《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第1冊(cè)）（第2版）》（史旭東）教案 第三章教案 3.1函數(shù)的概念及表示法

課題函數(shù)的概念及其表示法課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解函數(shù)的定義；（2）理解函數(shù)值的概念及表示；（3）理解函數(shù)的三種表示方法；（4）掌握利用“描點(diǎn)法”作函數(shù)圖像的方法；（5）通過(guò)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；（6）通過(guò)函數(shù)值的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和計(jì)算工具使用技能；（7）會(huì)利用“描點(diǎn)法”作簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察能力和數(shù)學(xué)思維能力．思政育人目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生豐富知識(shí)和精湛技能的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“愛(ài)崗敬業(yè)、尊重平等、誠(chéng)信嚴(yán)謹(jǐn)、友善關(guān)愛(ài)、團(tuán)隊(duì)協(xié)作”的職業(yè)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)在課堂教學(xué)主渠道中全方位、全過(guò)程、全員立體化育人。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念；利用“描點(diǎn)法”描繪函數(shù)圖像．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)的概念及記號(hào)的理解；利用“描點(diǎn)法”描繪函數(shù)圖像．教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)理念（1）從復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)知識(shí)入手，做好銜接；（2）抓住兩個(gè)要素，突出特點(diǎn)，提升對(duì)函數(shù)概念的理解水平；（3）抓住函數(shù)值的理解與計(jì)算，為繪圖奠定基礎(chǔ)；（4）學(xué)習(xí)“描點(diǎn)法”作圖的步驟，通過(guò)實(shí)踐培養(yǎng)技能；（5）重視學(xué)生獨(dú)立思考與交流合作的能力培養(yǎng).教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：→→→問(wèn)題→傳授新知（15min）→→第2節(jié)課：→傳授新知（20min）→課堂練習(xí)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→作業(yè)布置（2min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家掃碼觀(guān)看“生活中的變量間關(guān)系“視頻，并預(yù)習(xí)有關(guān)函數(shù)的知識(shí)。生活中的變量間關(guān)系【學(xué)生】完成課前任務(wù)通過(guò)課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)本節(jié)課的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況新課預(yù)熱（5min）【教師】與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹本章內(nèi)容、考試要求、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽(tīng)、互動(dòng)【教師】介紹函數(shù)在生活實(shí)際中的作用我們?nèi)ド虉?chǎng)買(mǎi)東西時(shí)，應(yīng)付款會(huì)隨購(gòu)買(mǎi)物品的種類(lèi)和數(shù)量變化；我們坐車(chē)時(shí)，車(chē)費(fèi)會(huì)隨時(shí)間和路程的長(zhǎng)短發(fā)生變化；我們運(yùn)動(dòng)時(shí)，消耗的熱量會(huì)隨運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度和時(shí)間發(fā)生變化．這些相互依賴(lài)與制約的變量關(guān)系間存在著各種規(guī)律，理解并掌握這些規(guī)律，能夠?yàn)槲覀兊纳a(chǎn)和生活帶來(lái)便利與進(jìn)步，而函數(shù)就是幫助我們認(rèn)識(shí)這些規(guī)律、解鎖變量間關(guān)系的密鑰？【學(xué)生】聆聽(tīng)、記錄、理解通過(guò)老師自我介紹，與學(xué)生相互熟悉，并讓學(xué)生了解這章內(nèi)容的大致要求問(wèn)題導(dǎo)入（5min）【教師】提出以下問(wèn)題：2019年6月5日，我國(guó)首次在海上成功發(fā)射運(yùn)載火箭．火箭上升過(guò)程中，其離地高度會(huì)隨時(shí)間的變化而變化；火箭外的溫度和氣壓也會(huì)隨其離地高度的變化而變化．除這些以外，這個(gè)過(guò)程中還有很多存在相互影響，且其影響具有一定規(guī)律的變量，這些變量間的關(guān)系可以用什么來(lái)反映呢？【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、舉手回答通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（15min）【教師】通過(guò)學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解函數(shù)的概念【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問(wèn)題講解函數(shù)的概念事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中有許多運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象都可以表示為變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量也隨之變化，將這些變化用數(shù)學(xué)語(yǔ)言反映出來(lái)就是我們要研究的函數(shù)．設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，變量x的取值范圍是數(shù)集D，如果對(duì)于數(shù)集D內(nèi)的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么，就將y稱(chēng)為x的函數(shù)，記作，．其中，x稱(chēng)為自變量，x的取值范圍（即數(shù)集D）稱(chēng)為函數(shù)的定義域．當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作．例如，函數(shù)在處的函數(shù)值為．當(dāng)自變量x取遍定義域D中所有值時(shí)，所得到的函數(shù)值y的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域．與初中時(shí)學(xué)過(guò)的函數(shù)定義相比，該定義從集合的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則，更加完善，且更具有一般性．函數(shù)的定義中有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域．當(dāng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定以后，函數(shù)的值域也就隨之確定了，因此，我們將定義域和對(duì)應(yīng)法則稱(chēng)為確定一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵要素．可見(jiàn)，判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需要看它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則就可以了，也就是說(shuō)，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同，就認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)與表示的是同一個(gè)函數(shù)．在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)表示函數(shù)外，還常用，，，，，等符號(hào)表示函數(shù)．如果函數(shù)沒(méi)有明確給出其定義域，那么函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量可取的所有實(shí)數(shù)的集合．但在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，函數(shù)的定義域還要根據(jù)自變量的實(shí)際意義來(lái)確定．例如，圓的面積S是半徑r的函數(shù)，即．由實(shí)際意義可知，半徑，即函數(shù)的定義域?yàn)椋緦W(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例1例1； （2）； （3）解（1）由于自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)都有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，即．（2）要使函數(shù)有意義，必須使，解不等式得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?）要使函數(shù)有意義，必須使，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?設(shè)，求，，，例2解；；；．例3下列各函數(shù)與是不是同一個(gè)函數(shù)？為什么？例3（1）； （2）解（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，它們的定義域不同，因此不是同一個(gè)函數(shù)．（2）函數(shù)，它與函數(shù)的定義域相同，都是實(shí)數(shù)集R，對(duì)應(yīng)法則也相同，因此它們是同一個(gè)函數(shù)．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【頭腦風(fēng)暴】【教師】提出問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們收集并查閱函數(shù)形成和發(fā)展的相關(guān)資料，思考函數(shù)的概念是如何被不斷精煉和深化的．函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？與的意義相同嗎？【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、討論、回答【教師】總結(jié)學(xué)生的回答【學(xué)生】聆聽(tīng)、討論、理解、回答通過(guò)教師講解、課堂討論、舉例說(shuō)明等教學(xué)方式，使學(xué)生了解函數(shù)的概念課堂練習(xí)（10min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測(cè)（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：1．求下列函數(shù)的定義域．（1）； （2）．2．設(shè)，求，，，3．判斷下列函數(shù)與是否為同一函數(shù)，并說(shuō)明原因．（1）； （2）．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握情況糾錯(cuò)記憶（8min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助糾錯(cuò)（學(xué)困生回答）：下列關(guān)于集合的說(shuō)法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處并說(shuō)明原因．（1）函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)；（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，則值域一定相同；（3）在求函數(shù)定義域時(shí)，以下步驟是否正確要使函數(shù)有意義，必須使，解不等式得，即；所以函數(shù)的定義域?yàn)椋緦W(xué)生】聆聽(tīng)、思考、同桌討論，糾錯(cuò)【教師】與學(xué)生一起糾錯(cuò)，并進(jìn)行總結(jié)通過(guò)課堂討論，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)第二節(jié)課課前任務(wù)（5min）【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家回憶函數(shù)的兩要素，記憶函數(shù)定義域的幾種情況，并預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過(guò)課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)課程的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望問(wèn)題導(dǎo)入（5min）【教師】提出問(wèn)題：商場(chǎng)售賣(mài)某款衣服，一件50元，那么該如何清晰明了地反映出購(gòu)買(mǎi)這款衣服時(shí)的應(yīng)付款與購(gòu)買(mǎi)件數(shù)之間的關(guān)系呢？對(duì)于這種情況，只需要設(shè)應(yīng)付款為y（元），購(gòu)買(mǎi)件數(shù)為x（件），用就能夠清晰地反映出二者的關(guān)系．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、舉手回答通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（20min）【教師】通過(guò)學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解函數(shù)的解析法【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問(wèn)題講解函數(shù)的解析法像這樣，用等式來(lái)表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為解析法，這個(gè)等式稱(chēng)為函數(shù)的解析式．例如，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等都是用解析法來(lái)表示的函數(shù)．用解析法表示函數(shù)簡(jiǎn)單明了，容易根據(jù)自變量求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，但不夠直觀(guān)．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例1一輛火車(chē)駛出100km后開(kāi)始勻速行駛，行駛速度為200km/h，預(yù)計(jì)勻速行駛時(shí)間為4h，請(qǐng)列出該火車(chē)行駛的總路程s（km）與勻速行駛時(shí)間t（h例1解由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的解析式為，故用解析法表示該函數(shù)應(yīng)為，．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問(wèn)題講解函數(shù)表示的列表法某通信運(yùn)營(yíng)商推出了一款套餐，每月的前30min通話(huà)費(fèi)用為0.3元/min，30～60min通話(huà)費(fèi)用為0.2元/min，60min之后通話(huà)費(fèi)用為0.1元/min，每月基本消費(fèi)20元．為了方便顧客參考，工作人員將總通話(huà)費(fèi)用y與通話(huà)時(shí)間x（選取了不同的時(shí)間節(jié)點(diǎn)）之間的關(guān)系列成了表格，如表3-1所示．表3-1想一想，這樣的表示方法有何特點(diǎn)？像這樣，用表格來(lái)表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為列表法．列表法的優(yōu)點(diǎn)是容易查找與自變量相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，缺點(diǎn)是所列數(shù)據(jù)一般不完整．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【教師】根據(jù)知識(shí)的整體性拓展知識(shí)【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例2小明外出時(shí)叫了一輛出租車(chē)，出租車(chē)起步價(jià)為10元，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元/km，不足1km按1km收費(fèi)，總車(chē)費(fèi)為行駛里程數(shù)的函數(shù)．當(dāng)車(chē)輛行駛里程在5以?xún)?nèi)（含5km例2解．（1）根據(jù)題意可得函數(shù)的解析式為，故用解析法表示該函數(shù)應(yīng)為，．根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，分別計(jì)算出行駛1～5km時(shí)應(yīng)付的總車(chē)費(fèi)，列成表格，如表3-2所示．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【頭腦風(fēng)暴】【教師】提出問(wèn)題根據(jù)課本的生活中數(shù)學(xué)，你能用解析法表示每月通話(huà)60min之后的總通話(huà)費(fèi)用嗎？【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、討論、回答【教師】總結(jié)學(xué)生的回答【知識(shí)精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問(wèn)題講解函數(shù)表示的圖像法在醫(yī)院里，護(hù)理人員每天都要在相同的時(shí)間點(diǎn)測(cè)量住院患者的體溫，并將測(cè)得的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，將這些點(diǎn)連成曲線(xiàn)（見(jiàn)圖3-1），可體現(xiàn)出患者體溫隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，以供醫(yī)生參考，為醫(yī)生診斷病情提供依據(jù)．圖3-1觀(guān)察圖3-1，你能從中得出什么結(jié)論？這種表示患者體溫與時(shí)間之間關(guān)系的方法有何特點(diǎn)？圖3-1反映了患者體溫與時(shí)間之間的變化關(guān)系，每天相同的時(shí)間點(diǎn)都有唯一的體溫T與之相對(duì)應(yīng)．像這樣，用圖像來(lái)表示兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的方法稱(chēng)為圖像法．圖像法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀(guān)形象地展現(xiàn)出函數(shù)的變化情況．為了研究函數(shù)的某些性質(zhì)，往往要畫(huà)出函數(shù)的圖像，以便觀(guān)察函數(shù)的變化趨勢(shì)和它自身的一些特點(diǎn)．若已知函數(shù)的解析式，則可以通過(guò)描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像，具體步驟如下．（1）確定函數(shù)的定義域．（2）選取若干具有代表性的自變量x的值．（3）以自變量x的值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)．（4）根據(jù)函數(shù)的具體情況確定是否需要將描出的點(diǎn)連接成光滑的曲線(xiàn)．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、記憶【教師】根據(jù)知識(shí)的整體性拓展知識(shí)【頭腦風(fēng)暴】【教師】提出問(wèn)題生活中還有哪些函數(shù)關(guān)系適合用圖像法來(lái)表示？什么樣的函數(shù)需要將點(diǎn)連接成光滑的曲線(xiàn)？什么樣的函數(shù)不需要？請(qǐng)舉例【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、討論、回答【教師】總結(jié)學(xué)生的回答【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識(shí)點(diǎn)講解例題例3商店銷(xiāo)售某種筆，每支售價(jià)為2.5元，應(yīng)付款是購(gòu)買(mǎi)支數(shù)的函數(shù)，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)支數(shù)在5支以?xún)?nèi)（含5例3解（2）以表3-3中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在如圖3-2所示的直角坐標(biāo)系中依次描出點(diǎn)，，，，，即為該函數(shù)的圖像．圖3-2例4用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像，并判斷點(diǎn)是否位于該圖像上．例4解（1）確定定義域：要使函數(shù)有意義，必須保證，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?）列出表格，如表3-4所示．（3）作圖：以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后用光滑的曲線(xiàn)依次連接這些點(diǎn)，便得到了該函數(shù)的圖像，如圖3-3所示．圖3-3（4）判斷：由于，所以點(diǎn)位于該圖像上?！緦W(xué)生】聆聽(tīng)、討論、理解、回答通過(guò)教師講解、課堂討論、舉例說(shuō)明等教學(xué)方式，使學(xué)生掌握函數(shù)的三種表示方法課堂練習(xí)（10min）【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行同桌互助自測(cè)（學(xué)困生上黑板驗(yàn)算）：超市里瓜子的價(jià)格是16元/kg，應(yīng)付款y（元）是購(gòu)買(mǎi)瓜子重量x（kg）的函數(shù)，請(qǐng)分別用解析法和圖像法表示這個(gè)函數(shù)．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、同桌討論，糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？（1）本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？（2）通過(guò)本次課的學(xué)習(xí)，你會(huì)解決哪些新問(wèn)題了？（3）在學(xué)習(xí)方法上有哪些體