福建省福州市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省福州市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．15 B．20 C．60 D．3603．設(shè)是等比數(shù)列，若，，則（

）A．8 B．12 C．16 D．324．4位同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每位同學(xué)只能去一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．在直三棱柱中，，，D為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．7．游泳是提高心肺功能最好的運(yùn)動(dòng)之一，某校大約有30%的學(xué)生肺活量達(dá)到良好等級(jí)，該校大約有20%的學(xué)生每周游泳時(shí)間超過3小時(shí)，這些人中大約有50%的人肺活量達(dá)到良好等級(jí)．現(xiàn)從每周游泳時(shí)間不超過3小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名學(xué)生，則他的肺活量達(dá)到良好等級(jí)的概率為（

）A．0.1 B．0.2 C．0.24 D．0.258．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系一定不成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（

）A． B．C．A，P，三點(diǎn)共線 D．A，P，M，D四點(diǎn)共面10．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（

）A．第三輪被傳染人數(shù)為16人 B．前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為80人C．每一輪被傳染的人數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列 D．被傳染人數(shù)累計(jì)達(dá)到1000人大約需要35天11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則（

）A．C的周長為 B．OP平分∠APBC．面積的最大值為6 D．當(dāng)時(shí)，直線BP與圓C相切12．如圖數(shù)表的構(gòu)造思路源于楊輝三角，該表由若干行數(shù)字組成，每一行最左與最右的數(shù)字均為2，其余的數(shù)字都等于其“肩上”的數(shù)字之積．記第i行從左往右第j個(gè)數(shù)字為a，，則（

）A．B．C．該數(shù)表中第9行的奇數(shù)項(xiàng)之積等于偶數(shù)項(xiàng)之積D．存在j，使得三、填空題13．已知，且，則______．14．已知向量，，．若，則______．15．已知某批零件的長度誤差X（單位：毫米）近似服從正態(tài)分布，從這批零件中隨機(jī)抽取一件，則事件的概率為______．附：若隨機(jī)變量，則，．16．已知雙曲線，以原點(diǎn)O為圓心，C的焦距為半徑的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，P，Q是圓O與C在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)．若，則C的離心率為______．四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．18．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求．19．如圖，在四棱錐中，四邊形BCDE為梯形，，，平面平面BCDE，．(1)求證：平面BCDE；(2)若，求平面CAB與平面DAB夾角的余弦值．20．為響應(yīng)“雙減政策”，豐富學(xué)生課余生活，某校舉辦趣味知識(shí)競答活動(dòng)，每班各選派兩名同學(xué)代表班級(jí)回答4道題，每道題隨機(jī)分配給其中一個(gè)同學(xué)回答．小明，小紅兩位同學(xué)代表高二1班答題，假設(shè)每道題小明答對(duì)的概率為，小紅答對(duì)的概率為，且每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記高二1班答對(duì)題目的數(shù)量為隨機(jī)變量X．(1)若，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若高二1班至少答對(duì)一道題的概率不小于，求p的最小值．21．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)，，求a的取值范圍．22．已知點(diǎn)P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A、F分別為C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)A，且直線，與C分別交于E，G兩點(diǎn)（E，G異于點(diǎn)A），若，試判斷直線EG是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為1，傾斜角為45°，故選：B．2．A【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A3．C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】是等比數(shù)列，所以，．故選：C．4．A【解析】【分析】由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】4位同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每位同學(xué)只能去一個(gè)小區(qū)，則每位同學(xué)都有3種選擇，所以共有種不同的安排方法，故選：A5．D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.【詳解】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D6．B【解析】【分析】由題意到平面的距離等于到平面的距離的一半，而可證到平面的距離為上底面直角三角形斜邊上高（本題也是中線），由此易得．【詳解】取中點(diǎn)，連接，由于平面平面，平面，所以平面，由已知得，又中中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離的一半，即．故選：B．7．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件,求出每周游泳時(shí)間不超過3小時(shí)的學(xué)生人數(shù)及其中肺活量達(dá)到良好等級(jí)的人數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)該校有x個(gè)同學(xué)，則約有0.3x的學(xué)生肺活量達(dá)到良好等級(jí),0.2x的學(xué)生每周游泳時(shí)間超過3小時(shí)且游泳時(shí)間超過3小時(shí)的學(xué)生中有0.1x的學(xué)生肺活量達(dá)到良好等級(jí)，有0.8x的學(xué)生每周游泳時(shí)間不超過3小時(shí)且其中有0.2x的學(xué)生肺活量達(dá)到良好等級(jí),從每周游泳時(shí)間不超過3小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名學(xué)生，則他的肺活量達(dá)到良好等級(jí)的概率，故選：D8．B【解析】【分析】取特殊值判斷A，在已知條件下，得出，然后分類討論說明能否等于，判斷B，已知等式變形得，引入函數(shù)，則與可以是方程的兩個(gè)根．利用導(dǎo)數(shù)討論的性質(zhì)，得出根的性質(zhì)判斷CD．【詳解】選項(xiàng)A：令，，得成立，故A正確；選項(xiàng)B：由得，得，若且，得，則；若且，得，則，從而不可能成立．B錯(cuò)誤；由得，令，則與可以是方程的兩個(gè)根．，由，得，在內(nèi)單調(diào)遞增，由，得，在內(nèi)單調(diào)遞減，得．注意到，故可繪制出的大致圖象．根據(jù)圖象，存在且的情形，此時(shí)，，得，成立，故C，D選項(xiàng)正確．綜上所述，選擇B．故選：B．9．BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算判斷AB選項(xiàng)的正確性，根據(jù)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的知識(shí)判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.則是的中點(diǎn)，，，則不存在實(shí)數(shù)使，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，由于直線，所以四點(diǎn)共面，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10．CD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故C正確；所以，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，故D正確.故選：CD11．ABD【解析】【分析】先求出曲線C的方程為：.對(duì)于A：直接求出周長，即可判斷；對(duì)于B：延長BP到Q，使，連結(jié)AQ.證明出,..記為，即可判斷；對(duì)于C：直接求出面積的最大值，即可判斷；；對(duì)于D：求出圓心到直線BP的距離，即可判斷.【詳解】設(shè).因?yàn)?，，點(diǎn)P滿足，所以，整理化簡得：.即曲線C的方程為：.對(duì)于A：曲線C為半徑為2的圓，故周長為.故選：A；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，所?延長BP到Q，使，連結(jié)AQ.因?yàn)?，所以，所以，所?.因?yàn)?，所?所以，即OP平分∠APB.對(duì)于C：的面積.要使的面積最大，只需最大.由點(diǎn)P的軌跡為C：可得：，所以面積的最大值為3.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，或.不妨取，則直線BP：，即.因?yàn)閳A心到直線BP的距離為：,所以，即直線BP與圓C相切.故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】（1）坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法.（2）解析幾何問題解題的關(guān)鍵：解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，根據(jù)題意畫出圖形，借助于圖形尋找?guī)缀侮P(guān)系可以簡化運(yùn)算．12．ACD【解析】【分析】由所給數(shù)據(jù)改寫成冪的形式，可知冪指數(shù)構(gòu)成楊輝三角，利用其性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)分析求解即可.【詳解】將表中的數(shù)字寫成冪的形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”．選項(xiàng)A：該數(shù)表中第8行第2個(gè)數(shù)的指數(shù)為，故第8行第2個(gè)數(shù)為，A正確；選項(xiàng)B：根據(jù)數(shù)表，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：該數(shù)表中第9行的奇數(shù)項(xiàng)的指數(shù)之和為；偶數(shù)項(xiàng)的指數(shù)之和為，故第9行的奇數(shù)項(xiàng)之積等于偶數(shù)項(xiàng)之積，C正確；選項(xiàng)D：假設(shè)存在，由得，，即且，化簡得且，得，故D正確．故選：ACD13．1【解析】【分析】直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，故答案為?.14．【解析】【分析】通過向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出，再結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故答案為?15．【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】，所以.故答案為：16．【解析】【分析】不妨設(shè)P點(diǎn)在第二象限，C的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，可得垂足為C的右焦點(diǎn)，然后可求得、，然后由雙曲線的定義可得答案.【詳解】不妨設(shè)P點(diǎn)在第二象限，C的左、右焦點(diǎn)分別為，．如圖，由于，由對(duì)稱性可得，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，可得垂足為C的右焦點(diǎn)．在直角三角形中，則在直角三角形中．根據(jù)雙曲線的定義可知，即，則離心率．故答案為：17．(1)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為(2)最大值為6，最小值為－26【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由的零點(diǎn)，對(duì)區(qū)間列表得出的正負(fù)，得出單調(diào)性與極值，同時(shí)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值，比較得最大值和最小值．(1)，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)令得或，由（1）可列下表x-13+0-0+單調(diào)遞增取極大值單調(diào)遞減取極小值單調(diào)遞增由于，，，，得在區(qū)間上的最大值為6，最小值為－26．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由，結(jié)合等差數(shù)列的定義來求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.(1)當(dāng)時(shí)，由得，．當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，化簡得，由條件得，故，得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，所以，得．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平面平面BCDE、得平面AED，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，再由線面垂直的判斷定理可得答案；（2）以E點(diǎn)為原點(diǎn)，EB，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面CAB、面ABD的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案．(1)因?yàn)槠矫嫫矫鍮CDE，平面平面，，平面BCDE，所以平面AED，因?yàn)槠矫鍭ED，所以，因?yàn)?，，平面BCDE，所以平面BCDE．(2)因?yàn)槠矫鍮CDE，，所以BE，DE，AE兩兩互相垂直，以E點(diǎn)為原點(diǎn)，EB，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：、、、，得，，．設(shè)平面CAB的一個(gè)法向量為，由，，得，令得，，從而．設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，由，，得，令得，，從而．，所以平面CAB與平面DAB夾角的余弦值為．20．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)【解析】【分析】（1）X的可能取值為0，1，2，3，4．，由二項(xiàng)分布求得各概率得分布列，由期望公式得期望；（2）由對(duì)立事件的概率公式求得事件“至少答對(duì)一道題的概率”的概率，列不等式求解．(1)X的可能取值為0，1，2，3，4．高二1班答對(duì)某道題的概率，則，．則X得分布列為X01234P則．(2)高二1班答對(duì)某道題的概率為，答錯(cuò)某道題的概率為．則，解得，所以p的最小值為．21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，點(diǎn)斜式即可得切線方程；（2）由題意可構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論的思想，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性由求解可得.(1)，，又，故在點(diǎn)處的切線方程為．(2)當(dāng)，令，得，，令，則．①若時(shí)，得，則在上單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，不符合題意；②若，令，得．（?。┤簦瑒t，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不符合題意；（ⅱ）若，則，在上恒成立，所在上單調(diào)遞減，，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立．綜上所述，a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由原不等式在時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，是解決問題的第一步，再利用導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性，即函數(shù)值的正負(fù)，由于含有參數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).22．(1)證明見解析(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)