第八章微分方程

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第八章微分方程

8.1引例解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則又y(x)應(yīng)滿足條件x=1時(shí)y=2，因此可解得C=1兩端對(duì)x積分，得例1求xOy平面上過點(diǎn)(1,2)的一條曲線方程，使其在任意點(diǎn)處的斜率為2x。故所求曲線方程為y=x2+1。例2列車上以20米/秒的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)，列車獲得加速度-0.4米/秒2，問開始制動(dòng)后多長(zhǎng)時(shí)間能停住，以及列車在這段時(shí)間行駛了多少路程？等式兩邊同時(shí)積分，得解:設(shè)列車開始制動(dòng)后t秒內(nèi)行駛了s米，則再積分得利用條件t=0,s=0,ds/dt=20，可以解得C1=20,C2=0,因此利用條件列車停住時(shí)速度為零，由解得:s=500(米)代入及C1=20可得:t=50(秒)微分方程:例如8.2微分方程的基本概念含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程(ODE)(OrdinaryDifferentialEquations)僅含一個(gè)自變量的微分方程.微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).線性與非線性微分方程:方程中關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均是一次的,則稱為線性微分方程.線性微分方程非線性微分方程微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解。微分方程解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解。解的圖象(積分曲線):

微分方程的解曲線。初始條件:

用來確定任意常數(shù)的條件。考慮引例1，對(duì)于微分方程函數(shù)y=x2+C是其通解，y=x2+1是其滿足初始條件x0=1，y(x0)=2的特解。微分方程的(部分)積分曲線(0≤C≤2)見右圖，其中紅色曲線為滿足初始條件的特解曲線。考慮引例2，對(duì)于微分方程函數(shù)s=-0.2t2+C1t+C2是其通解,s=-0.2t2+20t是其滿足條件t0=0，s(t0)=0,ds/dt(t0)=20的特解.滿足初始條件的積分(特解)曲線見下圖。路程曲線速度曲線

微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理以及生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各個(gè)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用。

很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來表示，但建立微分方程只是解決問題的第一步，通常在此基礎(chǔ)上還需要求出微分方程的解并對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解釋和加以檢驗(yàn)。

求解微分方程一般可分為求微分方程的解析解和數(shù)值解。微分方程的解

解析解可以用一個(gè)確切的代數(shù)表達(dá)式來表示的解。顯然微分方程的解析解對(duì)微分方程的分析和應(yīng)用都是很方便的。但是存在解析解的微分方程僅僅局限于一些特殊類型，而絕大多數(shù)微分方程都是求不出解析解的。

數(shù)值解求解不存在解析解的微分方程時(shí)必須借助數(shù)值解法去求出微分方程的數(shù)值解(近似解)。因此，數(shù)值解法是求解微分方程的一個(gè)十分重要的方法。ODE的解很少能用初等函數(shù)及其不定積分的組合表示。例如：方程不能表示為初等函數(shù)，故得不到精確解的解是難以求積方程8.3常微分方程數(shù)值解法介紹(一)常微分方程數(shù)值解的定義在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解析解。而在實(shí)際上，對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。對(duì)一階微分方程

dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0主要方法(1)歐拉方法(向前歐拉公式，向后歐拉公式，梯形公式，改進(jìn)的歐拉公式)(2)龍格-庫塔方法(二階，三階，四階，五階)在自變量x的取值點(diǎn)列{xn}，根據(jù)一定的原理(主要是用差商代替導(dǎo)數(shù))，利用迭代方法求出y(xn)的近似值yn(二)

建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法。設(shè)xi+1-xi=h,(i=0,1,…,n-1),可以用以下離散化方法求解微分方程dy/dx=f(x,y),y(x0)=y02、使用數(shù)值積分對(duì)方程y'=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：故有公式：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進(jìn)的歐拉法。3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差y(xi)-yi可表示為O(hk+1)時(shí)(k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng))，稱它是一個(gè)k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二至五階公式。線性多步法有四階外插公式和內(nèi)插公式。8.4微分方程求解的MATLAB實(shí)現(xiàn)

一、求微分方程(組)的解析解求微分方程(組)解析解的MATLAB命令dsolve

1．求微分方程的通解格式：dsolve('eqn','v')

其中'eqn'

是微分方程表達(dá)式構(gòu)成的字符串，'v'是微分方程表達(dá)式中自變量符號(hào)。'v'可以省略，省略時(shí)默認(rèn)t為自變量。

在表達(dá)微分方程時(shí),用字母D表示微分,D2,D3表示二,三階微分。即在不指定自變量(默認(rèn)t為自變量)時(shí)，Dy=dy/dt，D2y=d2y/dt2,…例8.1求微分方程dy/dx=1+y2的通解

dsolve('Dy=1+y^2')

ans=tan(t-C1)其中t為默認(rèn)的自變量。如果希望以x為自變量，則需用命令

dsolve('Dy=1+y^2','x')

ans=tan(x-C1)注意：該命令中自變量的取法只要不與因變量相同即可。C1cos(x)+C2sin(x)---------------------1/2x例8.2求微分方程

x2y″+xy′+(x2-1/4)y=0的通解s=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y=0','x')

s=(C1*cos(x)+C2*sin(x))/x^(1/2)注意(1)若方程是右端等于0的形式，可以省略。(2)若不加自變量x，則將把x作為常數(shù)求解。(3)所得結(jié)果可以用命令pretty進(jìn)行簡(jiǎn)化。例pretty(s)2.求微分方程的特解格式:dsolve('eqn','y(a)=b0,Dy(a)=b1,···','v')其中'eqn'是微分方程表達(dá)式構(gòu)成的字符串，'y(a)=b0,Dy(a)=b1,···'

是微分方程的初始條件。'v'是微分方程表達(dá)式中自變量符號(hào)。例8.3求微分方程y''+4y'+29y=0滿足條件y(0)=0,y’(0)=15的特解。dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')

ans=3*exp(-2*x)*sin(5*x)3.求解微分方程組

格式：dsolve('eqn1','eqn2',…)例8.4求下面微分方程組的通解。

dx/dt=3x+4y，dy/dt=-4x+3y

[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y')x=exp(3*t)*cos(4*t)*C1+exp(3*t)*sin(4*t)*C2y=-exp(3*t)*sin(4*t)*C1+exp(3*t)*cos(4*t)*C2注意：也可以用此命令求滿足條件的特解

[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y','x(0)=1,y(0)=0')x=exp(3*t)*cos(4*t)y=-exp(3*t)*sin(4*t)二、求微分方程(組)的數(shù)值解注意求微分方程(組)數(shù)值解的MATLAB命令ode微分方程的數(shù)值解命令ode僅僅適用于一階微分方程(組)。對(duì)高階微分方程必須先將其化為一階微分方程(組)再求解。高階微分方程化為一階微分方程組的方法

對(duì)任意高階微分方程

x(n)=f(t,x,x',···,x(n-1))

令y1=xy2=y1'=x'y3=y2'=x''···yn=y'n-1=x(n-1)y1'=y2y2'=y3···yn-1'=ynyn'

=f(t,y1,y2,···,yn)

所以下面只討論一階微分方程組的數(shù)值解

一階微分方程組的向量形式表示

令一階微分方程組通?？捎孟蛄啃问奖硎緸閐y/dt=f(t,y)

一階微分方程組的向量形式表示

dy/dt=f(t,y)一階線性微分方程組的向量形式表示

dy/dt=Ay其中求一階微分方程組數(shù)值解的MATLAB命令ode

ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s五個(gè)命令的格式完全一致,常用的是前兩個(gè)。格式：[T,Y]=ode45('fun',Ts,Y0)'fun'：由微分方程組寫成的函數(shù)M文件的文件名；Ts=[t1,t2]：方程組解的取值區(qū)間；Y0

：方程組解的初始值(n維向量)輸出T是m維列向量(取值從t1到t2)；Y是m×n維矩陣，其第i列是與T相應(yīng)的yi的值。向量微分方程組dy/dt=f(t,y)的ode輸出[T,Y]=ode45('fun',Ts,Y0,options)

例8.5求解線性微分方程組X'=AX，其中x1'

=x2x2'=4x1+3x2-4x3x3'=x1+2x2+x3

解：建立函數(shù)M文件exam1：functiondx=exam1(t,x)dx=zeros(3,1);dx(1)=x(2);dx(2)=4*x(1)+3*x(2)-4*x(3);dx(3)=x(1)+2*x(2)+x(3);取初始條件x(0)=[1;2;3],Ts=[0,20],利用ODE45命令求解如下[T,Y]=ode45('exam1',[0,20],[1;2;3]);利用命令plot(T,Y(:,1))可得積分曲線.例8.6求解Vander

Pol方程x''+(x2-1)x'+x=0

解：令y1=x,y2=y1'=x',則方程化為方程組

y1'

=y2,y2'

=(1-y12)y2-y1建立函數(shù)M文件vdp：function

dy=vdp(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);取初始條件y(0)=[0;1],Ts=[0,20],利用ODE45命令求解如下Ts=[0,20];y0=[0;1];[T,Y]=ode45('vdp',Ts,y0);積分曲線

由y1=x可知，原方程的解是輸出矩陣Y的第一列Vander

Pol方程x''+(x2-1)x'+x=0滿足