（三年模擬一年創(chuàng)新）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 文（全國通用）-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積A組專項基礎(chǔ)測試三年模擬精選一、選擇題1.(2015·沈陽市四校聯(lián)考)一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如右圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()A.4eq\r(5)，8B.4eq\r(5)，eq\f(8,3)C.4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D.8，8解析由題意得該四棱錐為正四棱錐，其側(cè)棱長為eq\r(6)，四棱錐的高為2，底面正方形的邊長為2，因此，其側(cè)面積為eq\f(1,2)×eq\r(\r(6)2－12)×2×4＝4eq\r(5)，其體積為eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).答案B2.(2015·湖北八校聯(lián)考)棱長為2的正方體被一平面截成兩個幾何體，其中一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是()A.eq\f(14,3)B.4C.eq\f(10,3)D.3解析該截面將正方體分成兩個完全相同幾何體，因此該幾何體的體積為eq\f(1,2)×23＝4.答案B二、填空題3.(2014·四川廣安診斷)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E為AB的中點，則四面體PBCE的體積為________.解析S△EBC＝eq\f(\r(3),2)，VP－EBC＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)4.(2014·河南方城一中第一次調(diào)研)已知正四棱錐的底邊長和側(cè)棱長均為3eq\r(2)，則該正四棱錐的外接球的表面積為________.解析∵正四棱錐的底邊長和側(cè)棱長均為3eq\r(2)，∴此四棱錐底面正方形的外接圓即是外接球的一軸截面，故外接球半徑長是3，∴該正四棱錐的外接球的表面積為4π×32＝36π.答案36π一年創(chuàng)新演練5.湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為12cm，深2cm的空穴，則該球的半徑是________cm，表面積是________cm解析設(shè)球的半徑為r，畫出球與水面的位置關(guān)系圖，如圖：由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋36，解得r＝10.所以表面積為4πr2＝4π×100＝400π.答案10400π6.已知一軸截面為銳角三角形的圓錐的母線長為4，若過該圓錐頂點的所有截面面積分布范圍是(0，4eq\r(3)]，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形圓心角等于________.解析過圓錐頂點的截面面積最大時該截面通過軸線，設(shè)軸截面三角形的頂角為θ，則eq\f(1,2)·4·4·sinθ＝4eq\r(3)，解得sinθ＝eq\f(\r(3),2)，所以θ＝eq\f(π,3)，所以圓錐底面半徑r＝2，故該圓錐側(cè)面展開圖的扇形圓心角α＝eq\f(2πr,4)＝eq\f(2π·2,4)＝π.答案πB組專項提升測試三年模擬精選一、選擇題7.(2015·廈門市質(zhì)檢)如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一點，則三棱錐D1B1C1A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(5),12)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(1,6)解析VD1B1C1E＝eq\f(1,3)S△B1C1E·D1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案D8.(2015·忻州四校聯(lián)考)已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積為()A.eq\f(9,2)B.3C.4D.eq\f(3\r(10),2)解析由三視圖知幾何體為正方體切去一個棱臺，且切去棱臺的下底面直角三角形的直角邊長為1，其直觀圖如圖：∴截面為等腰梯形，且兩底邊長分別為eq\r(2)，2eq\r(2)，腰長為eq\r(5)，∴梯形的高為eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴截面面積S＝eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).故選A.答案A9.(2015·東北三校聯(lián)考)點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為eq\f(2,3)，則這個球的表面積為()A.eq\f(125π,6)B.8πC.eq\f(25π,4)D.eq\f(25π,16)解析如圖所示，O為球的球心，由AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2可知∠ABC＝eq\f(π,2)，即△ABC所在的小圓的圓心O1為AC的中點，故AO1＝1，S△ABC＝1，當(dāng)D為O1O的延長線與球面的交點時，D到平面ABC的距離最大，四面體ABCD的體積最大.連接OA，設(shè)球的半徑為R，則DO1＝R＋eq\r(R2－1)，此時VABCD＝eq\f(1,3)×S△ABC×DO1＝eq\f(1,3)(R＋eq\r(R2－1))＝eq\f(2,3)，解得R＝eq\f(5,4)，故這個球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25π,4).答案C二、填空題10.(2014·豫西五校聯(lián)考)如圖所示(單位：cm)，則圖中的陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為________.解析由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺和球的體積公式，得V圓臺＝eq\f(1,3)×(π×AD2＋eq\r(π×AD2×π×BC2)＋π×BC2)×AB＝eq\f(1,3)×π×(AD2＋AD×BC＋BC2)×AB＝eq\f(1,3)×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝eq\f(4,3)π×AD3×eq\f(1,2)＝eq\f(4,3)π×23×eq\f(1,2)＝eq\f(16,3)π(cm3)，所以旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積V＝V圓臺－V半球＝52π－eq\f(16,3)π＝eq\f(140,3)π(cm3).答案eq\f(140,3)πcm3一年創(chuàng)新演練11.圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個實心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個鐵球的表面積為________cm2.解析設(shè)實心鐵球的半徑為R，則eq\f(4π,3)R3＝π×102×eq\f(5,3)，得R＝5cm，故這個鐵球的表面積為S＝4πR2＝100π(cm2).答案100π12.在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝eq\r(3)，AD＝DE＝2，G為AD的中點.(1)在線段CE上找一點F，使得BF∥平面ACD，并加以證明；(2)求三棱錐GBCE的體積.解(1)由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，設(shè)F是CE的中點，H是CD的中點，連接BF，F(xiàn)H，AH，∴FH∥ED，F(xiàn)H＝eq\f(1,2)ED.∵AB＝1，DE＝2，∴AB＝eq\f(1,2)DE，∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH.∵AH?平面ACD，BF?平面ACD，∴BF∥平面ACD.(2)∵DE⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，在平面ACD內(nèi)，作CF⊥AD于P，∵平面ABED∩平面ACD＝AD，∴