反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

引言有一個(gè)故事講的是奸臣彈劾賢能的大臣，最后賢能的大臣被陷害要被皇上處死，可是皇上覺(jué)得這位大臣罪不該死，就把生死兩個(gè)字分別寫(xiě)在兩張紙條上，讓這個(gè)大臣自己選擇其中一張紙條，是生便生，是死便死。但是，奸臣卻在紙條上做了手腳，讓他抽出的任何一張紙條上面寫(xiě)的都是死字。這個(gè)陰謀被賢能之臣的好友發(fā)現(xiàn)了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前告發(fā)奸臣的詭計(jì)。但是這個(gè)快要被處死的大臣卻沒(méi)讓好友這么做，而是很高興的告訴好友：“不要有任何舉動(dòng)，當(dāng)我拿到紙條以后，就快速吃進(jìn)嘴里，那么監(jiān)斬官就不得不看剩下的那張紙條了，這樣監(jiān)斬官可以推斷出我吃進(jìn)去的紙條上面寫(xiě)的是生字，那么我不就得救了REF_Ref446843322\r\h[1]”。通過(guò)這個(gè)故事，我們能夠看出這個(gè)即將走上死路的大臣是通過(guò)什么方法挽救了自己的生命，賢臣是利用了“生相對(duì)于死”的反證法，這樣就輕松解決了自己被殺掉的危機(jī)。哈代是一位非常優(yōu)秀的英國(guó)數(shù)學(xué)家，他說(shuō)出過(guò)這樣的言論：“反證法對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，就是最強(qiáng)有力的一件武器，比起象棋開(kāi)局讓子以取得優(yōu)勢(shì)的方法還要高明很多，象棋對(duì)弈最多犧牲一子，而數(shù)學(xué)家在運(yùn)用反證法的時(shí)候索性全盤(pán)否定，拱手相讓?zhuān)罱K卻取得了勝利REF_Ref446843457\r\h錯(cuò)誤!未找到引用源。。這些體現(xiàn)了反證法的神奇之處和不可動(dòng)搖的地位。反證法是如此神奇，反證法即可以應(yīng)用到生活當(dāng)中去解決危機(jī)，又可以解決數(shù)學(xué)中的難題。本文就是具體分析反證法在數(shù)學(xué)中是如何應(yīng)用的，希望能為大家學(xué)習(xí)和運(yùn)用反證法提供幫助。反證法的介紹反證法的概念要證明一個(gè)命題成立，有時(shí)候不容易直接證明，就可以考慮從反向思考證明。那么先提出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)，然后推導(dǎo)出和已知證明的定理或公理、定義、原題設(shè)相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了跟求證的結(jié)論相反的假設(shè)是不能成立，從而肯定了原來(lái)求證的結(jié)論是成立的，這種間接證明的方法叫反證法REF_Ref448388451\r\h[3]。反證法的證明步驟大概能夠把運(yùn)用反證法證明命題的方式分為以下三步：（1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論的反面是成立的。（2）歸謬——通過(guò)假設(shè)的結(jié)論去證明，從而推出一些相矛盾的結(jié)論。（3）結(jié)論——說(shuō)明要證明命題的結(jié)論的反面是不能成立的，那就證明了命題的結(jié)論是成立的。反證法的邏輯依據(jù)在邏輯思想學(xué)中有兩個(gè)規(guī)律一個(gè)是“矛盾律”另一個(gè)就是“排中律”，這兩個(gè)規(guī)律為反證法提供了思想理論依據(jù)REF_Ref446843617\r\h[4]?！懊苈伞本褪窃谕瑯拥囊粋€(gè)思維方式情況下，兩個(gè)相反的或者是有矛盾點(diǎn)的定義或者結(jié)論之間都是真的情況是不可能的，至少有一個(gè)是假的REF_Ref446843644\r\h[5]；“排中律”就是結(jié)論與相反的結(jié)論，在這兩個(gè)結(jié)論之間是不能夠出現(xiàn)都是假的情況的，必定有一個(gè)是真的REF_Ref446843692\r\h[6]。運(yùn)用反證法的時(shí)候，根據(jù)矛盾律在兩個(gè)相反的結(jié)論當(dāng)中，一定不能夠出現(xiàn)這兩個(gè)結(jié)論都是真的情況，在原來(lái)已經(jīng)知道或者已經(jīng)證明推導(dǎo)出的真的結(jié)論的基礎(chǔ)上，那么假設(shè)的結(jié)論，也就是相反的結(jié)論，就必定是假的REF_Ref448156308\r\h[7]。依照排中律中的規(guī)律，得出其中的這兩個(gè)結(jié)論都是假的情況也是不可能出現(xiàn)的，那么結(jié)論真假的情況就一定是一個(gè)真一個(gè)假，通過(guò)最終證明，最后的假設(shè)一定是假的，那么就可以推導(dǎo)出原有的結(jié)論就一定不能假，必定是真。所以，有了邏輯思維的理論基礎(chǔ)作為反證法的依據(jù)，反證法就是可信的。反證法就是通過(guò)矛盾律證明與命題相矛盾的命題是假的，即根據(jù)排中律確定命題是真的證明方法，是一種間接證明方法。其證明過(guò)程如下：要證明命題p。第一步：假設(shè)反命題非p。第二步：證明“非p”虛假（依據(jù)矛盾律）。第三步：所以命題p為真（依據(jù)排中律）。反證法的分類(lèi)目前根據(jù)我所了解到關(guān)于反證法的分類(lèi)，主要是按照了反設(shè)方面出現(xiàn)的不同類(lèi)型可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)就是歸謬反證法，另一類(lèi)就是窮舉反證法REF_Ref446843814\r\h[8]。歸謬反證法如果結(jié)論的反面只有一種類(lèi)型，則反設(shè)就只有一種，那么要做的就是證明這個(gè)反設(shè)是錯(cuò)誤的，從而可以證明出結(jié)論正確。這個(gè)證明方法就是反證法分類(lèi)的第一類(lèi)歸謬反證法REF_Ref446843814\r\h[8]。例1已知是整數(shù)，同時(shí)為偶數(shù)，求證；是偶數(shù)。分析：如果想要直接就用什么方法進(jìn)行證明，可能沒(méi)有任何想法，雖然題中給的條件很簡(jiǎn)單，很明了，我們也能夠很清楚的讀明白題意，但是正面解題沒(méi)有什么關(guān)鍵點(diǎn)，這時(shí)候就需要換個(gè)角度對(duì)此題進(jìn)行證明，如果我們從反面進(jìn)行思考，在題中給的條件中進(jìn)行反面分析，偶數(shù)相對(duì)的就只有奇數(shù)這一種情況，這樣就有了比較清晰的思路，這道題反面分析，就是可以證明在是奇數(shù)的情況下，而不是偶數(shù)，這樣達(dá)到了證明的目的。證明：假設(shè)是一個(gè)奇數(shù)。那么也就是偶數(shù)，就可以得出結(jié)果也是一個(gè)偶數(shù)，最后得出是一個(gè)奇數(shù)，結(jié)論和題目中是偶數(shù)產(chǎn)生了矛盾點(diǎn)。假設(shè)不成立，即是偶數(shù)。窮舉反證法若是出現(xiàn)了結(jié)論的反面不只是一種，那么就要把反面的類(lèi)型一一列舉出來(lái)，分情況去證明它們都是錯(cuò)誤的，這樣就可以達(dá)到證明原來(lái)結(jié)論是正確的，這個(gè)證明方法就是反證法分類(lèi)的第二類(lèi)窮舉反證法REF_Ref446843814\r\h[8]。窮舉法就是要把可能的情況都列舉出來(lái)，帶入實(shí)際，一個(gè)個(gè)的去檢驗(yàn)是否符合。計(jì)算機(jī)經(jīng)常采用種窮舉法進(jìn)行工作，由于計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)，工作過(guò)程耗時(shí)很短，所以得到結(jié)論的時(shí)間就很短，想要知道結(jié)論是真是假，就不用耗費(fèi)那么長(zhǎng)時(shí)間。窮舉法能夠看成是一個(gè)最簡(jiǎn)單的搜索：就是在一個(gè)集合中包含了所有的可能的狀況元素，對(duì)這些元素都一一進(jìn)行的排查，目的是查看其元素的可行性是不是存在REF_Ref446843874\r\h[13]。例2設(shè)都是整數(shù)，且能被整除，求證：和都能被整除REF_Ref449695671\r\h錯(cuò)誤!未找到引用源。。分析：從題中可以看出結(jié)論是和都能被整除，那么需要假設(shè)出它的反當(dāng)?shù)臅r(shí)候，有③。很明顯②③與①都矛盾，這說(shuō)明假設(shè)不成立，所以原方程的解是唯一的。否定性命題這種命題常出現(xiàn)以“不是……”，“不能……”，“沒(méi)有……”這些否定性詞語(yǔ)，如果從正面考慮的話(huà)，就不容易進(jìn)行證明，沒(méi)有思路，這時(shí)就需要考慮反證法了。例5求證：不存在條棱的多面體REF_Ref447226429\r\h錯(cuò)誤!未找到引用源。。證明：假設(shè)存在條棱的多面體。那么，組成這個(gè)多面體的每個(gè)面只能是三角形。如果有四邊形或者邊數(shù)更多的多邊形，除過(guò)這些邊最多只有條棱，根本不可能與個(gè)以上的頂點(diǎn)相連接。設(shè)每個(gè)面都是三角形的多面體有個(gè)面（為整數(shù)），由于每條棱都是兩個(gè)面的邊，所以，即，與是整數(shù)相矛盾。即證明不存在條棱的多面體。例6如果是不全相等的實(shí)數(shù)，且成等差數(shù)列，求證：不成等差數(shù)列REF_Ref450324084\r\h[14]。證明：假設(shè)能成等差數(shù)列，則可以得出，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即①，那么，即②，由①②可以得出，與已知條件是不全相等的實(shí)數(shù)相矛盾。即假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題正確?！爸炼唷薄爸辽佟毙兔}命題結(jié)論中有“至多”、“至少”的詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。例7求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于。證明：假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于，則三角形的內(nèi)角和大于，即三角形的內(nèi)角和大于，與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設(shè)不成立，即在一個(gè)三角形中,至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于。例8若是正整數(shù)，且，求證或中至少有一個(gè)成立REF_Ref450324177\r\h[12]。證明：假設(shè)與同時(shí)成立。又因?yàn)槎即笥?，所以①，?將①②兩式相加得到，這與已知條件相矛盾，因此假設(shè)不成立。所以或中至少有一個(gè)成立。必然性命題命題結(jié)論出現(xiàn)“總是”、“都”、“全是”等詞語(yǔ)。例9求證：任意凸多邊形不可能有四個(gè)內(nèi)角都是銳角REF_Ref448598763\r\h錯(cuò)誤!未找到引用源。REF_Ref446843585\r\h[3]。證明：假設(shè)存在一個(gè)凸多邊形，其有四個(gè)內(nèi)角小于，即這四個(gè)內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的外角分別大于，則其外角和大于.，這與任意凸多邊形的外角和為相矛盾。假設(shè)不成立，故任意凸多邊形不可能有四個(gè)角都是銳角。例10已知函數(shù)，如果數(shù)列滿(mǎn)足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立。證明：假設(shè)，則由已知可以得出，所以當(dāng)時(shí)，，又易證所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，，可以得出當(dāng)，。與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立。起始性命題命題中已知的條件或者能夠應(yīng)用的定理，公式較少，直接證明比較困難，用反證法比較容易證明。例11用周期定義證明的最小正周期是REF_Ref450324781\r\h[13]。證明：因?yàn)?，?duì)一切成立，所以是的周期。要證明是的最小正周期。設(shè)是的最小正周期。即還有，對(duì)一切有成立，那么，即（1），取，則。因?yàn)?，所以，于是?）式成為，取，則上式成為，矛盾。因此是最小正周期。例12在同一平面設(shè)有四條直線(xiàn)。若與相交,，則與也相交。證明:假設(shè)。因?yàn)?所以。又因?yàn)?，所以。這與已知條件與相交矛盾。假設(shè)不成立，故與也相交。無(wú)限性命題命題結(jié)論中包含各種“無(wú)限”的命題。例13求證：素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。證明：假設(shè)素?cái)?shù)是有限的，設(shè)最大的一個(gè)素?cái)?shù)為，作，表示的是被這中任意一個(gè)整除都會(huì)余的數(shù)，即只有和兩個(gè)約數(shù)，所以是個(gè)素?cái)?shù)而且是比大的數(shù)，但這與最大的一個(gè)素?cái)?shù)是相矛盾。即假設(shè)不成立，所以素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。例14求證：是無(wú)理數(shù)。分析：看到題目會(huì)給人一種沒(méi)有辦法證明的感覺(jué)，毫無(wú)思路可言。而且無(wú)理數(shù)從小數(shù)的角度分析是屬于無(wú)限不循環(huán)的，這樣就更加沒(méi)有思路了。如果用反證法進(jìn)行分析，把這個(gè)無(wú)理數(shù)假設(shè)成為一個(gè)有理數(shù)，那么就會(huì)簡(jiǎn)單許多。證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)，使從而為偶數(shù)，記作→→，則也是偶數(shù)。即得出,都是偶數(shù)，與，互質(zhì)相矛盾，假設(shè)不成立，所以證明是無(wú)理數(shù)。不等式證明命題命題結(jié)論中有“不等式”的命題，可以考慮用反證法。例15已知，是大于等于的整數(shù)，求證。證明：假設(shè)。因?yàn)?，所以，則，即。與已知條件相矛盾，所以假設(shè)不成立，故成立。例16在中，,求證：REF_Ref450325000\r\h[16]。分析：這個(gè)題也可以考慮用反證法進(jìn)行證明，首先對(duì)的結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，所以就需要證明或這兩種結(jié)論不成立，就自然證明了原命題的結(jié)論是正確的。證明：假設(shè)，所以有以下兩種情況：當(dāng)，那么為等腰三角形，所以,與已知條件相矛盾。當(dāng),在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)記為點(diǎn)，讓,連結(jié)。因?yàn)?，所以為等腰三角形，所以，又因?yàn)闉榈囊粋€(gè)外角，所以。而,所以即,與已知條件相矛盾。綜上所述，假設(shè)不成立，即原命題成立。反證法的教學(xué)價(jià)值及建議反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)里有廣泛的應(yīng)用，根據(jù)我自己在高中實(shí)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)有一定的了解，對(duì)反證法的教學(xué)價(jià)值與建議，提出自己的一點(diǎn)看法。關(guān)于反證法，要早點(diǎn)向?qū)W生灌輸這種思想，讓學(xué)生自己慢慢的去認(rèn)識(shí)反證法,只要學(xué)生能夠明白、認(rèn)可其中的原理即可。反證法的教學(xué)價(jià)值培養(yǎng)思維嚴(yán)密性反證法在證明的過(guò)程中思維要十分的嚴(yán)密，思考周到。反證法和直接證法之間也有十分密切的聯(lián)系,它們之間也相互作用?？傮w看來(lái)我們運(yùn)用的是反證法，但是從部分看,在假設(shè)之后的推理過(guò)程中運(yùn)用會(huì)運(yùn)用直接證法。有時(shí)候在基本直接證法的推理中,又會(huì)運(yùn)用一段反證法,用來(lái)確定某些所需的條件,假設(shè)的時(shí)候,一定要明白原題結(jié)論的反面是什么，詳細(xì)的寫(xiě)出與原題結(jié)論相反的所有不同情況，再去否定，不能遺忘任何情況。反證法可以培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性，增加學(xué)生的耐心，也可以改掉他們粗心的缺點(diǎn)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的形成數(shù)學(xué)思維是科學(xué)的思維方法和技巧，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)?，F(xiàn)在上課的模式改為高效課堂，它強(qiáng)調(diào)自主，高效，創(chuàng)新。我們都知道中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育比西方顯著較好，但大學(xué)生的創(chuàng)新能力沒(méi)有西方學(xué)生的強(qiáng)，我們的教育著重于教導(dǎo)數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練，題海戰(zhàn)術(shù)，很少去啟發(fā)學(xué)生思考，理解題目，很少意識(shí)到的思維方式從而形成學(xué)生成績(jī)兩極分化，討厭數(shù)學(xué)，甚至學(xué)習(xí)好的學(xué)生也是對(duì)數(shù)學(xué)有恐懼心理，覺(jué)得數(shù)學(xué)是一門(mén)特別難學(xué)的科目。反證法可以很好的鍛煉學(xué)生思考問(wèn)題的能力，通過(guò)練習(xí)反證法是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法的一種好方法。訓(xùn)練逆向思維當(dāng)我們看到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，都是會(huì)從正面思考怎么解答。就是根據(jù)已知條件，思考已經(jīng)掌握了可以運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，由已知的條件慢慢導(dǎo)出未知。如果從正面已知的條件開(kāi)始思考覺(jué)得比較困難，那么就可以考慮從反面去思考問(wèn)題，這種逆向思維往往能解決看起來(lái)無(wú)法解答的問(wèn)題，反證法的教學(xué)可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，明確解題思路，提高解決問(wèn)題的速度，促進(jìn)創(chuàng)新思維。了解數(shù)學(xué)史早在古希臘，反證法是數(shù)學(xué)家用來(lái)證明許多重要的數(shù)學(xué)命題的一種廣泛使用的方法，歐幾里得的《幾何原本》已經(jīng)開(kāi)始使用反證法，我國(guó)在五世紀(jì)時(shí)《張邱建算經(jīng)》中也有應(yīng)用反證法REF_Ref450327011\r\h[2]。牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)；“反證法在許多方面有不可替代的作用，是“最精當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)家武器之一”。著名的費(fèi)馬大定理，這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題被克服，就是反證法的作用。歐幾里得曾用它來(lái)證明有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。而且反證法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維有很大的幫助，在學(xué)習(xí)反證法的同時(shí)也可以了解數(shù)學(xué)的歷史，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。反證法的教學(xué)建議要想讓學(xué)生徹底明白反證法的應(yīng)用要點(diǎn)，必需要先明白學(xué)生在反證法的應(yīng)用中有什么困惑，一一對(duì)應(yīng)去分析，才能對(duì)癥下藥，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到反證法證明過(guò)程中的精髓。第一，學(xué)生可能在以前的學(xué)習(xí)中有接觸過(guò)反證法，但是不太會(huì)獨(dú)立的應(yīng)用反證法去證明命題。所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有可能會(huì)在這兩個(gè)方面出現(xiàn)問(wèn)題：（1）在反設(shè)中怎樣否定結(jié)論，不清楚結(jié)論的反面有哪些。有時(shí)候不太清楚怎樣去否定，比如命題“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的正確反設(shè)，學(xué)生可能就會(huì)假設(shè)為“自然數(shù)都是奇數(shù)”，讀到命題的時(shí)候?qū)W生應(yīng)該想到的就是偶數(shù)的反面是奇數(shù)，就直接做出反設(shè)，其實(shí)還有“至少有兩個(gè)偶數(shù)的時(shí)候”這種情況，學(xué)生因?yàn)樽鲱}經(jīng)驗(yàn)不足，不能夠考慮全面。這個(gè)命題正確的反設(shè)就是“自然數(shù)都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”。在對(duì)命題的否定應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練。（2）“導(dǎo)出矛盾”部分，有的時(shí)候是與某些定義、定理、公式或事實(shí)互相矛盾，有的時(shí)候是與已知條件互相矛盾，而有的時(shí)候又是與假設(shè)互相矛盾。因?yàn)榭赡苊艿那闆r會(huì)有多種可能性，學(xué)生就會(huì)容易混淆，不太清楚矛盾點(diǎn)是屬于哪種類(lèi)型。所以也要向?qū)W生多講解練習(xí)怎么樣導(dǎo)出矛盾。第二，反證法和直接證法是相對(duì)的，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這兩種方法。有可能一個(gè)證明題里，會(huì)交替運(yùn)用用這兩種證法。在一個(gè)直接證明中的過(guò)程中有可能會(huì)運(yùn)用到反證法，要讓學(xué)生在做題中靈活運(yùn)用反證法，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，總結(jié)出更多做題的規(guī)律。第三，要清楚反證法的適用題型，了解了屬于哪類(lèi)題型就會(huì)很快找到證明的要點(diǎn)。重點(diǎn)是要明白反證法應(yīng)用的逆向思維，推斷出與命題中已知的條件或假設(shè)否定的結(jié)論或與定義、定理、事實(shí)等矛盾是反證法思考過(guò)程的特點(diǎn)。反證法這種證明方法也很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的邏輯思維，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維方式，是一個(gè)值得選擇的方法?？梢猿浞值睦眠@種方法對(duì)學(xué)生的邏輯思維進(jìn)行培養(yǎng)。教學(xué)里的反證法應(yīng)該以教思想教導(dǎo)為主的題目作為載體，應(yīng)側(cè)重于教學(xué)生學(xué)會(huì)去運(yùn)用反證的意識(shí)，提高他們的邏輯思維能力?？梢赃x取經(jīng)典的例題，題目的難度和個(gè)數(shù)都不重要，要使學(xué)生能深刻的認(rèn)識(shí)反證法，讓學(xué)生有獨(dú)立思考的能力，學(xué)生要從自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)的主體作用，但也要意識(shí)到教育的本質(zhì)，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)?？偟膩?lái)說(shuō)，用反證法可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也可以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。總結(jié)本文主要對(duì)反證法進(jìn)行探究分析，可知反證法這種證明方法可以把直接證明復(fù)雜的證明題變得簡(jiǎn)單。然而反證法并不是任何的題目、命題都可以進(jìn)行證明的。比如本文主要列舉了在中學(xué)數(shù)學(xué)中適用于反證法的一些命題有：“唯一性命題”、“否定性命題”、“至多至少型命題”、“必然性命題”、“起始性命題”、“無(wú)限性命題”、“不等式證明命題”。而且反證法是一種比較重要的間接證明方法，它在教