhì)：一個(gè)位數(shù)不包含8；令表示具有性質(zhì)：一個(gè)位數(shù)不包含9；令表示中具有性質(zhì)的元素構(gòu)成的集合則有容斥原理,而,所以12．求的展開式中的系數(shù)。解：原式==所以的系數(shù)=80請(qǐng)確定在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)。試確定多重集的組合數(shù)。解：構(gòu)造多重集S’={∞*b1,∞*b2,∞*b3,∞*b4},令S’的所有10?組合構(gòu)成的集合為S,有|S|=C<4+10-1,10>。令B為至少出現(xiàn)4個(gè)b2的組合構(gòu)成的集合,C為至少出現(xiàn)6個(gè)b3的組合構(gòu)成的集合,D為至少出現(xiàn)8個(gè)b4的組合構(gòu)成的集合。由于B中的每一個(gè)10?組合至少含有4個(gè)b2,故這樣的一個(gè)組合相當(dāng)于S’的一個(gè)6?組合,反之,S’的一個(gè)6?組合加上4個(gè)b2就得到了B的一個(gè)10?組合。這兩種選法是一一對(duì)應(yīng)的。故|B|=C<4+6-1,6>,同理有|C|=C<4+4-1,4>,|D|=C<4+2-1,2>。類似的分析可得|B∩C|=C<4+0-1,0>,|B∩D|=0,|C∩D|=0,|B∩C∩D|=0。根據(jù)容斥原理,S的10?組合數(shù)為286-<84+35+10>+<1+0+0>-0=15814．解遞推關(guān)系：解：特征方程為,特征根為所以對(duì)應(yīng)的齊次遞推關(guān)系式有的通解原遞推式有特解為,代入原遞推式得A=1,D=2,因此原遞推式有通解,再將代入通解得,所以14.有紅球4個(gè),黃球3個(gè),白球3個(gè),把它們排成一條直線,有多少種排法？解：由定理得：15．求的5-可重排列數(shù)。解法1：所以的系數(shù)為：則的系數(shù)為：〔=25的5-排列數(shù)有,,三種情況。15．求的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)解：證明題1．證明：邊長(zhǎng)為4的正三角形任意5個(gè)點(diǎn)必有兩點(diǎn)其距離不超過2。答案：取個(gè)邊中點(diǎn)將三角形等分為四個(gè)邊長(zhǎng)為2的三角形。則5個(gè)點(diǎn)中必然有兩個(gè)落在同一個(gè)三角形。設(shè)是個(gè)正整數(shù),證明其中存在著連續(xù)的若干數(shù),其和為的倍數(shù)。3.設(shè)是元集,則的子集數(shù)是。4．某學(xué)生在37天里共做了60道數(shù)學(xué)題。已知他每天至少做1道題,求證：必存在連續(xù)的若干天,在這些天里該學(xué)生恰做了13道數(shù)學(xué)題。證明：設(shè)該同學(xué)從第1天至第天共做了道數(shù)學(xué)題,則,則則如果,則這與矛盾,所以,從而存在使得即這表明該學(xué)生從第天到第天共做了13道數(shù)學(xué)題。5．證明：。這里,表示從個(gè)對(duì)象中取個(gè)的方法數(shù)。答案：等式左邊表示從2n個(gè)不同的球中取兩個(gè)球的方法數(shù)。我們把2n個(gè)球平均分成A,B兩組,選球的方法有以下兩類：去自同一組的選法數(shù)為;取自不同組的球的方法數(shù)為6．如n,r∈N且n≥r≥2,則P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>。證明：當(dāng)r≥2時(shí),把集合A的r?排列分為兩大類：一類包含A中的某個(gè)固定元素,不妨設(shè)為a1,另一類不包含a1。第一類排列相當(dāng)于先從A-{a1}中取r-1個(gè)元素進(jìn)行排列,有P<n-1,r-1>種取法,再將a1放入每一個(gè)上述排列中,對(duì)任一排列,a1都有r種放法。由乘法法則,第一類排列共有r×P<n-1,r-1>個(gè)。第二類排列實(shí)質(zhì)上是A-{a1}的r?排列,共有P<n-1,r>個(gè)。再由加法法則有P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>證畢。7．用非降路徑法證明：這里,表示從個(gè)對(duì)象中取個(gè)元素的方法數(shù)。答案：〔0,0到〔m,n的路徑數(shù)為C<m+n,n>;又,<0,0>到<m,n>的任一路徑必過<m-1,n>或<m.n-1>。故,等式成立；證明：。解：證明：法1,設(shè)A={am},B={bn},且A∩B=Φ,則A∪B=C有m+n個(gè)元素。C的r?組合個(gè)數(shù)為C<m+n,r>,而C的每個(gè)r?組合無非是先從A中取k個(gè)元素,再?gòu)腂中取出r-k個(gè)元素組成<k=0,1,…,r>。由乘法法則共有C<m,k>C<n,r-k>種取法,再由加法法則即可得證。應(yīng)用題1．一次宴會(huì),5位來賓寄存他們的帽子,在取帽子的時(shí)候有多少種可能使得沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？44種可能使得沒有一位來賓取回的是他自己的帽子。解：屬于重排問題,所求為。………〔6分2.對(duì)夫妻圍圓桌就座,要求每對(duì)夫妻不相鄰,問有多少種入座方式？2．用17100元錢買3支股票,不要求每支股票都買,但要求買A股錢數(shù)必須是200的倍數(shù),買B股錢數(shù)是400的倍數(shù),求有多少種買法？25種買法。解：此題等同于求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。方程通過換元可變?yōu)椋?其中為非負(fù)整數(shù),為非負(fù)偶數(shù),為非負(fù)的4的倍數(shù)的整數(shù)。由此構(gòu)造常生函數(shù)：所求為常生成函數(shù)的的系數(shù),化簡(jiǎn)生成函數(shù)為：,可求得公式得的系數(shù)為25。3．方程有多少滿足,,,的整數(shù)解？解進(jìn)行變量代換：,,,則方程變?yōu)樵匠虧M足條件的解的個(gè)數(shù)等于新方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。新方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為用四種顏色〔紅、藍(lán)、綠、黃涂染四臺(tái)儀器和。規(guī)定每臺(tái)儀器只能用一種顏色并任意兩臺(tái)儀器都不能相同。如果不允許用藍(lán)色和紅色,不允許用藍(lán)色和綠色,不允許用綠色和黃色,問有多上種染色方案？5．一個(gè)學(xué)生有37天用來準(zhǔn)備考試。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn),她知道她需要不超過60小時(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間。她還希望每天至少學(xué)習(xí)1小時(shí)。證明,無論她如何安排她的學(xué)習(xí)時(shí)間〔不過,每天都是整數(shù)個(gè)小時(shí),都存在連續(xù)的若干天,在此期間她恰好學(xué)習(xí)了13小時(shí)。證明設(shè)從第一天到第i天她共學(xué)習(xí)了小時(shí)。因?yàn)樗刻熘辽賹W(xué)習(xí)1小時(shí),所