2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)專家點撥-弧長和扇形

狀元必讀專家點撥

狀元必讀［明確直點號注重難篇］

一、考點突破

弧長和扇形這部分內(nèi)容是近幾年中考的熱點，分值一般在5?8分，多以選擇題、填空

題的形式出現(xiàn)，有時也在綜合性較強的大題中有所體現(xiàn)。在各類試題中，主要考查以下幾方

面：（1）靈活應(yīng)用弧長的計算公式解決有關(guān)的問題；（2）運用扇形面積公式進行有關(guān)計算;

（3）求圓錐的側(cè)面積和表面積；（4）組合圖形的面積計算。

二、重難點提示

重點：弧長和扇形面積的計算。

難點：圓錐的側(cè)面積和全面積的計算。

專家.點撥［特惠級/家做力打宣］

一、弧長的計算公式

1.弧長公式：如果弧長為/,圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為，那么弧長的計算公式為

rmr

Tso

2.注意：（1）在運用公式計算時，〃。和180。都不再寫單位。

（2）題目中沒有給出精確度，弧長一定用“兀”表示。

（3）在弧長公式中，已知/,”，r中的任意兩個都可以求出第三個量。

（4）若圓心角的單位不全是度（如：30°1530"）,一定要先化為“度”，然后再用公式計

算。

二、扇形的面積計算公式

1.扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。

2.扇形的面積：如果設(shè)圓心角是“。的扇形面積為5,圓的半徑為r,那么扇形的面積計

算公式為s==。

360

2

nitr~

3.當(dāng)已知半徑和圓心角的度數(shù)求扇形面積時，選用公式5=——；當(dāng)已知半徑和弧長求

360

扇形面積時，選用公式5='＞。

2

三、弓形面積的計算

1.定義：一條弧與它所對的弦所組成的圖形叫弓形。

弧中點到弦的距離叫弓形的高。

2.弓形面積=扇形面積土三角形的面積

四、圓錐的側(cè)面積和全面積

1.圓錐的定義：一個直角三角形繞著一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體叫圓錐。

如圖：直角邊AC叫圓錐的高。

直角邊BC叫圓錐的底面圓半徑。斜邊AB叫圓錐的母線。

顯然：圓錐的高，底面圓半徑和圓錐的母線滿足勾股定理。

2.它的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖：

其中，扇形的半徑是圓錐的母線。

扇形的弧長是圓錐的底面圓周長。

由于扇形面積=L/R（其中/表示扇形的弧長，R表示扇形的半徑）

2

所以圓錐的側(cè)面積=4“（其中r表示圓錐的底面圓半徑，/表示圓錐的母線）

3.圓錐的全面積=圓錐的側(cè)面積+底面圓面積。

即s圓錐全=%+s底

狀元捉?信11【限空例題剖析激話解題思維】

能力提升類

例1如圖，。0|和。02外切于點C,外公切線分別切兩圓于A、B,若。01的半徑為

3cm,。。2的半徑為1cm,求陰影部分的周長。

一點通：若求陰影部分的周長，先要求公切線AB、病、叁的長，根據(jù)弧長計算公式,

我們只要知道NA0C和ZB02C的度數(shù)就可以了。

解：過6作AO的垂線，交AOi于點D。

/.OiD=2cm,OiO2=4cm,

???在直角三角形DO1O2中，

.,.ZDOiC=60°o

???NBO2c=120。

人小2

：.AC=7T,BC=-?r,AB=26

???陰影部分的周長為《乃+2y/3）cm。

例2如圖，P、Q是半圓上的三等分點，C是直徑AB延長線上的一點，若AB=6,

求圖中陰影部分的面積。

一點通：題圖形是不規(guī)則圖形，不易直接求出，所以要將其轉(zhuǎn)化為與其面積相等的規(guī)則

圖形，連接OP、0Q,那么所求的陰影面積就轉(zhuǎn)化為求扇形面積POQ了，再根據(jù)扇形的面

積公式很容易求出陰影面積。

解：連接PO、QO、PQ

：P、Q是半圓上的三等分點，

；.PQ〃AB

?

??qa^POQ_-q

._60^-32_3

??。陰影一）扇形POO-36（）一］萬

點評：在等積轉(zhuǎn)化中：可根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等變換圖形；可根據(jù)同底（等底）同

高（等高）的三角形面積相等進行轉(zhuǎn)化。

綜合運用類

例3如圖，圓錐的母線長是3,底面半徑是1,A是底面圓周上一點，一只小蟲從A

點出發(fā)，繞側(cè)面爬行一周，再回到A點的最短的路線長是多少？

一點通：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，從A點出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到4點的最短的路

線即展開得到的扇形的弧所對的弦長，可轉(zhuǎn)化為求弦長的問題.

解：將圓錐沿母線SA作側(cè)面展開圖，得扇形SA4,如圖所示。

設(shè)由扇形弧長等于底面圓周長，得”=2萬J,

180

...“=120°,

NASA'=120°。

連接A4',過S作SMLA4'于M,

二ZASM=60。。

.?.在Rtz^ASM中，ZSAM=30°,SA=3>.

3

2

由勾股定理得AM=空，

2

/.A4,=2AM=3Go

答：小蟲爬行的最短路線長是3月。

點評：正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的底面圓之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解

圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長。

例4如圖，有一直徑是1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角是120。的扇形

ABC,求：

（1）被剪掉的陰影部分的面積；

（2）用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓半徑是多少？

一點通：（1）要求陰影部分的面積，只需求圓的面積與扇形的面積之差，因此必須先由

條件求出圓、扇形的半徑；（2）由扇形的弧長即所圍成的圓錐的底面圓的周長可解決此問題。

解：（1）設(shè)。為圓心，連接。4,OB,OC.

■：OA=OC^OB,AB^AC,

...AABO絲A4cO。（SSS）

又NBAC=120°,

...N8AO=NC4O=60°。

.?.AABO是等邊三角形。AB

2

_當(dāng)

G旃"X⑸flY

_71

-~~~?0

12

??S陰影=^xl-I--

7t

7

(2)在扇形ABC中，的長為恐乃xLJT

-0設(shè)底面圓的半徑為

18023

7t

貝ij2m

6

點評：解決實際問題的解題思路是：實際問題T轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題T數(shù)學(xué)模型T數(shù)學(xué)結(jié)論

T回歸實際問題T實際問題的解答。

思維拓展類

例5。。的直徑A6=2的，過點A的兩條弦AC=41cm，AD=，求ZC4D

所夾的圓內(nèi)部分的面積。

一點通：此題可將其分為圓心在NC4O內(nèi)和在NC4。外兩種情況進行說明，許多同學(xué)

由于考慮不全面，容易出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。

解：(1)當(dāng)圓心在NC4O內(nèi)部時：如圖所示，連接OC、O。，則所求面積為

2+6+3/（而）。

^&AOC+S扇形BOC+Sg。。

412

(2)當(dāng)圓心在NC4O外部時：如圖所示，連接OC、OD,則所求面積為

\

2

S&4OC+S扇形cooSMOD—(cm)o

12J

點評：所謂分類思想，就是當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須

按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論。分類必須遵循一定的原則：

每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進行；不重、不漏、最簡。

例6如圖所示，在直角扇形A8C內(nèi)，分別以A8和AC為直徑作半圓，兩條半圓弧

相交于點。，整個圖形被分成加，S2,S3,S,四部分。請同學(xué)們思考S?與S’的關(guān)系，

并證明。

一點通：本題考查不規(guī)則圖形的面積，應(yīng)用轉(zhuǎn)化和等號代換的思想方法解決。

解：S2和S,相等。

證明：如圖所示，

連接AO并延長交弧CB于點E，則點B，D，E之間的陰影部分的面積是!§2,點

2

A，O之間的陰影部分的面積是;設(shè)以A3為半徑的圓的面積為5八，A，B，D之

間的空白部分面積為5。

因為；S2=s扇形s=Es,|—s；

Z0

彳§4=S扇形mg-S=-S-S

2.oAo

所以82=64

點評：轉(zhuǎn)化思想在圓中的應(yīng)用主要有：化“曲面”為“平面”，化不規(guī)則圖形面積的求

解為規(guī)則圖形面積的求解。

狀元造記【萬元妙招及叼總結(jié)】

1.運用從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法探索弧長公式和扇形面積公式，即通過對特殊角

度的圓心角所對弧長的分析，推出任意角度的圓心角所對的弧長計算公式。扇形面積公式推

導(dǎo)方法與弧長公式的類似。

2.公式法：在有關(guān)圓周長、圓面積、弧長、扇形面積以及圓柱、圓錐側(cè)面積的計算中，

有一些題型可以直接由相關(guān)公式求出結(jié)果，但運用公式時要注意公式中各字母的意義，避免

混淆。

高頻疑點【網(wǎng)員熱Q問題畫貶

問題：如圖，圓錐的底面半徑為6cm,母線長12cm,C為母線的中點，一只小蟲從點

A沿圓錐的表面爬行到點C,求它的最短路程。

錯解：連接AC,AB，則APA6是等邊三角形，又點。是P6的中點，所以ACJ.P6,

在RzAPAC中，由勾股定理得AC=6gc/?2。

錯解分析：圓錐的側(cè)面是一個曲面，而不是平面，這里錯誤地把它當(dāng)作一個平面，應(yīng)該

先把側(cè)面展開成一個平面，再在展開圖中研究最短距離。

正解：如圖，將圓錐沿母線尸A剪開并展開得到扇形PA4,點8是篇，的中點，則

ZAPB=ZAPB，

由題意知金易，的長為12萬，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為18",即NAP4=180°,所

以NAPB=90°。連接AC,在R/APAC中，AP=12，PC=6,由勾股定理得

AC=6限cm）o即小蟲爬行的最短路程為6岳cm。

狀元試題［其打演練，.壬狀元］

（答題時間：50分鐘）

一、選擇題

1.以矩形A8C。的頂點A為圓心，為半徑畫弧與AO的延長線相交，如圖所示，若

圖示兩個陰影部分的面積相等，則矩形兩邊。與匕的比值為

2.如圖所示，邊長為12m的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A,B,C,。處各有

一棵樹，且A8=6C=CD=3加。現(xiàn)用長4根的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹上，為了

使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在（）

A.A處B.B處C.C處D.D處

*3.已知MBC為直角三角形。分別以直角邊AC,為直徑作半圓AmC和

以AB為直徑作半圓AC8,如圖所示，記兩個月牙形陰影部分面積之和為酬，AA6C的面

積為$2，則跖和S2的大小關(guān)系為（）

A.S1<S2B,S|=S2C.S|>S2D.不能確定

4.下圖為農(nóng)村常搭建的橫截面為半圓形的全封閉塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考慮塑料薄

膜接頭重合及埋在土里的部分，那么搭建一個這樣的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面積是

A.64萬nPB.72)m2C.78^m2D.80m2

二、填空題

5.已知圓錐的底面直徑為4,母線長為6,則它的側(cè)面展開圖的圓心角為0

6.已知在A4BC中，AB=6,AC=8,NA=90°,把繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周

得到一個圓錐，其表面積為M，把R/AABC繞直線A3旋轉(zhuǎn)一周得到另一個圓錐，其表面

積為S2,則S,:S2等于o

7.如圖所示，四邊形Q45c為菱形，點8，c在以點O為圓心的會上，若。4=3,

Zl=N2，則扇形OEF的面積為______________________o

B

8.如圖是一單位擬建的大門示意圖，上部是一段直徑為10m的圓弧形，下部是矩形

ABCD,其中AB=3.7m,BC=6m,則蠢的中點到8C的距離是

_________________mo

9.如圖所示，在中，ZC=90°,AC=BC=a,分別以A，B，C為圓心,

以-AC為半徑畫弧，三條弧與邊A3所圍成的陰影部分面積為

2

10.如圖所示，在半徑為「的。。中，AB為直徑，C為篇的中點，。為加的三分之

一分點，且品的長等于兩倍的名的長；連接AD并延長交。。的切線CE于點七（C為

切點），求AE的長。

11.400m標(biāo)準(zhǔn)跑道的內(nèi)圈由兩段長約85.96m的直線段和兩個半徑為36m的半圓組成,如

圖1所示。這里的“400m”路程指在內(nèi)圈外側(cè)，距內(nèi)圈0.3m處一圈線路的周長，這一線路通

常稱作運動員的實際“跑圈”，如圖2所示靠近內(nèi)圈的虛線部分。不論跑內(nèi)、外圈，直道（直

線段）部分的長是相同的，而彎道（半圓）的長隨著半徑的增加而增加，通常一條跑道的寬

是1.25m,且規(guī)定第2至第8條跑道運動員的實際跑圈是分道線外側(cè)0.2m處（圖2所示相

應(yīng)虛線部分）。

（1）求相鄰兩條跑道的跑圈之間彎道半徑的差。

（2）為了保證各條跑道上運動員實際跑圈的路程都是400m,相鄰兩條跑道之間，外

側(cè)一條跑道的起點應(yīng)比內(nèi)側(cè)-條跑道的起點超前多少？第8條跑道的起點要比第1條跑道的

起點超前多少（保留3個有效數(shù)字）？

小事體現(xiàn)性格，細(xì)節(jié)決定命運.

f等試題答案

1.D解析：由條件易知扇形的面積與矩形的面積相等，即?1■加2=。匕，由此得0=3,

4b71

應(yīng)選D。

2.B解析：如圖所示，若將繩子拴在A處，則羊在草地上活動區(qū)域的面積

=—^x42+—^xl2=8.25%（加2）；

24

同樣地，若將繩子拴在3處，則羊在草地上活動區(qū)域的面積=12%

若將繩子拴在C處，則羊在草地上活動區(qū)域的面積=8.25加/.

若將繩子拴在。處，則羊在草地上活動區(qū)域的面積=8加2。

3.B解析：

11,11,11,

S]=S1MBe+S半0U,"C+S半圓—S半圓ACB=S14ABe+弓乃（弓AC）+-7T（—BC）——7r{-AB）

=S+-TT（AC2+BC2-AB2）=S,應(yīng)選B。

282

4.A解析：所求塑料薄膜的面積應(yīng)是半個圓柱的側(cè)面積與兩個半圓面積的和。半個圓柱

的側(cè)面積=〃*2乂30=60河L而兩個半圓面積之和=〃x2?=4勿J?。所以，塑料薄膜

的面積=64%療。

5.120°解析：由題可得4萬=色竺即〃=120°。

180

6.2:3解析：如圖所示，當(dāng)以AC為軸旋轉(zhuǎn)時，S表="?+S他，AB為底面圓半徑，BC

為母線長10,則S表=36乃+60萬=96萬。

=80萬，所以

962

S表=S底+S側(cè)=的乃+80?=144萬，所以S:52=詔=§

7.3萬解析：連接OB,由OC=O3=CB和NCO3=60°,同理N」BQ4=60°,則

4400=120%又由N1=N2,則//OE=NAOC=120°,所以扇形OE尸的面積為：

爐120Q

3x萬x=3乃o

360

8.4.7解析：如圖所示。

作/E_LAD,并延長使/。=56。

連接。4,0D,

則點。是月D所在圓的圓心。

在R/AAOE中，AE=^AD=3m,OA=5m

OE=^O^-AE2=4m,EF=Im,FG=4.7m

4—7T