《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第42課 常數(shù)項級數(shù)的斂散性

第42課常數(shù)項級數(shù)的斂散性課題常數(shù)項級數(shù)的斂散性課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．掌握正項級數(shù)的概念，及其審斂法2．掌握交錯級數(shù)的概念，及其審斂法3．掌握絕對收斂與條件收斂的概念，及其判定思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)常數(shù)項級數(shù)的斂散性，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點教學(xué)重點：正項級數(shù)的審斂法教學(xué)難點：比較審斂法教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（22min）→課堂測驗（10min）→課堂指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）什么是正項級數(shù)？（2）什么是交錯級數(shù)？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計好復(fù)習(xí)題目，并針對學(xué)生存在的問題及時講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】講解正項級數(shù)的概念，及其審斂法，并通過例題介紹其應(yīng)用定義1若級數(shù)的每一項均非負，即

，則稱級數(shù)為正項級數(shù)．定理1正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界．定理2（比較審斂法）設(shè)和都是正項級數(shù)，且．（1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散．正項級數(shù)的比較審斂法可形象地記為：若大的收斂，則小的收斂；若小的發(fā)散，則大的發(fā)散．例1討論級數(shù)例1的斂散性，其中常數(shù)．解當(dāng)時，．由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知，當(dāng)時，該級數(shù)是發(fā)散的．當(dāng)時，按順序把該級數(shù)的1項、2項、4項、8項……括在一起：．它的各項顯然小于下列級數(shù)的各項．，即，而此級數(shù)是等比級數(shù)，其公比，所以該級數(shù)收斂．從而根據(jù)正項級數(shù)比較審斂法可知，當(dāng)時級數(shù)收斂．綜上所述，對于級數(shù)，當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散．例2判別級數(shù)的斂散性．例2解因為，而級數(shù)

是發(fā)散的，所以根據(jù)比較審斂法可知級數(shù)也是發(fā)散的．定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)給定正項級數(shù)和．（1）若，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（2）若，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散．例3判別級數(shù)的斂散性．例3解因為，而級數(shù)發(fā)散，所以由定理3可知級數(shù)發(fā)散．例4判別級數(shù)的斂散性．例4解定理4（比值審斂法）設(shè)為正項級數(shù)，．（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（或）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．【教師】講解交錯級數(shù)的概念，及其審斂法，并通過例題介紹其應(yīng)用定義2若級數(shù)的各項符號正負相間，即，其中，則稱該級數(shù)為交錯級數(shù)．交錯級數(shù)的一般形式為，其中．下面給出交錯級數(shù)的一個重要的審斂法則．定理5（萊布尼茨定理）若交錯級數(shù)滿足下面兩個條件，則級數(shù)收斂，且其和．（1）；（2）．例5證明：級數(shù)收斂．例5證明此級數(shù)是交錯級數(shù)，且滿足，，由萊布尼茨定理知，級數(shù)是收斂的，且其和．【學(xué)生】掌握正項級數(shù)和交錯級數(shù)的概念及審斂法學(xué)習(xí)正項級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（22min）【教師】講解絕對收斂和條件收斂的概念，并通過例題介紹其判定方法定義3若級數(shù)各項的絕對值所組成的級數(shù)收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂．定義4若級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂．例如，級數(shù)是絕對收斂的，而級數(shù)是條件收斂的．定理6若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必收斂．例6判別級數(shù)的收斂性．例6解因為，而級數(shù)是收斂的，所以級數(shù)也收斂，從而級數(shù)絕對收斂．例7判斷下列級數(shù)是否收斂．若收斂，是絕對收斂例7（1）； （2）； （3）．解（1）為交錯級數(shù)，，．因為且，所以由萊布尼茨定理知原級數(shù)收斂．但由于發(fā)散，因此原級數(shù)條件收斂．（2）由于，而為收斂級數(shù)，因此原級數(shù)收斂，并且絕對收斂．（3）的通項為

．因為，，且，所以．根據(jù)萊布尼茨定理知，原級數(shù)收斂．又因為，而級數(shù)

發(fā)散，由比較審斂法知級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂．【學(xué)生】掌握絕對收斂與條件收斂的概念及判定學(xué)習(xí)絕對收斂和條件收斂的相關(guān)知識。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學(xué)上臺解答，為同學(xué)們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了正項級數(shù)的概念及其審斂法，交錯級數(shù)的概念及其審斂法，絕對收斂與條件收斂的概念及其判定，課后要多加練習(xí)，鞏固認知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題8-2總結(jié)知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺查看相關(guān)知識鏈接，完成課后任務(wù)延展知識面，多學(xué)科交叉