專題13圓錐曲線中的“隱圓”問題（學(xué)生版）

專題13：圓錐曲線中的“隱圓”問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>隱圓問題是指在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題．隱圓問題近年常出現(xiàn)在高考命題中，這類問題具有很強(qiáng)的探索性，解題時(shí)往往需要綜合運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法。常見隱圓涉及定長圓、直徑圓、垂直中點(diǎn)圓、阿氏圓、蒙日?qǐng)A，還有其他形式的伴隨隱圓。本專題重點(diǎn)探討阿氏圓、蒙日?qǐng)A及特殊條件伴隨隱圓問題。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：阿氏圓阿氏圓：全名為阿波羅尼斯圓，因古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，故由此而得名。在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足PA=λ|PB|，當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，點(diǎn)P特別地，當(dāng)λ=1，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線。例1(2023·湖北省武漢市模擬)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q、P的距離之比MQMP=λ,λ>0,λ≠1,那么點(diǎn)Mx2+y2=4，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn),P-1,0且λ=2A.26 B.27 C.210 【思路點(diǎn)撥】本題考查與圓相關(guān)的軌跡問題，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．令2MP=MQ，則2MP+例2(2022·安徽省合肥市模擬)在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCC1D【思路點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題,需要學(xué)生利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,題目要求三棱錐P-BCD的體積的最大值，由于△BCD面積已經(jīng)是定值了,所以只需要使三棱錐P-BCD高最大即可,即點(diǎn)P到平面BCD的距離最大.首先可以根據(jù)題目中所給的條件分析出△APD∽△MPC,從而得到PDPC=ADMC=2,因?yàn)镻DPC=2為定值，由此可以聯(lián)想到阿波羅尼斯圓，則點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓,但是由于限定了點(diǎn)練1(2022·江蘇省南京市模擬)阿波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有△ABC，AC=6，sinC=2sinA，則△ABC的面積最大值為

．【思路點(diǎn)撥】本題考查了阿波羅尼斯圓的應(yīng)用、正弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力．△ABC，AC=6，sinC=2sinA即ca=2.根據(jù)阿波羅尼斯圓可得：點(diǎn)B的軌跡為圓(去掉兩個(gè)點(diǎn)練2(2022·江蘇省無錫市模擬)已知圓C：(x-2)2+y??2=2，直線l：y=k(x+2)與x軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若PA=2【思路點(diǎn)撥】本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

設(shè)P(x,y)，由PA=2PT，求出點(diǎn)P的軌跡方程，問題可轉(zhuǎn)化為直線題型二：題型二：蒙日?qǐng)A在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1．如圖1，設(shè)橢圓的方程為x2則橢圓兩條互相垂直的切線PA、PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：x2蒙日?qǐng)A的性質(zhì)：如下圖所示，延長PA、PB與蒙日?qǐng)A分別交于點(diǎn)M、N，OP與AB交于點(diǎn)Q（1）M、（2）MN//（3）kOP例3(2022·浙江省寧波市期末)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被譽(yù)為畫法幾何之父．他在研究橢圓切線問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，尊稱為蒙日?qǐng)A，且蒙日?qǐng)A的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根．已知在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，離心率e=12，左、右焦點(diǎn)分別是(1)求橢圓C的方程，并請(qǐng)直接寫出橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程；(2)設(shè)P是橢圓C外一動(dòng)點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為-12，求【思路點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系，是一道難題．

(1)根據(jù)已知條件求出b，c，從而求出橢圓C，從而求出蒙日?qǐng)A方程；

(2)設(shè)

Px0,y0

，再求出x練3(2022·山東省青島市模擬)蒙日?qǐng)A涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上,該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A,若橢圓C：x2a+2+y2aA.1 B.2 C.3 D.4【思路點(diǎn)撥】由題意可得橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，設(shè)特殊值法，求出兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入蒙日?qǐng)A的方程可得a的值．練4(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對(duì)世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)D為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D且DG⊥EF于G，證明：存在定點(diǎn)H，使|GH|為定值．【思路點(diǎn)撥】本題考查蒙日?qǐng)A，考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查定值問題，屬于較難題．

(1)求出a，b，即可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出當(dāng)m=51k時(shí)，直線l的方程為y=k(x+51)，過定點(diǎn)M(-51,0).當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線DE:y=x+3，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求出直線l過定點(diǎn)M(-51,0)，進(jìn)而可求|GH|為定值．題型三：題型三：特殊條件下的伴隨圓特殊條件下的伴隨圓包括：1.利用圓的性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角）可確定隱圓.2.已知兩定點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PB為定值可3.已知兩定點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2例4(2022·福建省寧德市期中)已知A，B為圓O:x2+y2=4上的兩動(dòng)點(diǎn)，|AB|=23，點(diǎn)P是圓C:(x+3)A.10 B.12 C.14 D.16【思路點(diǎn)撥】由于|PA+PB|=|2PM|,由垂徑定理：|OM|=4-3=1，于是M例5(2022·江蘇省南京市模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x2+y（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，MN=AB，求直線l的方程；（2）若圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得PA2+PB【思路點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，涉及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．

(1)根據(jù)題意，由AB的坐標(biāo)求出AB的方程以及斜率，進(jìn)而求出圓心C到直線l的距離，利用直線與圓的位置關(guān)系和勾股定理建立方程，即可求直線l的方程；

(2)根據(jù)題意，設(shè)P(x,y)，由PA2+PB2=a分析可得x2+y2-2y+3=a2，即使得PA2+PB2=a練5(2023·江西省宜春市模擬)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P使得∠APB=90?°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到原點(diǎn)的距離，再找出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，根據(jù)圓中直角所對(duì)的弦是直徑得出△ABP的外接圓半徑是m，即PO=m，從而得出m的最大值．練6(2023·江蘇省徐州市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x??2+y?2=50上,若PA【思路點(diǎn)撥】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中檔題．

利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合圓與圓位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合可得．<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinA=2sinB，acosB+bcosA=3，則A.3 B.33 C.6 D.2.19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展.提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根.若圓(x-3)2+(y-b)2=9與橢圓xA.±3 B.±4 C.±5 D.±23.(多選)若平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被后人稱為阿波羅尼斯圓；在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12,0)，B(2,0)，若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足|PB|=2|PA|，其軌跡為圓O(如圖所示)，則A.∠APB不可能等于90°

B.直線PB的斜率的取值范圍為[-33,33]

C.當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，△PAB面積的最大值為34

D.當(dāng)點(diǎn)P4.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)M，N的距離之比為定值λ(λ≠1,λ>0)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M(-2,0)，N(4,0)，點(diǎn)P滿足|PM||PN|=12.則點(diǎn)P的軌跡方程為

;在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，且SA=3，BC=6，AC=2AB5.已知圓O：x2+y2=5，A、B為圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=2，M為弦AB的中點(diǎn)，C22,a，D22,a+2.當(dāng)A、B