第九節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法

第九節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣x

元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70-5x+4y

瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y

瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出播放二、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義有則稱f(M0)為f(M)的一個(gè)極大值(或極小值).M0稱為極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)).極值是一個(gè)局部性的概念.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).(1)(2)(3)例1例2例32、多元函數(shù)取得極值的條件證仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：zxy(偏導(dǎo)存在的)定理2.則(充分條件)時(shí)可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．(x0,y0)是極值點(diǎn)例4解：令解得駐點(diǎn)(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2)點(diǎn)(1,2):=–12(–6)>0,不是極值點(diǎn)點(diǎn)(–3,0):=–(–12)

6>0,不是極值點(diǎn)點(diǎn)(–3,2):=–(–12)(–6)<0,且A=–12<0故極大值f(–3,2)=31點(diǎn)(1,0):=–126<0.且A＝12>0故極小值f(1,0)=–5另外，f(x,y)在其偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能會(huì)取得極值.z0xy求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值特別地，在應(yīng)用問題中，若根據(jù)問題的性質(zhì)，知道目標(biāo)函數(shù)f(x,y)的最大值(或最小值)一定在D內(nèi)取得.而這時(shí)f(x,y)在D內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn).則可以肯定該駐點(diǎn)便是f(x,y)在D上的最大值點(diǎn)(最小值點(diǎn)).解如圖,例5(2).求每天的收益為的最大值.解這一組數(shù)就是最大值點(diǎn)。某車間要用鋼板制造一個(gè)容積為20m3的有蓋長方體水箱，問取怎樣的尺寸才能使所用材料最??？zxy解：設(shè)水箱長為x,寬為y,高為z則表面積S=2(xy+yz+xz)例6故(x>0,y>0)令解得駐點(diǎn)由題意該問題的最小值一定存在，又x>0,y>0時(shí)只有唯一的駐點(diǎn)，故可斷定時(shí)S取最小值.此時(shí)無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.實(shí)例：小王有400元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這400元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．為了方便記憶，我們有必要條件解出x,y,λ，其中x,y就是可能的極值點(diǎn)坐標(biāo).

先構(gòu)造函數(shù):其中λ為某一常數(shù)，可由此函數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況:要找函數(shù)u=f(x,y,z,t)在條件，

下的極值。先構(gòu)造函數(shù)其中均為常數(shù)，可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出，即得可能的極值點(diǎn)坐標(biāo).解則例7例8再解例6解：構(gòu)造令解得例9.在拋物面z=x2+y2和平面x+y+z=1的交線上，求到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大和最小距離.解：設(shè)(x,y,z)為交線上任一點(diǎn).它到原點(diǎn)的距離為：?(x,y,z)xyz0在條件下的條件極值由于d與d2=x2+y2+z2同時(shí)達(dá)到極值.故設(shè)于是問題歸結(jié)為求令解得代入d便得由于問題的最大值，最小值存在.故將所求x,y,z解解方程組得x=25,y=20可購買25片磁盤，20盒磁帶。例10多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值