2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》培優(yōu)提升訓(xùn)練(附答案)

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》

培優(yōu)提升專(zhuān)題訓(xùn)練(附答案)

1.已知：如圖，△/8C是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。為動(dòng)點(diǎn)，繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到AE.

(1)如圖1,連接8。，CE,求證

(2)如圖2,NBAD=NDBC,連接。E,求證：點(diǎn)8,D,E三點(diǎn)在同一條直線上；

問(wèn)題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在等腰直角三角板/8C

中，NB4c=90。，AB=AC,。為5C的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)

D上,得到招NMDN繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn),射線DA/,ZW分別與邊48,ZC交于E,

F兩點(diǎn)、,如圖1所示.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)E,F分別是N8,ZC的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段QE與QF的數(shù)

量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

(2)類(lèi)比探究：如圖3,當(dāng)E,尸不是/C的中點(diǎn)，但滿足8E=/尸時(shí)，判斷△OEF

的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)拓展應(yīng)用：①如圖4,將NMDN繞點(diǎn)。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線。"，DN分別與48,CA

的延長(zhǎng)線交于E,F兩點(diǎn)，滿足5E=ZF,△DEF是否仍然具有(2)中的情況？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

②若在/WN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，射線。M,￡W分別與直線CA交于E,F兩

點(diǎn)，滿足8￡=/尸，若AB=a,BE=b,則NE=(用含a,。的式子表示).

N%\F

圖1圖2圖3圖4

3.如圖，△/8C為等腰三角形，AB=AC.點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在射線比1、射線8c上，連接

DE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DF,使得點(diǎn)尸恰好在射線3c上，旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)E重合時(shí)，如圖1,若a=30°,NB=60°,/。=4,求線段8C的長(zhǎng)

度；

(2)當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)廠重合時(shí)，如圖2,AC與DE交于點(diǎn)、G,若DG=EG,求證：BE=CE；

(3)當(dāng)BE=CE=CF,/3=30°時(shí)，如圖3,點(diǎn)P是射線A4上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將

線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段CP,連接FP.將△CFP沿直線FP'翻折

至△CFP所在平面內(nèi)得到△(:'FP',直線C'P'與射線BC交于點(diǎn)。.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，當(dāng)尸P最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與4?的值.

4.如圖1,△/8C是等邊三角形，點(diǎn)。在△/8C的內(nèi)部，連接將線段力。繞點(diǎn)4按

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到線段/E,連接8。，DE,CE.

(1)判斷線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長(zhǎng)ED交直線8c于點(diǎn)?

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，直接用等式表示線段和CE的數(shù)量關(guān)系為

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)F為線段8C中點(diǎn)，且皮＞=EC時(shí)，猜想/比1。的度數(shù)并說(shuō)明理由.

5.在△/8C中，AB=AC,。是邊4c上一點(diǎn)，尸是邊48上一點(diǎn)，連接8。、CF交于點(diǎn)、E,

連接力E,且ZE_LCF.

(1)如圖1,若/R4C=90°,AF=\,AC=M，求點(diǎn)8到4E：的距離；

(2)如圖2,若E為80中點(diǎn)，連接尸D,FD平分N4FC,G為C/7上一點(diǎn)，且/GOC

=ZGCD,求證：DG+AF=FC-,

(3)如圖3,若NB4C=120°,BC=12,將沿著翻折得△[8。'，點(diǎn)〃為

BD1中點(diǎn)，連接"4、HC,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出典■的值.

6.在△48C中，AB=AC,CE=CD=BC(CE—CA),//C8+N￡CO=180°,點(diǎn)P為直

線DE上一點(diǎn)，且PB=PD.

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段8c延長(zhǎng)線上，若NNC2=50°,求/Z8P的度數(shù)；

(2)如圖2,△ZBC與△C0E在圖示位置時(shí)，求證：BP平分NABC；

(3)如圖3,若/Z8C=60°,AB=4,將圖3中的△€>￡>￡(從CE與CA重合時(shí)開(kāi)始)

繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，且點(diǎn)8與點(diǎn)。不重合，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求

8￡2的值.

圖1圖2圖3

7.如圖，在等邊△Z8C中，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E為4。上一點(diǎn)，連EB、EC,將線段

EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EF,使點(diǎn)F落在BA的延長(zhǎng)線上.

(1)在圖1中畫(huà)出圖形：

①求/CE尸的度數(shù)；

②探究線段AE,/廠之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)如圖2,若/8=4,點(diǎn)G為4C的中點(diǎn)，連。G,將△CDG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

叢CMN,直線8河、ZN交于點(diǎn)P,連CP,在△CDG旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出△BC尸

8.在△/BC中，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CDL8。交于"，若8M=2,tanZDCB=^-求。M的長(zhǎng)；

3

(2)如圖2,^ADLAE,KAD=AE,延長(zhǎng)Z。、CB交于點(diǎn)F,作EGJ_E4交C8于點(diǎn)

G.猜想ED、CE、EG之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,若AB=4北，。為一動(dòng)點(diǎn)且始終有8。J_CD,取CD的中點(diǎn)連接8M,

將MB繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E,直接寫(xiě)出△N8E面積的最大值.

動(dòng)點(diǎn)；連接/E并延長(zhǎng)交直線8c于尸，AF=BF.

(1)如圖1,若/民4c=75°,4C=s/§,CE=2,求點(diǎn)Z到CD的距離;

(2)如圖2,若點(diǎn)E是線段8的中點(diǎn)，求證：AB=2AD；

(3)如圖3,若/A4c=45°,AD=4M,將線段4E繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)￡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為點(diǎn)G,連接EG,求CG的最小值.

的中點(diǎn)E.

(1)如圖I,過(guò)點(diǎn)。作。/山8于點(diǎn)尸，連接EE.若a=90°,tan/8。/甘，EF=

2\/l3,求/C的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若a=120°,連接BE,猜想48、AC.8E的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)在(2)問(wèn)的條件下，若8c=4正，將△NBE沿著翻折得到連接?！?

當(dāng)。￡最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積.

圖I圖2

11.如圖，△/8C和均為等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90°.

(1)如圖1,O為線段BC上一點(diǎn)，連接BE、CE,已知。E-CQ=2,BD=8,求

的長(zhǎng)；

(2)如圖2,。為線段8c上一點(diǎn)，連接BE、CE.過(guò)點(diǎn)Z作于，，延長(zhǎng)Z”交

CD于F,取CE中點(diǎn)G,連接尸G,求證：DE=2FG；

(3)如圖3,已知/8=4,力。=2.作點(diǎn)/關(guān)于直線8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,將△/￡>￡?以/

為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)”為QE中點(diǎn)，連接CN,將線段CW繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線

段CN',連接4M.在的長(zhǎng)度取得最大的情況下，取N8的中點(diǎn)K,動(dòng)點(diǎn)0在線段

8c上，連K0,將△2K0沿K0翻折到同一平面的AB'KQ,連接8'M'、B，A'.當(dāng)

A'B'取得最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△/'B'M'的面積.

AA

EE

C

SI圖2

圖3

12.ZUCB和△EC。都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD.

(1)如圖①，若△4C8的頂點(diǎn)/在的斜邊Z)E上，請(qǐng)直接寫(xiě)出/E,AD,/C的

數(shù)量關(guān)系

(2)將△ZBC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，點(diǎn)8在線段NE上，連則(1)中的

結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)給出正確結(jié)論并說(shuō)明理由.

(3)在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)4E、8三點(diǎn)共線時(shí)，若NC=37?，CD=x[34,

請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積.

備用圖

13.已知，在△Z3C中，AB=BC,ZABC=90°,點(diǎn)。在射線C8上，連接D4,將線段

DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到DE,過(guò)點(diǎn)E作EMLBC交直線BC于點(diǎn)M,連接AE,

CE.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線段C3上(且不與點(diǎn)C、點(diǎn)8重合)時(shí)，如圖①所示,

①求證：MC—BD-,

②求證：ZACE=90°；

（2）延長(zhǎng)ND與直線CE相交于點(diǎn)M

①當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上（且不與點(diǎn)C、點(diǎn)5重合）時(shí)，如圖②所示，若4D平分NB4C,

且BD=26直接寫(xiě)出線段NE的長(zhǎng);

②噬等寸,

直接寫(xiě)出tan/MDE的值.

tanNMAC

14.在等腰直角三角形/8C中，N84C=90°,AB=AC.點(diǎn)、D,E分別為N8,ZC中點(diǎn),

產(chǎn)是線段。￡上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O,E重合），將線段/尸繞點(diǎn)/逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得

到線段ZG,連接GC,FB.

（I）如圖①，證明：△NF8也△NGC.

（II）如圖②，連接GEGE,GF交AE于點(diǎn)、H.

①證明：在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有NFEG=90°.

②若/B=NC=8,當(dāng)。尸的長(zhǎng)度為多少時(shí)，為等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出。尸的長(zhǎng)

度.

B

C

B

圖①圖②

15.如圖1,在△Z8E和△/（?￡）中，AE=AB,AD=AC,且N84E=NC/。，則可證明得到

△AE8/XABD.

【初步探究】（1）如圖2,△Z8C為等邊三角形，過(guò)4點(diǎn)作ZC的垂線/,點(diǎn)P為/上一

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/重合），連接CP,把線段CP繞點(diǎn)、C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CQ,連

QB.請(qǐng)寫(xiě)出Z尸與8。的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

【深步探究】（2）如圖3,在（1）的條件下，連接尸8并延長(zhǎng)P8交直線C。于點(diǎn)。.當(dāng)

點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到PDLC0時(shí)，若AC~歷，求尸8的長(zhǎng)；

【拓展探究】（3）如圖4,在△/BC中，ZACB=45a,以4B為直角邊,/為直角頂點(diǎn)

向外作等腰直角△/8D,連接CD,若ZC=l,BC=3,則CD長(zhǎng)為.

16.在△ZBC中，N/8C=90°,ZJ=30°,點(diǎn)。是線段4C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上

一點(diǎn)，且BE=BC；

（1）如圖1,連接8。，DE,求的度數(shù)；

（2）如圖2,連接CE,將ABCE沿著8c翻折得到△8CF,連接。尸，G為。尸的中點(diǎn)，

連接BG,并延長(zhǎng)8G交CF于點(diǎn)4,求證：GH=BG+CH；

（3）如圖3,將△N8C沿著8c翻折得到△M8C,在中，C4=3,J是直線C”

上一點(diǎn)，K是射線NC上一點(diǎn)，若滿足必=1,NJBK=60°,請(qǐng)直接寫(xiě)出CK的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

17.如圖1,在等腰直角三角形△N8C中，NBAC=9Q°?點(diǎn)、E,F分別為4B,4C的中點(diǎn)，

〃為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)￡尸重合)，將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得

至U/G,連接GC,BH.

(2)如圖2,連接G凡HG,HG交AF于點(diǎn)、Q.

①證明：在點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有N，/G=90°；

②若/8=NC=2,當(dāng)E"的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△ZQG為等腰三角形？

18.在△/8C中，ZBAC=90°且ZC=/8,點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，把ZE繞著點(diǎn)/逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°后得到線段ND

(1)如圖1,點(diǎn)E在線段AC上且BE平分N/BC,連接DE,射線BE與CD相交于點(diǎn)F.當(dāng)

/C=l,C8=&時(shí)，求ZE的長(zhǎng).

(2)如圖2,點(diǎn)E為△/BC外一點(diǎn)，連接ED、EC、8。，點(diǎn)G為線段8。的中點(diǎn)，射線

G4與CE相交于點(diǎn)”.求證：AHVCE.

(3)如圖3,點(diǎn)E在線段8c上，DE//AB,BE=3,工8=36.點(diǎn)M在射線/E上，

點(diǎn)N在線段4C上，且/歷=CM連接8"、BN.當(dāng)8M+8N最小時(shí)，直接寫(xiě)出△8NC

與的面積和.

圖?

19.己知三角形△力8c繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)得到△/OE.

(1)如圖1,ZCAE=60°,N4CF=NDCE,ZCDE=90°,若8c=2,CD-CF=3,

求力尸的長(zhǎng).

(2)如圖2,連接8。，EC,若48CE=//EG且/GAD=]NCAE，若點(diǎn)下是線段CE

的中點(diǎn)，連接GF,BF,求證8ELGE

(3)如圖3,三角形△Z8C繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)得到△/￡>￡：,若48=3,AC=\,NC4E=90°,

EO和8c所在的直線交于點(diǎn)P,直接寫(xiě)出8。的最大值.

20.已知同一平面內(nèi)，△8OE和△4DC都是等腰三角形，BD=ED,AD=CD,NBDE=N

ADC.

(1)如圖1,8、。、C三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)E在線段ZC上，連接過(guò)。作。尸

_L/8于點(diǎn)F,DHLAC于點(diǎn)H,若4C=6,AD=\[13,求。尸的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若NBDE=/4DC=90°,連接NE,BC,取NE的中點(diǎn)F,連接。尸交8C

于點(diǎn)G,延長(zhǎng)ZE與CD交于點(diǎn)K,若NBCD=2NCAK,求證：BC=2DK；

(3)如圖3,若/8。后=//。。=90°,點(diǎn)/與點(diǎn)后重合，AB=2J1.點(diǎn)初為線段48

中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上一點(diǎn)，連接將△M8N沿翻折到同一平面內(nèi)的△A/7W,

連接C7，再將線段CT繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段C0,連接80,AQ.當(dāng)8。最

小時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)△ZB。的面積.

四3

參考答案

1.(1)證明：是等邊三角形,

：.AB=AC,/8ZC=60°,

'：AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,

:.NDAE=60°,AD=AE,

:.NB4C=NDAE,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ADAC,

即：ZBAD=CAE,

在△8/0和△C4￡中，

'AB=AC

，ZBAD=ZCAE,

,AD=AE

.?.△BAD空/\CAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)由(1)知：ZCAE=ZBAD,

'：ZCAE=ZCBE,

：.NBAD=NCBE,

,:AABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

:.NABD+NCBE=60°,

；.NABD+NBAD=6G°,

/.ZADB=180°-(NABD+NB4D)=120°,

?：AD=AE,ND4E=60°,

/\ADE是等邊三角形，

:.NADE=6Q°,

AZADB+ZADE=1SO°,

:.B、D、E在同一條直線上；

(3)解：如圖，

連接CE,

由（1）得：△BADmdCAE,

：.NACE=NABD,

???△45C是等邊三角形，

:?AB=BC,ZACB=ZABC=60°,

?：BF工AC,

二4即=//?=3。'，dF=/AC=3，

AZACE=30°,

:.NBCE=N4CB+NACE=90°,

點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)C且與BC垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)FE垂直于該直線時(shí)，CE最小（圖中點(diǎn)CE'）,

VZCE'尸=90°,ZACE=30a,

：.FE'=—CF^->

22

??.EF的最小值為：4.

2.解：（1）4c=90°,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

:.AD=BD=CD=LBC,

2

?.?點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)/是AC的中點(diǎn)，

:.DELAB,DFLAC,AE=—AB,AF^—AC,

22

二四邊形?是矩形，

'：AB=AC,

：.AE^AF,

二矩形/即尸是正方形，

：.DE=DF,NEDF=90°,

故答案為：DE=DF,DELDF；

(2)如圖1,

E,

BDC

圖1

△DM是等腰直角三角形，理由如下：

連接4),

由上知：AD=BC,NADB=9Q°,

:.NADE+NBDE=90°,

'：AB=AC,NBAC=90°,。是8c的中點(diǎn)，

，/8=/C=45°,/￡UC=/8/D=//BAC=45°,4D=BD得BC,

：.ZB=ZDAC,

?:BE=AF,

：./\DBE^/\DAF(MS),

：.DE=DF,NADF=NBDE,

:.NADE+N4DF=90°,

:.NEDF=90°,

...△Z)EF是等腰直角三角形；

(3)①如圖2,

△DM仍是等腰直角三角形，理由如下：

連接AD,

由上知：ZDAC=ZABC=45°,AD=BD,

/.180°-Z￡>^C=180°-AABD,

：.NE4D=NDBE,

,:BE=AF,

:.△DBE/4D4F(SAS),

：.DE=DF,NADF=NBDE,

同(2)可得：NEDE=90°,

...△OE尸仍是等腰直角三角形;

②如圖1,

AE=AB-BE=a-b

如圖2,

AE=AB+BE=a+b,

故答案為：。-6或々+6.

圖1

作CG_L8R交BD于G,

:?NBCG=90°,

*：DE=DF,ZEDF=a=30°,

AADEF=ZF=18Q°-^EDF=75-,

2

'：AB=AC,Z5=60°,

.?.△NBC是等邊三角形，Z5GC=90°-Z5=30°,

：.BC=AC,NBDC=NDEF-ZS=15°,

：.ZGCD=ZBGC-ZBDC=30Q-15°=15°,

：.ZGCD=ZBDC,

：.DG=CG,

?：CG=6AG,

：.DG=\T3(4-OG),

:.DG=6-2M，

：,BC=AC=AG=^-(6-2V3)=24-2;

(2)證明：如圖2,

在CG上截取G〃=4G,連接AE,

*：DG=EG,

???四邊形是平行四邊形，

:?AE〃DH,AD//EH,

：.ZGEH=NADE,

*：DE=/DC,AB=AC,

:?/DEC=/DCE,/B=/ACB,

：./DEC-/B=ZDCE-NACB,

：.NADE=NDCA,

：.ZGEH=NDCA,

：.NDEC-/GEH=ZDCE-NDCA,

：.ZHEC=NHCE,

:,EH=CH,

:?DHLCE,

：.AE±BCf

:?BE=CE；

(3)解：如圖3,

作CG_L8O于G,作NGC"=60°,且CH=CG,連接HR

?.?線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段CP,

：.APCP'=60",PC=P'C,

:./GCH=/PCP',

，ZGCH-APCH=NPCP'-NPCH,

：.ZGCP=ZHCP',

：./\CHP'g△CGP(SAS),

:"CHP'=NCGP=90°,

.?.點(diǎn)P'在與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，

作。"LHP',FP'最短，此時(shí)點(diǎn)P在P"處，

將△一'"F沿FP"翻折至△(?"P"F,交射線8C于0',

VZ5=30°,

/.Z5CG=900-Z5=60°,

'：NGCH=60°,

：.ZHCF=\S00-NGCH-NBCG=60°,

?:NH=/FP"H=90°,

：.CH//FP",

：.AP"FC"=NCFP"=180°-Z/7CF=120°,ZP"FQ'=60

：.ZQ'FC"=NP"FC"-NP"FQ'=60°,

.p"Q‘二FP”

??Q'C=FC";CF

,:CG=CE=LBC,CF=CE,

2

：.CH=CF,

■:NCHF=NHCF=60°,

.?.△//CF是等邊三角形，

AZFHP"=NCHP"-ZCHF=90Q-60°=30°,

：.FP"=—HF=—CF=—FC"

222

.P"Q'1

■Q，C.2,

即：當(dāng)FP'最小時(shí)，^-4=4

4.解：（1）BD=CE,理由如下:

是等邊三角形，

；.NB4c=60°,AB=AC,

是由/。繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，

AZDAE=60a,AD=AE,

：.NBAC=ZDAE,

：.ABAC-4DAC=ADAE-ADAC,

即：NBAD=NCAE,

在△8/。和△C4E中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE,

,AD=AE

：.ABADm叢CAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)①由(1)得：NDAE=60°,4D=AE,BD=CE,

/./\ADE是等邊三角形，

：.DE=AE,

：.AE=DE=BE-BD=BE-CE,

故答案為：AE=BE-CE；

②如圖，

ZBAD=45°,理由如下：

連接ZF,作“GLOE于G,

AZAGD=90Q,

:尸是8c的中點(diǎn)，△NBC是等邊三角形，是等邊三角形,

：.AFVBC,ZABF^ZADG=60°,

ZAFB=ZAGD,

：.△ABFs"DG,

.?.膽望_,NBAF=NDAG,

AFAG

，ZBAF+ZDAF=ZDAG+ZDAF,

：.NBAD=NE4G,

二/\ABD^^AFG,

:.NADB=N4GF=90°,

由(1)得：BD=CE,

?:CE=DE=AD,

：.AD=BD,

：.ZBAD=45°.

5.(1)解：如圖1,

作BGL4E于G,

■:/BAC=90°,

/—

AtanZJFC=—=V3,

AF

AZAFC=60°,

??ZE_LCR

???N64G=90°-ZAFE=90°-60°=30°,

*??BGAB，

2

*；AB=AC=g,

???BG哼，

即點(diǎn)8到NE的距離是耳；

2

(2)證明：如圖2,

F

尸圖2

延長(zhǎng)4E至“，使EH=AE,連接CH,

*：AELCF,

:?CH=AC=AB,

???/ACH=2/GCD,

?：BE=DE,

???四邊形ABHD是平行四邊形，

:.DH〃AB,DH=AB,

:./BAD=/CDH,CH=DH,

：.ZACH=/CDH,

：.ZACH=NBAC,

：.NB4c=2NDCG,

*：/GDC=/GCD,

:?DG=CG,/FGD=2/DCG,

：.ZBAC=ZFGD,

平分N4FC,

???NAFD=NGFD,

?；DF=DF,

：./\AFD^AGFD(AAS)f

:?AF=FG,

?；CG+FG=FC,

：.DG+AF=FC；

(3)解：如圖3,

圖3

作點(diǎn)C沿8。翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C',延長(zhǎng)C'A交BC于N,

■:NB4D'=ZBAD=120°,

???點(diǎn)。在NC'上運(yùn)動(dòng)，

作△力8C'的中位線7V,交.AC'于7,交BC于R,

*：AB=ACfN84c=120°,

:?/ABC=/ACB=30°,

9：ZBAN=1800-ABAC1=180°-120°=60°,

AZAVB=90°,

U：TR//AC,,

:,TRLBC,

,/8/C=30°,

-.■BN=XK=-LX12=6

，ZN=AN=2E，

...摩=￡ANS，

作點(diǎn)4關(guān)于77?的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接力'C交77?于H,連接8〃并延長(zhǎng)交M4于。'，此

時(shí)△”/（?的周長(zhǎng)最小，

?加=2舊3岑"哼，

：.AD=AD'=2HV=g,

BD=）（必將）2嗚）2=34，

.ADV3_向

?,麗萬(wàn)廠k

6.⑴解：VZACB+ZECD=ISO°,

???點(diǎn)8,點(diǎn)、C,點(diǎn)。共線,

u

\AB=ACf

：.ZABC=ZACB=50°,

：.ZECD=\30°,

9：CE=CD=BC,

：.ZCED=ZCDE=250,

*：PB=DP,

：.ZPBD=ZPDB=25°,

；?NABP=25°；

(2)如圖2,連接5。，

E

圖2

*：CB=CD,PB=PD,

:?/CBD=/CDB,/PBD=/PDB,

.??/PBC=/PDC,

*：EC=CD,

：./CED=NCDE=/PBC,

VZACB+ZECD=\SO°,ZECD+ZCED+ZCDE=180°,

???ZACB=2ZEDC=2ZPBC,

*：AB=ACf

：.ZABC=/ACB,

NABC=2NPBC,

：.ZABP=/PBC,

???尸3平分48C；

(3)如圖3-1,當(dāng)點(diǎn)力與點(diǎn)￡重合時(shí)，

VZABC=60°,AC=AB=4f

???△45C是等邊三角形，

AZABC=ZACB=ZBAC=60°,

*：AC=CD,

：.ZCAD=ZCDA=30°,

?:PB=PD,

：.ZPBD=ZPDB=30°,

:?NABP=NPBC=30°,

???△48C是等邊三角形，

:?BP是EC的垂直平分線，

:,EP=PC,

：./\EPC是等腰三角形，

/.BE1=AB2=\6,

如圖3-2中，當(dāng)EC=EP時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EHLBP于點(diǎn)、H,連接8￡.

*：PB=PD,CB=CD,

:,PC上BD,PC4分/BPD,

\'ZCED=30°=NECP+/EPC,/ECP=/EPC,

：.ZECP=ZEPC=15Q,

:?NBPC=/EPC=150,

:?/EPH=30°,

：.EH=^-PE=2,PH=2\/3,

2

?:PB=PD=4+4M,

：.BH=PB-PH=4+4\[3-2>/3=4+2A/3,

：.BE2=EH2+BH^=^+(4+26)2=32+16A/§,

如圖3-3中，當(dāng)EC=EP時(shí)，連接BE,作BT±EC于點(diǎn)T.

VZC￡P(guān)=30",

:.NECP=/EPC=15°,

VZ￡CD=120°,

/.ZDCP=ZPCB=45°,

：.ZBCT=30°,

：.BT=^BC=2,CT=2\(3,

：.ET=4-2\I^,

:.Ba=BR+EP=?+(4-2-/3)2=32-166，

綜上所述，80的值為16或32+1R5或32-16五.

7.解：(1)如圖1所示：延長(zhǎng)

①?.?等邊△NBC中，點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，

是8c的垂直平分線，ZBAD=ZCAD=30°,

：.BE=CE,

：.NEBC=NECB,

,：將線段EB繞前E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EF,

：.BE=EF,

：.NEBF=NEFB,

'：ZCEF=ZFEH+ZHEC=ZEBF+ZBFE+ZEBC+ZECB=2ZABE+2ZEBC,

:.NCEF=2NABC=120°；

@AB=AF+\[3AE,

理由如下：

如圖1-1,在4B上截取BM=AF,連接ME,過(guò)點(diǎn)E作EN1AB于N,

圖1-1

*：BM=AF,NAFE=NEBM,BE=EF,

:.4BMEmAFAE(SAS),

：.AE=EM,

又,：EN上AB,

：.AN=MN=—AM,

2

?；NB4D=30°,

：.AE=2NE,AN=^NE,

Vs

：.AN=-AE,

2

：.AM=xl3AE,

:.AB=BM+AM=AF+\[3AE；

(3)如圖2,

?..△N8C是等邊三角形，48=4,點(diǎn)G為/C的中點(diǎn),

：.AC=BC,ZACB=60°,CG=CD=2,

:將△CDG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

:.CM=CN=CG=CD=2,NMCN=NACB=60°,

，NACN=NBCM,

:.ABCMQACN(SAS),

：.ZCAN=ACBM,

...點(diǎn)月，點(diǎn)8,點(diǎn)C,點(diǎn)P四點(diǎn)共圓,

；./BPC=/B4c=60°,

?.,將△CDG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CMM

...點(diǎn)M在以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的圓上,

.?.當(dāng)8M與0C相切于點(diǎn)M時(shí)，△BCP的面積有最大值，如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作8c

圖3

”是OC的切線,

AZBMC=90°=NPMC,

又,.,/BPC=60°,

AZPCM=30Q,

:.CM=MPM=2,

3

:8M=JBC2_CM2=V16-4=2a>

BP=BM+MP=^^~

3

??

?dsin/QPBaC—CM=PH,

BCBP

..2、，8V3_4V3

??rri---X-----------,

433

...△BC尸的面積最大值=工義4乂理工=烈^

233

故答案為烈&.

3

8.解：（1）如圖1,

作MV_L8C于N,

:.NMNB=NMNC=90°,

"：AB=AC,NB4c=90°,

:.NABC=NACB=45°,

在RtAMNB中，

BN=MN=BM*￡n/ABC=2X^^=fi，

2

在RtaCMN中，

tanZ5CD=-=—

CN3

:.CN=3MN=3五，

.,.CM=JMN2RN2=2盜,BC—CN+BN-4\[2，

■:NCNM=ND=90°,ZMCN=ZBCD,

:./\CMNsACBD,

,CM=CN

??而F’

...3_3點(diǎn),

,,MCD

：.CD=^fs，

b

：.DM=CD-CM=

55

(2)如圖2,

A

9

\AD±AEf

:?/DAE=90°,

.??ZDAE=ZBAC,

：./DAE-NBAE=ABAC-NABE,

：.NDAB=NCAE,

在△34D和中，

rAD=AE

<ZDAB=ZCAE,

kAB=AC

:,ABAD出ACAE(SAS),

:?BD=CE,ZAEC=ZADB=ISO°-ZAED=\SO0-45°=135°，

：.ZBDF=ISO°-ZADB=45°,

AZBDF=ZADC=45°,

，?NF+NFCD=/ACB,ZACD+ZFCD=ZACB,

：.ZF=/ACD,

:.ABEDsAACD,

.BD=AD

"DFCD"

,:BD=CE,AD^^-DE,

.國(guó)粵DE

,,DFCD

.V2CE_DE

DRCD'

?：/AEG=/DAE=90°,

J.EG//AF,

:ACEGSMCDF,

.EG=CE

"DFCD

.EGCE

DFDF

：.EG^/^CE=DF；

取8c的中點(diǎn)凡連接。尸，取C尸的中點(diǎn)/,連接用/,

VZBAC=90°,AB=AC=4\[^,

:.BC=?AB=8,

VZ5￡>C=90°,

.?.DF=1BC=4,

?.?點(diǎn)”是CD的中點(diǎn)，

：JM=—DF=2,

2

二點(diǎn)”在以/為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

作O8J_8/,且08=8/=6,連接OE,

,:NEBM=NOBI=90°,

ZEBM-ZOBM^ZOBI-ZOBM,

：.4EBO=ZMBI,

?:EB=BM,

:.叢EBO9XMB1(SZS),

：.OE=1M=2,

...點(diǎn)￡在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

過(guò)點(diǎn)。作ORLAB交。。于點(diǎn)H,

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)〃時(shí)，△48E的面積最大，

在RtZ\O87?中，08=6,/ABO=N0BI-/ABC=90°-45°=45°

=^08=3揚(yáng)

二HR=OR+OH=3?+2,

???SyBE最大弓卷"HR=/x4五X(qián)(372+2)=12+4近.

9.(1)解：如圖1,

,:AC=CD,

：.ZCDA=ZCAD=75°,

AZJCL>=180°-ZCDA-ZCJD=30°,

**-AGAC=,

即：4點(diǎn)CO的距離是3港；

(2)證明：如圖2,

作CG_LZ。于G,交AE于H,連接。R

*：AC=CD,

：.AG=DG,

:?AH=DH,

???ZGAH=NADH,

?：AF=BF,

：.ZGAH=NB,

:./B=/ADH,

：.DH//BC,

:?/EDH=/ECF,/EHD=/EFC,

???點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，

：.DE=CE,

:?/\EDH父AECF(AAS\

:?DH=CF,

J四邊形DHCF是平行四邊形，

:.DF//CG,

：.DFLABf

:?AB=2AD；

(3)解：如圖3,

圖3

延長(zhǎng)。至“，使連接HG,作CG'_LG〃于G',

\UAC=CD,NB4c=45°,

AZADC=ZBAC=45°,

AZACD=90°,

,.,力。=4施，

：,AH=AD=A,

VZBAC=ZEAG=45Q,

???/DAE=/GAH,

：./\ADE^/\AHG(S/S),

：.ZH=ZADC=45°,

點(diǎn)G在直線"G上運(yùn)動(dòng)，

，CG的最小值是CG',

,：AHCG'=90°-NH=45°,

：.ZH=ZHCG',

：.G'C=G'H,

由勾股定理得：G'C2+G'FP=CH2,

：.2G'。=(4A/2-4)2,

：.G'C=4-2V2,

即CG的最小值是4-2方.

10.解：(1),:NBAC=NCBD=9Q°,

:.NDBF+NABC=90°,ZABC+ZC=90°,

二ZDBF=NC,

"：DFLAB,

：.ZDFB=90°,

:./DFB=NBAC=9Q°,

,:BC=BD,

：.^,ABC^^FDB(44S),

：.AB=DF,AC=BF,

BF1

VtanZ5￡)F=-=—,

DF3

二設(shè)力C=8F=a,DF=3a,

:?AB=3a,

:?AF=AB-BF=2a,

在產(chǎn)中，點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)，

：.AD=2EF=4\H3,

在RtA^￡)F中，

產(chǎn)+。尸=/。2,

(3a)2+(2a)2=(4仍分)2,

??Q=4,

：.AC=4；

(2)如圖1,

2BE=AB+AC,理由如下：

將△48C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至/XBDF,連接ZREF,延長(zhǎng)8E至G,使EG=BE,

連接G。并延長(zhǎng)，交3尸的延長(zhǎng)線于〃，

:?BF=AB,ZABF=120°,/BFD=NBAC=120°,

:?NAFB=NB4F=30°,

AZAFD=ZBFD-ZAF,B=\20°-30°=90°,

??,點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，

EF=AE=^^

?；BE=BE,

：./\ABE^/\FBE(SAS),

：.ZABE="，

?：AE=DE,NDEG=/AEB,

:?△DEGmdAEB(SAS)f

：.ZG=ZABE=60°,

：.GH//AB,

：.ZH+ZABF=\^QQ,

AZ//+12O0=180°,

???/〃=60°,

???△5G〃是等邊三角形，

:?BG=BH,

VZDFH=\S0°-ZBFD=[S0°-120°=60°,

**./XDFH是等邊二角形,

：.HF=DF=AC,

：.BG=HF+BF,

.,.2BE=AB+AC；

作△NBC的外接圓O,連接。O,取。。的中點(diǎn)O',連接O'E,

^-BC

可求得。。的半徑為:=4,

sin60c

.?Q后忖OA=2,

連接￡'和O'B,將△80'E繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△8。"E",

有（2）知：ZABE=60°,

二點(diǎn)￡和點(diǎn)夕關(guān)于Z8對(duì)稱(chēng),

二點(diǎn)O"和點(diǎn)0'關(guān)于對(duì)稱(chēng),

延長(zhǎng)。。"至E',則。E'最大,

連接作。尸，8。，交8。的延長(zhǎng)線于凡作O'GJ_O尸于G,

NOBC=30°,

VZABC=nO0,

：.ZOBF=iSO°-ZABC-ZOBC=30°,

??.0尸忖CB=2,8/=^=26，

DF=BD+BF^4\[3+273=6禽，

：.O'G=yOF=1，DG=FG/DF=36，

：.BG=BD-DG=4弧-

：.ZGDO'=30°,O'8=2,

：.O"在08的中點(diǎn)，

作O"LDF于H,作￡1'NLDF于N,

：.O"H^—O"5=1,B=C，

22

DH=BD+BH=AM+V3=56，

DO"=JDH2<)"M=v(5A/3)2+l2=2V19，

由△Z)H9"sADNE'得，

0"H_D0''

E'N-"DF-'

A1_2V19

"EyN2>/19+2'

：.E,『型"

19

7_lnnM_1v./TX19W19_38V3+2V57

..S&BDE.一萬(wàn)BD?EN-yx4V3x——-------------------------

11.(1)解：,.?△/8C和△/￡>￡：均為等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

J.AB^AC,AD=AE,NBAC-NDAC=NDAE-NDAC,

:*NBAD=NCAE,

:.ABAD/MAECSAS),

；.N4CE=NR4D=45°,CE=BD=8,

：.ADCE^ZBCA+ZACE=450+45°=90°,

.'.DE1-CO2=C0=82=64,

有DE-CD=2,

：.DE=\7,CD=\5,

:.BC=BD+CD=8+15=23,

...-8=亞8。=23圾；

22

(2)如圖1,

A

作8c于/，交.BE于N,

"：AB=AC,

：.AM=BM=^C，

VZAHB=ZBMN=90°,

???點(diǎn)4、H、M、3共圓，

???/E4H=NMBN,

?：/BMN=/AMF=90°,

ACASA),

:?NM=MF,

,:MN〃CE,

：?4BMNs/\BCE,

?.M?—N_B—M"-11=1■■,

CEBC2

.?.W=1CE,

由(1)得，CE=BD,

：.DF=DM+MF=BM-BD+^BD得BC-為。得(BC-BD)==CD,

,:CG=EG,

."G=^DE；

(3)如圖2,

連接/M，將△ZMC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△/"/'C,

.'.A"M'.

...點(diǎn)在以Z"為圓心，半徑是6的圓上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)A',A",M'（圖中M"）共線時(shí)，A'M'最大，最大值為A'M"=A'A

+A"M"=8+揚(yáng)

'：KB'=KB=2,

:.前B'在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

.?.當(dāng)，，B',K共線時(shí)，A'B'最小，最小值為，K-KB'=業(yè)*曲/2-2

=2遙-2,

HB'SAKBA',

.B'H_A'B'

"BA7--RA5-，

.H2V5-2

.H=§(10-2右)，

□

???S△…"=勃M"'B‘H=gx(8W2)X-|-(10-2V5)=

80-16祈+1的-2/13

51

12.(1)解：如圖1,

連接BD,

△NC8與△ECO都是等腰直角三角形，

：.NECD=NACB=90°,NE=N/￡)C=/C48=45°,EC=DC,AC=BC,AC^+BC^

=AB2,

：.2AC^=AB2.

"：NECD-ACD=ZACB-NACD,

：.ZACE=ZBCD.

在△NEC和△8DC中，

AC=BC

■ZACE=ZBCD.

,AE=CD

：.4AEC也ABDC(SAS).

：.AE=BD,NE=/BDC=45°,CE=CD,

：.ABDA=NBDC+4￡>C=90",

在RtA4D8中.?:AD2+BD2=AB2,

.../￡)2+N中=2/。.

故答案為：AD2+AE2=2AC2.

不成立，AD2-AE2=