第4講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)腳本編寫：彭亞新教案制作：彭亞新第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程。熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法.1.二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)2.二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)3.n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第四節(jié)

高階線性微分方程的一般理論1.二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)

為

(1)的相對(duì)應(yīng)的齊次方程。

二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)（1）疊加原理（2）線性無關(guān)、線性相關(guān)（3）朗斯基(Wronsky)行列式（4）二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)（5）劉維爾公式1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，你打算怎么證明這個(gè)原理？證的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣在什么情況下，疊加所得可以成為方程(2)的通解？(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)?例證由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故（3）朗斯基(Wronsky)行列式例（4）二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。定理2例解又容易看出：而由疊加原理，原方程的通解為問題：該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。代入方程中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程即故有兩邊積分，得關(guān)于z的一階線性方程（5）劉維爾公式為原方程的通解。則例解由劉維爾公式故原方程的通解為2.二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)1的一個(gè)特解，則是原方程的一個(gè)特解。性質(zhì)2是其對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)特解。性質(zhì)3的一個(gè)特解，則是方程的一個(gè)特解。性質(zhì)4的一個(gè)特解。可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1——性質(zhì)4。如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)1以及通解的概念立即可以得知該定理成立。常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法則有令以下推導(dǎo)的前提于是對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即聯(lián)立

(3)、(4)

構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到例解該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為它就是我們剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數(shù)變易法，解方程組兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得故原方程有一特解從而，原方程的通解為在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到

n階線性微分方程中去。參考書：北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中山大學(xué)等編寫的《常微分方程》教材

n