高二數(shù)學(xué)（空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示）

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

1.平面向量基本定理是什么？

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.復(fù)習(xí)鞏固2.平面向量的坐標(biāo)表示的基本原理是什么？

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，若a＝xi＋yj，則把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).復(fù)習(xí)鞏固

若將向量a的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo).復(fù)習(xí)鞏固根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)不共線的向量a，b來表示，我們設(shè)想將這個(gè)原理類推到空間，并建立空間向量基本定理及其坐標(biāo)表示.引入課題空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示1、設(shè)a，b是空間不共線的兩個(gè)向量，對于空間任意一個(gè)向量p，能否用向量a，b線性表示嗎？OabP不能探求新知

2、設(shè)a，b，c是空間不共面的三個(gè)向量，作a，b，c，p，過點(diǎn)P作PM//CO，交平面AOB于點(diǎn)M，那么向量 能用向量，線性表示嗎？OABCPM＝xa＋yb

探求新知

3、向量與向量的位置關(guān)系如何？向量用向量如何表示？OABCPM探求新知

4、向量與，有什么關(guān)系？向量與，，有什么關(guān)系？OABCPM探求新知5、上述分析表明什么結(jié)論？如何用適當(dāng)?shù)恼Z言闡述？

若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.探求新知6、上述結(jié)論就是空間向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.那么空間任意三個(gè)向量都能構(gòu)成一個(gè)基底嗎？零向量能否作基向量？一個(gè)基底中的三個(gè)基向量是否要起點(diǎn)相同？探求新知7、以{a，b，c}為基底，空間所有向量組成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}

8、對于基底{a，b，c}，設(shè)p＝xa＋yb＋zc，當(dāng)x，y，z至少一個(gè)為0時(shí)，向量p的位置分別如何？探求新知9、若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個(gè)基底為單位正交基底，在哪些空間幾何圖形中能找到正交基底和單位正交基底？探求新知10、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的單位正交基底，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.對于空間任意一個(gè)向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎樣表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

探求新知11、若p＝xe1＋ye2＋ze3，則把x，y，z稱為向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z).對一個(gè)給定的向量p，其坐標(biāo)唯一嗎？相等向量的坐標(biāo)相等嗎？xyzOe2e1e3p探求新知若向量p＝(x，y，z)，作 p，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp探求新知

例1如圖，點(diǎn)M、N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，，表示和.POABCMNQ典例講評

例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是CD1，C1D1的中點(diǎn)，用基底 分別表示向量和.

BACDB1A1C1D1MN典例講評1.空間向量基本定理表明，空間任意一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量線性表示，并且基向量的系數(shù)是惟一的，它是平面向量基本定理的推廣，也是空間向量的合