2022-2023學年甘肅省酒泉市普通高中高一下學期期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1甘肅省酒泉市普通高中2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴z=，故選C.2.對于非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則的夾角為銳角〖答案〗C〖解析〗A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B錯誤；C：非零向量，，故C正確；D：若，則的夾角為銳角或0，故D錯誤．故選C．3.求值：（）A.0 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故選：4.關于數學建模的認識：①數學建模活動是對現實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程；②數學建模過程主要包括：問題描述、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應用；③數學建模作為連接數學與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現有方法求解的合理數學模型是解決實際問題的關鍵步驟之一；④按照數學建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗.以上說法正確的是（）A.② B.①② C.①②③ D.①②③④〖答案〗D〖解析〗對于①，數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程，正確，對于②，數學建模過程主要包括：問題描述、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應用，正確，對于③，數學建模作為連接數學與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現有方法求解的合理數學模型是解決實際問題的關鍵步驟之一，正確，對于④，按照數學建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗，正確，故選：D5.給出下列四個命題，其中正確的命題是（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗C〖解析〗對于①，由平行線的傳遞性可知，平行于同一直線的兩條直線平行，①對；對于②③，如下圖所示：在正方體中，平面，平面，但與相交，②錯，平面，平面，但平面與平面相交，③錯；對于④，由面面平行的性質可知，平行于同一平面的兩個平面平行，④對.故選：C.6.在中，若，則一定是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形〖答案〗D〖解析〗由及余弦定理得：，即.故選：D7.“哥德巴赫猜想”被譽為數學皇冠上的一顆明珠，是數學界尚未解決的三大難題之一．其內容是：“任意一一個大于2的偶數都可以寫成兩個素數（質數）之和．”若我們將10拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，在加數都大于2的條件下，兩個加數均為素數的概率是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“兩個加數都大于2”為事件A，“兩個加數都為素數”為事件B，在加數都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列結論正確的是（）A.B.為銳角三角形C.若，則的面積是D.若外接圓半徑是R，內切圓半徑為r，則〖答案〗D〖解析〗設則對于故錯誤；對于角為鈍角，故錯誤；對于若，則所以面積故錯誤；對于由正弦定理的周長所以內切圓半徑故正確.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各對事件中，為相互獨立事件的是（）A.擲一枚骰子一次，事件M“出現偶數點”；事件N“出現3點或6點”B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲?乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”〖答案〗ABD〖解析〗在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨立，A正確.在B中，根據事件的特點易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產生影響，因此不是相互獨立事件，C錯誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立事件，D正確.故選：ABD.10.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為〖答案〗AC〖解析〗過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.11.下列選項中，與值相等的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，對于A，，故A符合題意；對于B，，故B符合題意；對于C，，故C符合題意：對于D，，故D不符合題意．故選：ABC．12.如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則下列結論正確的是（）A.直線與是異面直線B.直線與是平行直線C.三棱柱的外接球的表面積為D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，因為平面，平面，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，A對；對于B選項，假設直線與是平行直線，則、、、四點共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為，所以，，這與矛盾，假設不成立，故與不平行，B錯；對于C選項，正方體的外接球半徑為，即三棱柱的外接球的半徑為，該球的表面積為，C錯；對于D選項，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，且，故且，故、、、四點共面，所以，平面截正方體所得截面圖形為梯形，由勾股定理可得，同理可得，故梯形為等腰梯形，過點、分別在平面內作，，垂足分別為點、，在和中，，，，所以，，所以，，在梯形內，因為，，，所以，四邊形為矩形，故，所以，，故，所以，梯形的面積為，故平面截正方體所得的截面面積為，D對.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，則方程的解為_________.〖答案〗〖解析〗設（為虛數單位），則可化為，即，則，解得：，因此.故〖答案〗為：.14.若一個圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則此圓錐的高為______.〖答案〗4〖解析〗設圓錐的高為，底面圓的半徑為，因為圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，所以，解得.故〖答案〗為：415.如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點均在平面的同側.正方體上與頂點A相鄰的三個頂點B，D，到平面的距離分別為1，2，4，則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為B，D，到平面距離分別為1，2，4，所以的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為則到平面的距離為則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為故〖答案〗為：16.趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點M為的中點，點P是內（含邊界）一點，且，則的最大值為__________.〖答案〗2〖解析〗由得：，又M為的中點，所以，所以，過A作的平行線交于點Q，當P與Q重合時，的值最大.因為M為的中點，且，所以D為的中點，此時，所以的最大值為2.故〖答案〗為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，（）（1）若向量與垂直，求實數的值（2）當為何值時，向量與平行.解：（1）由已知可得，因為向量與垂直，所以，解得；（2），因為與平行，所以，解得，所以當時，向量與平行18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標分別為，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點A，B，且點A，B的橫坐標分別為，，顯然，點A在第一象限，點B在第二象限，則點A，B的縱坐標分別為，，由已知及三角函數定義得，，而，，所以；（2）由（1）得，，所以的值是.19.在復平面內，正方形的兩個頂點、對應的復數分別為、，求另外兩個頂點、對應的復數.解：由復數的幾何意義可得，設點對應的復數為，點對應的復數為，因為四邊形為正方形，則，，且，易知點、、、，，，則，，所以，，解得或，又因為，即，所以，，可得，當時，；當時，.所以，①頂點對應的復數為，頂點對應的復數為；②頂點對應的復數為，頂點對應的復數為.20.如圖，已知點是正方形所在平面外一點，平面，，、、分別是、、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：直線平面；（3）求直線與平面所成的角.（1）證明：取的中點，連接、，如下圖所示：因為、分別為、的中點，則且，因為四邊形為正方形，則且，因為為的中點，則且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面平面，所以，平面.（2）證明：因為平面，平面，則，因為四邊形為正方形，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，為的中點，則，因為，、平面，因此，平面.（3）解：因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，所以，與平面所成角為，因為，，則為等腰直角三角形，且，因此，直線與平面所成的角為.21.為了促進學生全面發(fā)展，某市教育局要求本市所有學校重視社團文化建設，2020年該市某中學的某新生想通過考核選撥進入該校的“電影社”和“心理社”，已知該同學過考核選撥進入這兩個社團成功與否相互獨立.根據報名情況和他本人的才藝能力，該同學分別進入“電影社”的概率和“心理社”的概率和，假設至少進入一個社團的概率為.（1）求該同學進入心理社的概率；（2）學校根據這兩個社團的活動安排情況，對進入“電影社”的同學增加1個校本選修課學分，對進入“心理社”的同學增加0.5個校本選修課學分，求該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率.解：（1）由題意可知，，解得.（2）令該同學在社團方面獲得校本選修課加分分數為，則，，所以該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率為.22.已知函數.（1）若，求函數的值域；（2）設三角形中，內角、、所對邊分別為、、，已知，且銳角滿足，求的取值范圍.解：（1），當時，，則，故，當時，函數的值域為.（2）因為，可得，因為，則，所以，，解得，因為，由余弦定理可得，可得，當且僅當時，等號成立，又因為，故，故的取值范圍是.甘肅省酒泉市普通高中2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴z=，故選C.2.對于非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則的夾角為銳角〖答案〗C〖解析〗A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B錯誤；C：非零向量，，故C正確；D：若，則的夾角為銳角或0，故D錯誤．故選C．3.求值：（）A.0 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故選：4.關于數學建模的認識：①數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程；②數學建模過程主要包括：問題描述、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應用；③數學建模作為連接數學與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現有方法求解的合理數學模型是解決實際問題的關鍵步驟之一；④按照數學建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗.以上說法正確的是（）A.② B.①② C.①②③ D.①②③④〖答案〗D〖解析〗對于①，數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程，正確，對于②，數學建模過程主要包括：問題描述、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應用，正確，對于③，數學建模作為連接數學與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現有方法求解的合理數學模型是解決實際問題的關鍵步驟之一，正確，對于④，按照數學建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗，正確，故選：D5.給出下列四個命題，其中正確的命題是（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗C〖解析〗對于①，由平行線的傳遞性可知，平行于同一直線的兩條直線平行，①對；對于②③，如下圖所示：在正方體中，平面，平面，但與相交，②錯，平面，平面，但平面與平面相交，③錯；對于④，由面面平行的性質可知，平行于同一平面的兩個平面平行，④對.故選：C.6.在中，若，則一定是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形〖答案〗D〖解析〗由及余弦定理得：，即.故選：D7.“哥德巴赫猜想”被譽為數學皇冠上的一顆明珠，是數學界尚未解決的三大難題之一．其內容是：“任意一一個大于2的偶數都可以寫成兩個素數（質數）之和．”若我們將10拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，在加數都大于2的條件下，兩個加數均為素數的概率是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記“兩個加數都大于2”為事件A，“兩個加數都為素數”為事件B，在加數都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列結論正確的是（）A.B.為銳角三角形C.若，則的面積是D.若外接圓半徑是R，內切圓半徑為r，則〖答案〗D〖解析〗設則對于故錯誤；對于角為鈍角，故錯誤；對于若，則所以面積故錯誤；對于由正弦定理的周長所以內切圓半徑故正確.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各對事件中，為相互獨立事件的是（）A.擲一枚骰子一次，事件M“出現偶數點”；事件N“出現3點或6點”B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲?乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”〖答案〗ABD〖解析〗在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨立，A正確.在B中，根據事件的特點易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產生影響，因此不是相互獨立事件，C錯誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立事件，D正確.故選：ABD.10.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為〖答案〗AC〖解析〗過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.11.下列選項中，與值相等的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，對于A，，故A符合題意；對于B，，故B符合題意；對于C，，故C符合題意：對于D，，故D不符合題意．故選：ABC．12.如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則下列結論正確的是（）A.直線與是異面直線B.直線與是平行直線C.三棱柱的外接球的表面積為D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，因為平面，平面，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，A對；對于B選項，假設直線與是平行直線，則、、、四點共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為，所以，，這與矛盾，假設不成立，故與不平行，B錯；對于C選項，正方體的外接球半徑為，即三棱柱的外接球的半徑為，該球的表面積為，C錯；對于D選項，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，且，故且，故、、、四點共面，所以，平面截正方體所得截面圖形為梯形，由勾股定理可得，同理可得，故梯形為等腰梯形，過點、分別在平面內作，，垂足分別為點、，在和中，，，，所以，，所以，，在梯形內，因為，，，所以，四邊形為矩形，故，所以，，故，所以，梯形的面積為，故平面截正方體所得的截面面積為，D對.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設，則方程的解為_________.〖答案〗〖解析〗設（為虛數單位），則可化為，即，則，解得：，因此.故〖答案〗為：.14.若一個圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則此圓錐的高為______.〖答案〗4〖解析〗設圓錐的高為，底面圓的半徑為，因為圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，所以，解得.故〖答案〗為：415.如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點均在平面的同側.正方體上與頂點A相鄰的三個頂點B，D，到平面的距離分別為1，2，4，則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為B，D，到平面距離分別為1，2，4，所以的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為則到平面的距離為則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為故〖答案〗為：16.趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點M為的中點，點P是內（含邊界）一點，且，則的最大值為__________.〖答案〗2〖解析〗由得：，又M為的中點，所以，所以，過A作的平行線交于點Q，當P與Q重合時，的值最大.因為M為的中點，且，所以D為的中點，此時，所以的最大值為2.故〖答案〗為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，（）（1）若向量與垂直，求實數的值（2）當為何值時，向量與平行.解：（1）由已知可得，因為向量與垂直，所以，解得；（2），因為與平行，所以，解得，所以當時，向量與平行18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標分別為，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點A，B，且點A，B的橫坐標分別為，，顯然，點A在第一象限，點B在第二象限，則點A，B的縱坐標分別為，，由已知及三角函數定義得，，而，，所以；（2）由（1）得，，所以的值是.19.在復平面內，正方形的兩個頂點、對應的復數