2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)八年級(jí)(下)期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本題共30分，每小題3分)第1—10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥02．（3分）如圖，在?ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．20° D．15°3．（3分）下列各式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列線段a，b，c組成的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝1，c＝5．（3分）在一次學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的20名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆撼煽?jī)/m1.551.601.651.701.751.80人數(shù)143462這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)是（）A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.806．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB邊的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．7．（3分）下列命題中，正確的是（）A．有一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形8．（3分）學(xué)校組織?？萍脊?jié)報(bào)名，每位學(xué)生最多能報(bào)3個(gè)項(xiàng)目．下表是某班30名學(xué)生報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)0123人數(shù)514ab其中報(bào)名2個(gè)項(xiàng)目和3個(gè)項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)還未統(tǒng)計(jì)完畢．無(wú)論這個(gè)班報(bào)名2個(gè)項(xiàng)目和3個(gè)項(xiàng)目的學(xué)生各有多少人，下列關(guān)于報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）A．中位數(shù)，眾數(shù) B．平均數(shù)，方差 C．平均數(shù)，眾數(shù) D．眾數(shù)，方差9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），頂點(diǎn)B，C在第一象限，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）10．（3分）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB→BD→DA勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A后停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段AP的長(zhǎng)為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則?ABCD的面積為（）A．24 B．10 C．12 D．36二、填空題(本題共21分，第11~15題每小題3分，第16~18題每小題3分)11．（3分）計(jì)算：（）2＝．12．（3分）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．13．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)是cm．14．（3分）已知n是正整數(shù)，且也是正整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的n的值：n＝．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，EF平分∠AEC交BC于點(diǎn)F．若AD＝7，AE＝CD＝3，則BF的長(zhǎng)為．16．（2分）用4張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個(gè)大小不同的正方形．若正方形ABCD的面積為10，AH＝3，則正方形EFGH的面積為．17．（2分）為了滿足不同顧客對(duì)保溫時(shí)效的要求，保溫杯生產(chǎn)廠家研發(fā)了甲、乙兩款保溫杯．現(xiàn)從甲、乙兩款中各隨機(jī)抽取了5個(gè)保溫杯，測(cè)得保溫時(shí)效（單位：h）如表：甲組1112131415乙組x6758如果甲、乙兩款保溫杯保溫時(shí)效的方差是相等的，那么x＝．18．（2分）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，△DAC是等邊三角形，四邊形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝°；（2）點(diǎn)P是線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，則PB+PC的最小值為．三、解答題(本題共49分，第19~25題每小題6分，第26題7分)19．（6分）計(jì)算：（1）3×；（2）+÷．20．（6分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，BE＝DF，EF與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)O．求證：OE＝OF．21．（6分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）圖中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：AC＝ED；（2）如圖2，當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，①四邊形ADCE的形狀是；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）②若AB＝10，ED＝8，則四邊形ADCE的面積為．23．（6分）對(duì)于函數(shù)y＝|x﹣1|，小蕓探究了該函數(shù)的部分性質(zhì)，下面是小蕓的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）①對(duì)于函數(shù)y＝|x﹣1|，當(dāng)x≤1時(shí)，y＝﹣x+1；當(dāng)x＞1時(shí)，y＝；②當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象；（2）當(dāng)y＝3時(shí)，x＝；（3）若點(diǎn)A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象上，且y2＞y1，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x2的取值范圍．24．（6分）某校七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生人數(shù)都是200人，學(xué)校想了解這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的閱讀情況，分別從每個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收集了這80名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．七、八年級(jí)各抽取的40名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)圖（不完整）如圖（兩個(gè)年級(jí)的數(shù)據(jù)都分成6組：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．b．八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)在6≤x＜8這一組的數(shù)據(jù)是：66666.56.577777.57.5．c．七、八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)6.22577八年級(jí)6.375m8根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）圖1中p%＝%；（2）①補(bǔ)全八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；②上表中m的值為．（3）將收集的這80名學(xué)生的數(shù)據(jù)分年級(jí)由大到小進(jìn)行排序，其中有一名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)是6.5小時(shí)，排在本年級(jí)的前20名，由此可以推斷他是年級(jí)的學(xué)生；（填“七”或“八”）（4）估計(jì)兩個(gè)年級(jí)共400名學(xué)生中，一周閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于8小時(shí)的人數(shù)．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，作射線OB．給出如下定義：如果點(diǎn)P在∠BOA的內(nèi)部過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，那么稱PM與PN的長(zhǎng)度之和為點(diǎn)P關(guān)于∠BOA的“內(nèi)距離”，記作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．（1）如圖1，若點(diǎn)P（3，2）在∠BOA的平分線上，則PM＝，PN＝，d（P，∠BOA）＝；（2）如圖2，若∠BOA＝75°，點(diǎn)C（a，a）（其中a＞0）滿足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；（3）若∠BOA＝60°，點(diǎn)Q（m，n）在∠BOA的內(nèi)部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接寫出結(jié)果．26．（7分）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足OB＞OA．點(diǎn)C在線段OA的延長(zhǎng)線上，且AC＝OB．（1）如圖1，CD∥OB，CD＝OA，連接AD，BD；①△AOB與△全等，∠OBA+∠ADC＝°；②若OA＝a，OB＝b，則BD＝；（用含a，b的式子表示）（2）如圖2，在線段BO上截取BE，使BE＝OA，連接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，β的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．四、填空題(本題6分)27．（6分）在學(xué)習(xí)二次根式的過(guò)程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無(wú)理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系：例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1與﹣1互為倒數(shù)，即＝﹣1，＝+1．類似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）＝，＝；（n為正整數(shù)）（2）若＝2﹣m，則m＝；（3）計(jì)算：＝．五、解答題(本題共14分，第28題6分，第29題8分)28．（6分）如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），點(diǎn)P，Q，M分別是AD，CD，CE的中點(diǎn)．（1）求∠PQM的度數(shù)；（用含α的式子表示）（2）若點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，連接NM，NP，PM，求證：△PNM是等邊三角形．29．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），我們將|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|稱為點(diǎn)M與點(diǎn)N的“縱2倍直角距離”，記作dMN．例如：點(diǎn)M（﹣2，7）與N（5，6）的“縱2倍直角距離”dMN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9．（1）①已知點(diǎn)P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），則在這三個(gè)點(diǎn)中，與原點(diǎn)O的“縱2倍直角距離”等于3的點(diǎn)是；②已知點(diǎn)P（x，y），其中y≥0．若點(diǎn)P與原點(diǎn)O的“縱2倍直角距離”dPO＝3，請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出所有滿足條件的點(diǎn)P組成的圖形．（2）若直線y＝2x+b上恰好有兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O的“縱2倍直角距離”等于3，求b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A（1，1），B（3，1），點(diǎn)T（t，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，正方形CDEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為C（t﹣，0），D（t，），E（t+，0），F(xiàn)（t，﹣）．若線段AB上存在點(diǎn)G，正方形CDEF上存在點(diǎn)H，使得dGH＝5，直接寫出t的取值范圍．

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本題共30分，每小題3分)第1—10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0【解答】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣4≥0，解得：x≥4．故選：B．2．（3分）如圖，在?ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．20° D．15°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠A＝70°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故選：C．3．（3分）下列各式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式；B、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；C、＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；D、＝10，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：A．4．（3分）下列線段a，b，c組成的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝1，c＝【解答】解：A、12+22≠22，故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、22+32≠42，故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、32+42≠62，故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、12+12＝（）2，故能構(gòu)成直角三角形，符合題意．故選：D．5．（3分）在一次學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的20名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆撼煽?jī)/m1.551.601.651.701.751.80人數(shù)143462這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)是（）A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80【解答】解：這組數(shù)據(jù)中1.75米出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．故選：C．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB邊的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，則由勾股定理知：AB＝＝＝，又∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝．故選：C．7．（3分）下列命題中，正確的是（）A．有一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形【解答】解：A、有一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、有兩個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，例如直角梯形，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．8．（3分）學(xué)校組織校科技節(jié)報(bào)名，每位學(xué)生最多能報(bào)3個(gè)項(xiàng)目．下表是某班30名學(xué)生報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)0123人數(shù)514ab其中報(bào)名2個(gè)項(xiàng)目和3個(gè)項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)還未統(tǒng)計(jì)完畢．無(wú)論這個(gè)班報(bào)名2個(gè)項(xiàng)目和3個(gè)項(xiàng)目的學(xué)生各有多少人，下列關(guān)于報(bào)名項(xiàng)目個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）A．中位數(shù)，眾數(shù) B．平均數(shù)，方差 C．平均數(shù)，眾數(shù) D．眾數(shù)，方差【解答】解：∵共有30名學(xué)生報(bào)名這3個(gè)項(xiàng)目，把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第15、16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則不報(bào)的和報(bào)1個(gè)的就有19人了，所以中位數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，因?yàn)閳?bào)2個(gè)項(xiàng)目和3個(gè)項(xiàng)目的一共有11人，而報(bào)1個(gè)項(xiàng)目的就有14人，所以眾數(shù)也不會(huì)發(fā)生改變．故選：A．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），頂點(diǎn)B，C在第一象限，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）【解答】解：延長(zhǎng)BC交x軸于H，∵菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，∴∠BHO＝∠AOH＝90°，∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，∴CH＝1，BH＝3，∴OH＝＝＝，∴點(diǎn)B（，3），故選：D．10．（3分）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB→BD→DA勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A后停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段AP的長(zhǎng)為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則?ABCD的面積為（）A．24 B．10 C．12 D．36【解答】解：在圖1中，作BE⊥AD，垂足為E，在圖2中，取M（6，6），N（12，10），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2中OM線段，得AB＝x＝6，當(dāng)點(diǎn)P從B到D時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2中曲線MN從點(diǎn)M到點(diǎn)N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)D時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2中到達(dá)點(diǎn)N，得AD＝AP＝y(tǒng)＝8＝10，在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，解得AE＝5，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，BE2+AE2＝AB2，解得BE＝，∴?ABCD的面積＝AD×BE＝10×＝10，故選：B．二、填空題(本題共21分，第11~15題每小題3分，第16~18題每小題3分)11．（3分）計(jì)算：（）2＝7．【解答】解：原式＝7，故答案為：7．12．（3分）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AC2＝AB2+BC2，∴18＝2AB2，∴AB＝3，故答案為3．13．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)是10cm．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BO＝DO，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴AD＝2OE，∵OE＝5cm，∴AD＝10cm．故答案為：10．14．（3分）已知n是正整數(shù)，且也是正整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的n的值：n＝2．【解答】解：∵n是正整數(shù)，且也是正整數(shù)，∴18﹣n是一個(gè)完全平方數(shù)，∵18﹣n≥0，解得：n≤18，∴0＜n≤18，則18﹣n＝12，解得：n＝17，或18﹣n＝22，解得：n＝14，或18﹣n＝32，解得：n＝9，或18﹣n＝42，解得：n＝2，當(dāng)18﹣n＝52時(shí)，解得：n＝﹣7，不符合n的范圍．故答案為：2或9或14或17（只填一個(gè)即可）．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，EF平分∠AEC交BC于點(diǎn)F．若AD＝7，AE＝CD＝3，則BF的長(zhǎng)為2．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝7，∴∠AEF＝∠EFC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵AD＝7，AE＝CD＝3，∴DE＝4，∴EC＝＝＝5，∴FC＝5，∴BF＝2，故答案為2．16．（2分）用4張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個(gè)大小不同的正方形．若正方形ABCD的面積為10，AH＝3，則正方形EFGH的面積為4．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面積＝HG2＝4，故答案為：4．17．（2分）為了滿足不同顧客對(duì)保溫時(shí)效的要求，保溫杯生產(chǎn)廠家研發(fā)了甲、乙兩款保溫杯．現(xiàn)從甲、乙兩款中各隨機(jī)抽取了5個(gè)保溫杯，測(cè)得保溫時(shí)效（單位：h）如表：甲組1112131415乙組x6758如果甲、乙兩款保溫杯保溫時(shí)效的方差是相等的，那么x＝4或9．【解答】解：甲組的平均數(shù)是×（11+12+13+14+15）＝13（h），則甲的方差S2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，乙組的平均數(shù)為＝（h），乙的方差為：[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]，由題意得[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]＝2，解得x＝4或x＝9，故答案為：4或9．18．（2分）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，△DAC是等邊三角形，四邊形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝15°；（2）點(diǎn)P是線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，則PB+PC的最小值為．【解答】解：（1）∵△DAC是等邊三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∠EDC＝90°，∴△ADE是等腰三角形，∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案為15°；（2）作C點(diǎn)關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B與AE交點(diǎn)為P，∴PB+PC＝BC'，∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，∴∠GAC＝45°，∵AG⊥CG，∴∠DCA＝45°，∵AC＝2，∴GC＝，∴CC'＝2，過(guò)C'作C'H⊥AC，則△C'CH為等腰直角三角形，∴C'H＝2，∴H與A重合，∴C'A⊥AC，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，∴BC'＝，∴PB+PC的最小值為，故答案為．三、解答題(本題共49分，第19~25題每小題6分，第26題7分)19．（6分）計(jì)算：（1）3×；（2）+÷．【解答】解：（1）原式＝3＝6；（2）原式＝3+＝3+＝4．20．（6分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，BE＝DF，EF與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)O．求證：OE＝OF．【解答】證明：如圖，連接AF，CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴OE＝OF．21．（6分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）圖中DE＝1尺，EB＝5尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【解答】解：（1）由題意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；故答案為：1，5；（2）設(shè)蘆葦長(zhǎng)DC＝BC＝x尺，則水深EC＝（x﹣1）尺，在Rt△ECB中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，則EC＝13﹣1＝12（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺．22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：AC＝ED；（2）如圖2，當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，①四邊形ADCE的形狀是菱形；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）②若AB＝10，ED＝8，則四邊形ADCE的面積為24．【解答】（1）證明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BD，∴四邊形ADCE是菱形，故答案為菱形；②∵四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四邊形ECBD是平行四邊形，∴DE＝BC＝8，∵AB＝10，∴AC＝＝＝6，∴四邊形ADCE的面積為＝＝24．故答案為24．23．（6分）對(duì)于函數(shù)y＝|x﹣1|，小蕓探究了該函數(shù)的部分性質(zhì)，下面是小蕓的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）①對(duì)于函數(shù)y＝|x﹣1|，當(dāng)x≤1時(shí)，y＝﹣x+1；當(dāng)x＞1時(shí)，y＝x﹣1；②當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象；（2）當(dāng)y＝3時(shí)，x＝﹣2或4；（3）若點(diǎn)A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象上，且y2＞y1，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x2的取值范圍．【解答】解：（1）①對(duì)于函數(shù)y＝|x﹣1|，當(dāng)x≤1時(shí)，y＝﹣x+1；當(dāng)x＞1時(shí)，y＝x﹣1；故答案為：x﹣1；②函數(shù)圖象如圖所示；（2）把y＝3代入y＝﹣x+1求得x＝﹣2，把y＝3代入y＝x﹣1求得x＝4，∴當(dāng)y＝3時(shí)，x＝﹣2或4，故答案為﹣2或4；（3）∵函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴x＝﹣1和x＝3時(shí)的函數(shù)值相同，觀察圖象，當(dāng)y2＞y1時(shí)，x2＜﹣1或x2＞3．24．（6分）某校七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生人數(shù)都是200人，學(xué)校想了解這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的閱讀情況，分別從每個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收集了這80名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．七、八年級(jí)各抽取的40名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)圖（不完整）如圖（兩個(gè)年級(jí)的數(shù)據(jù)都分成6組：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．b．八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)在6≤x＜8這一組的數(shù)據(jù)是：66666.56.577777.57.5．c．七、八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)6.22577八年級(jí)6.375m8根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）圖1中p%＝10%；（2）①補(bǔ)全八年級(jí)學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)圖（圖2）；②上表中m的值為6.25．（3）將收集的這80名學(xué)生的數(shù)據(jù)分年級(jí)由大到小進(jìn)行排序，其中有一名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)是6.5小時(shí)，排在本年級(jí)的前20名，由此可以推斷他是八年級(jí)的學(xué)生；（填“七”或“八”）（4）估計(jì)兩個(gè)年級(jí)共400名學(xué)生中，一周閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于8小時(shí)的人數(shù)．【解答】解：（1）圖1中p%＝1﹣（5%+22.5%+27.5%+30%+5%）＝10%，即p＝10，故答案為：10；（2）①4≤x＜6的人數(shù)為40﹣（5+12+10+2）＝11（人），補(bǔ)全圖形如下：②由題意知，這組數(shù)據(jù)的第20、21個(gè)數(shù)據(jù)為6、6.5，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)m＝＝6.25，故答案為：6.25；（3）∵這名學(xué)生一周閱讀時(shí)長(zhǎng)是6.5小時(shí)，大于八年級(jí)閱讀時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)6.25小時(shí)，而小于七年級(jí)閱讀時(shí)長(zhǎng)7小時(shí)，∴可以推斷他是八年級(jí)的學(xué)生，故答案為：八．（4）一周閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于8小時(shí)的人數(shù)為200×（30%+5%）+200×＝130（人）．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，作射線OB．給出如下定義：如果點(diǎn)P在∠BOA的內(nèi)部過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，那么稱PM與PN的長(zhǎng)度之和為點(diǎn)P關(guān)于∠BOA的“內(nèi)距離”，記作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．（1）如圖1，若點(diǎn)P（3，2）在∠BOA的平分線上，則PM＝2，PN＝2，d（P，∠BOA）＝4；（2）如圖2，若∠BOA＝75°，點(diǎn)C（a，a）（其中a＞0）滿足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；（3）若∠BOA＝60°，點(diǎn)Q（m，n）在∠BOA的內(nèi)部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接寫出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1中，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM＝PN，∵P（3，2），∴PM＝PN＝2，∴d（P，∠BOA）＝2+2＝4，故答案為：2，2，4．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．∵C（a，a），∴EC＝OE＝a，OC＝a，∴∠EOC＝45°，∵∠AOB＝75°，∴∠COF＝75°﹣45°＝30°，∵CF⊥OB，∴CF＝OC＝a，∵d（C，∠BOA）＝2+，∴a+a＝2+，∴a＝2．（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，延長(zhǎng)FQ交x軸于J．∵Q（m，n），∴QE＝n，OE＝m，∵∠JFO＝90°，∠FOJ＝60°，∴∠QJE＝30°，∵∠QEJ＝90°，∴QJ＝2QE＝2n，EJ＝EQ＝n，∴OJ＝OE+EJ＝m+n，∴FJ＝OJ?cos30°＝（m+n）?＝m+n，∴FQ＝FJ﹣QJ＝m+n﹣2n＝m﹣n，∴d（Q，∠BOA）＝QE+QF＝n+m﹣n＝m+n．26．（7分）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足OB＞OA．點(diǎn)C在線段OA的延長(zhǎng)線上，且AC＝OB．（1）如圖1，CD∥OB，CD＝OA，連接AD，BD；①△AOB與△DCA全等，∠OBA+∠ADC＝90°；②若OA＝a，OB＝b，則BD＝（a+b）；（用含a，b的式子表示）（2）如圖2，在線段BO上截取BE，使BE＝OA，連接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，β的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①∵CD∥OB，∴∠AOB＝∠DCA＝90°，在△AOB和△DCA中，，∴△AOB≌△DCA（SAS），∴∠ABO＝∠CAD，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠ABO+∠ADC＝90°，故答案為：DCA，90．②如圖1中，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥BO交BO的延長(zhǎng)線于R．∵△AOB≌△DCA，∴OA＝CD＝a，OB＝AC＝b，∵∠R＝∠ROC＝∠DCO＝90°，∴四邊形OCDR是矩形，∴OR＝CD＝a，DR＝OC＝a+b，∴RB＝a+b，∴BD＝＝＝（a+b）．故答案為：（a+b）．（2）β的大小不變，β＝45°．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作CW⊥AC，使得CW＝OA．在△AOB和△WCA中，，∴△AOB≌△WCA（SAS），∴AB＝AW，∠ABO＝∠CAW，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO+∠CAW＝90°，∴∠BAW＝90°，∴∠AWB＝45°，∵BE＝OA，CW＝OA，∴BE＝CW，∵CW∥OB，∴四邊形BECW是平行四邊形，∴EC∥BW，∴∠CJW＝∠AWB＝45°，∵∠CJW＝∠CAW+∠ECO，∠CAW＝∠ABO，∴β＝∠ABO+∠ECO＝45°，四、填空題(本題6分)27．（6分）在學(xué)習(xí)二次根式的過(guò)程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無(wú)理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系：例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1與﹣1互為倒數(shù)，即＝﹣1，＝+1．類似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）＝﹣，＝﹣；（n為正整數(shù)）（2）若＝2﹣m，則m＝±；（3）計(jì)算：＝9．【解答】解：（1）（1）＝﹣，＝﹣；（n為正整數(shù)）故答案為﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，解得m＝±；故答案為±；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+???+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案為9．五、解答題(本題共14分，第28題6分，第29題8分)28．（6分）如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），點(diǎn)P，Q，M分別是AD，CD，CE的中點(diǎn)．（1）求∠PQM的度數(shù)；（用含α的式子表示）（2）若點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，連接NM，NP，PM，求證：△PNM是等邊三角形．【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，∵點(diǎn)P，Q，M分別是AD，CD，CE的中點(diǎn)．∴PQ∥AC，QM∥DE，∴∠ACD+∠PQC＝180°，∠CQM＝∠CDE＝60°，∠ACD＝∠PQD＝α，∴∠PQC＝180°﹣α，∴∠PQM＝∠PQC+∠CQM＝240°﹣α；（2）如圖，取AC的中點(diǎn)，H，連接PH，NH，∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB，CD＝DE＝CE，