衛(wèi)生統(tǒng)計學第十三章多重線性回歸與相關(guān)

多重線性回歸與相關(guān)

第十三章簡單線性回歸2多重線性回歸

(multiplelinearregression)多重相關(guān)

(multiplecorrelation)

3第一節(jié)概念及其統(tǒng)計描述

例13-1

為了研究有關(guān)糖尿病患者體內(nèi)脂聯(lián)素水平的影響因素，某醫(yī)師測定了30名患者的體重指數(shù)BMI（kg/m2）、病程DY（年）、瘦素LEP（ng/mL）、空腹血糖FPG（mmol/L）及脂聯(lián)素ADI（ng/mL）水平，數(shù)據(jù)如表13-1所示。一、數(shù)據(jù)與模型

4脂聯(lián)素是一種肽,可抑制炎癥反應和減少冠心病的發(fā)生。瘦素是一種由脂肪組織分泌的激素，人們之前普遍認為它進入血液循環(huán)后會參與糖、脂肪及能量代謝的調(diào)節(jié)，促使機體減少攝食，增加能量釋放，抑制脂肪細胞的合成，進而使體重減輕?？茖W家在去年的研究表明，在嬰兒時期攝取瘦素，可能可以固定大腦對食欲的反應，進而一生都不會過度飲食。人們是在對老鼠的實驗中得到了這個發(fā)現(xiàn)的。注釋：56偏回歸系數(shù)（partialregressioncoefficient）7標準化偏回歸系數(shù)（standardizedpartialregressioncoefficient）8二、偏回歸系數(shù)的估計前提條件（LINE）：線性、獨立、正態(tài)和等方差參數(shù)估計方法：最小二乘法9圖13-1兩個自變量時,回歸平面示意圖1011第二節(jié)多重線性回歸的假設檢驗一、整體回歸效應的假設檢驗（方差分析）12

表13-2顯示，P<0.0001,拒絕。說明整體而言，用這四個自變量構(gòu)成的回歸方程解釋糖尿病患者體內(nèi)脂聯(lián)素的變化是有統(tǒng)計學意義的。13二、偏回歸系數(shù)的t檢驗14利用SAS軟件對例13-1的四個偏回歸系數(shù)進行t檢驗，并計算標準化偏回歸系數(shù)，結(jié)果如表13-3所示。

15第三節(jié)復相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)

一、決定系數(shù)、復相關(guān)系數(shù)與調(diào)整決定系數(shù)16復相關(guān)系數(shù)(multiplecorrelationcoefficient)

17調(diào)整的R2(AdjustedR-Square)

18二、偏相關(guān)系數(shù)例：19游泳人數(shù)殘差冷飲銷售量殘差P=0.550920偏相關(guān)系數(shù)（partialcorrelationcoefficient）：一般地，扣除其他變量的影響后，變量Y與X的相關(guān)。2122第四節(jié)自變量篩選23一、自變量篩選的標準與原則

1.殘差平方和縮小或決定系數(shù)增大242.殘差均方縮小或調(diào)整決定系數(shù)增大253.統(tǒng)計量這條標準的完整意思是選擇較小并且值接近未知參數(shù)個數(shù)的模型作為較優(yōu)模型的準則。統(tǒng)計建模的原則：一方面入選自變量不能太多，以使方程易于理解和解釋并降低工作量及研究費用；另一方面自變量也不能太少，以保證一定的估計和預測精度。故而統(tǒng)計量較小的標準相對得到較多推崇。26二、自變量篩選的常用方法271.所有可能自變量子集選擇

(allpossiblesubsetsselection)最優(yōu)子集回歸:根據(jù)某種變量選擇準則，通過比較各子集符合準則的程度，從中選擇出一個或幾個最優(yōu)的回歸.對于有p個自變量,所有可能的子集有(2P-1)個。282.前向選擇（forwardselection）該方法從僅含常數(shù)項的模型開始，首先對每個變量計算反映其進入模型后該變量對新模型貢獻量的F值，然后將最大F值與預先指定的臨界值（Fin）比較，如果最大F值超過Fin,則將最大F值所對應的自變量引入模型，否則，停止運行；然后在已有一個自變量的模型基礎(chǔ)上，重復以上比較過程……這樣，每次給模型增添一個變量，直到剩下的變量再不能使最大F值超過Fin值為止。

293.后向選擇(backwardselection)

首先建立包含所有p個自變量的全模型，然后逐個計算出剔除某一變量后僅包含p-1個自變量的p個模型，同時計算剔除變量后所致?lián)p失的F值，然后將p個F值中的最小者與預先指定的臨界值Fout相比較，若最小F值低于Fout，則將最小F值所對應的自變量從模型中剔除，否則，停止運行；然后在含剩下p-1個自變量的模型基礎(chǔ)上，重復以上剔除過程……這樣，每次剔除一個最可忽略的變量，直到剩下的變量再不能使最小F值低于Fout值為止。

304.逐步選擇（stepwiseselection）逐步選擇法又稱逐步回歸，其本質(zhì)是前向選擇法，針對向前選擇法在后續(xù)變量進入模型后可能使已在方程中的變量變得不重要的現(xiàn)象，同時吸收了向后剔除的做法。即在逐步選擇過程中，把經(jīng)前向選擇F檢驗有意義的變量引入方程后，又對已在方程中的自變量進行一次關(guān)于剔除的后向選擇F檢驗，剔除無統(tǒng)計學意義的變量。反復進行引入、剔除過程，直到既沒有變量被引入，也沒有變量被剔除為止。

31例13-2仍以糖尿病人脂聯(lián)素數(shù)據(jù)為例，通過SAS獲得所有可能自變量子集的運算結(jié)果示于表13-6中。

32表13-6所有可能子集回歸的參數(shù)估計與統(tǒng)計量34*第五節(jié)多重線性回歸的應用

35多重共線性（multi-colinearity）例如：有兩個預測人體體重的變量：X1是以公斤為單位的重量，X2是以克為單位的重量，顯然，X1與X2的相關(guān)系數(shù)為1。

一、多重共線性問題36例13-3對8名學生的身高(X1)、體重(X2)與肺活量(Y)進行了檢測，并由該數(shù)據(jù)生成新的變量體重指數(shù)X3=X2/X1。數(shù)據(jù)如表13-8所示。

37計算得各變量間的相關(guān)系數(shù)如表13-9所示。38F=27.77,P=0.0039,顯示此回歸方程具有統(tǒng)計學意義。39

矛盾出現(xiàn)了：對整體模型而言，獲得與整體F檢驗P=0.0039的結(jié)果；但是，對于每一個偏回歸系數(shù)而言，卻沒有一個自變量的效應具有統(tǒng)計學意義。問題出在哪里？問題就出在X1，X2和X3與Y共線性，以致偏回歸系數(shù)極不穩(wěn)定，因其標準誤過大而沒有統(tǒng)計學意義。

40例11-2

陳峰(1991)報告了一個實例。有22例胎兒受精齡(Y,周)與胎兒外形測量指標:身長()，頭圍()，體重()的數(shù)據(jù)。求得由，，推算的回歸方程為：41原因：通過計算發(fā)現(xiàn)頭圍與身長的相關(guān)系數(shù)等于0.997，頭圍與體重的相關(guān)系數(shù)等于0.947，身長與體重的相關(guān)系數(shù)等于0.944，經(jīng)檢驗均有統(tǒng)計學意義。多重共線性

421.逐步篩選變量

2.刪除變量

3.主成分回歸方法解決辦法：43例13-3（續(xù)）按照水準，對上例中8名學生的數(shù)據(jù)進行肺活量(Y)關(guān)于身高(X1)、體重(X2)與體重指數(shù)體重(X3)的逐步回歸分析。整體F檢驗P=0.000544二、自變量間交互效應的回歸模型當一個回歸模型中有多于2個自變量時，變量間即可能存在交互效應。此時可建立包含各自變量及某些乘積項的回歸模型，通過檢驗乘積項的統(tǒng)計學意義來考察交互效應是否存在。45例13-4

假若有A、B兩種藥品都對帕金森綜合征有改善作用，而且相信聯(lián)合用藥效果比兩種藥單獨作用之和還要好。為探討聯(lián)合用藥方案的可行性，進行了隨機平行對照臨床試驗，結(jié)果如表13-12所示。46

經(jīng)用該樣本數(shù)據(jù)擬合包含藥品A與藥品B交互項的多重線性回歸模型，整體模型效應的方差分析結(jié)果見表13-13，模型參數(shù)估計與假設檢驗結(jié)果如表13-14所示。4748三、非同質(zhì)資料的合并問題

例13-5利用某社區(qū)男性和女性各19對收縮壓Y與年齡X的數(shù)據(jù)如表13-15所示，有人通過計算獲得收縮壓隨年齡變化的三個回歸方程如下：

試判斷男女性資料合并后回歸是否合理？49表13-15不同性別兩組年齡（X）與收縮壓（Y）數(shù)據(jù)50

性別是否為一個混雜因素？

分性別的兩條回歸直線的斜率是否相同？如果兩斜率相同，即表示性別與年齡對于收縮壓的影響不存在交互效應，可合并兩組數(shù)據(jù)擬合自變量同時包含年齡與性別（但不含二者交互效應）的多重回歸方程；否則，就應按不同性別分別擬合年齡與收縮壓的回歸模型。51判斷方法：52性別是一個混雜因素,存在交互作用！53四、通徑分析YY:新生兒出生體重X1：母親年齡X2:產(chǎn)次X3：孕周X4：產(chǎn)前體重X3=a1

X1+a2

X2+e1X4=b1

X1+b2

X2+b3

X3+e2Y=c1

X3+c2

X4+e354Y(X1→