2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上學(xué)期同步考點(diǎn)解讀訓(xùn)練1

專題L1探索勾股定理（能力提升）

一、選擇題。

1.（2022春?中山市期中）△ABC中，A8=13,AC=15,高AD=12,則BC的長(zhǎng)為（）

A.14B.4C.14或4D.以上都不對(duì)

2.（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）如圖所示：是一段樓梯，高8c是3斜邊AC是5〃z,如果在

樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（

B.6mC.7inD.Sm

3.（2021?山西）在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖圖形，驗(yàn)證著名的勾

股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證

明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律,

它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（)

B.分類思想

C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

4.（2021秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，NA=25°,NB=65°,則下列式子成立的

是（）

A.AC2+BC2^AB2B.AB2+BC2=AC2

C.AC2-BC2=AB2D.AC2+AB2=BC2

5.（2022春?紫金縣期中）如圖，在RtZ\ABC中,NA=90°,NABC的平分線8力交AC

于點(diǎn)￡>,AO=2,BC=1,則△8OC的面積是（)

RrA.2B.7C.9D.146.（2022春?壽光市期中）如圖，為了

求出分別位于池塘兩岸的點(diǎn)A與點(diǎn)2的距離，小亮在點(diǎn)C處立一標(biāo)桿，使NABC是直角,

測(cè)得AC的長(zhǎng)為85,〃，BC的長(zhǎng)為75〃?，則點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離是（）

7.（2022春?延津縣期中）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是

由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=]3,則￡產(chǎn)的值是（）

8.（2022春?香河縣期中）如圖，在RtZXB。。中，分別以B。，OD,8。為直徑向外作三

9.（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△ABC中，NACB=90°,AC：BC=4：3,這個(gè)直

角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角

邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方

形.圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的

周長(zhǎng)為12,那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（）

275

D.30010.（2022?溫州）如圖,在RtzXABC中，DACB=90°,以其三邊為邊向外作

正方形，連結(jié)CF,作GMLCF于點(diǎn)M,BJ1GM于點(diǎn)J,于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)

L.若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,CE=^/75+衣，則CH的長(zhǎng)為

()

E

C

3點(diǎn)c.2V2

D.^/To

二、填空題。

11.（2022春?深口區(qū)期末）在RtZXACB中，ZC=90°,A。平分/BAC交8c于點(diǎn)D若

AB=10,AC=6,BD=5,則點(diǎn)。到AB的距離是.

-B12.（2022春?濟(jì)源期末）如圖，已知所有的四邊形是正方形，三角形是

直角三角形，且其中最大的正方形面積為6cm2,則圖中所有的正方形的面積之和為

13.（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法,

該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理.若圖中空白部分的面積是14,整個(gè)圖形（連同空

白部分）的面積是36,則大正方形A8CO的邊長(zhǎng)是.

14.（2022春?東港市期末）如圖，在RtZ\ABC中，乙4=90°,AB

=3,BC=5,BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)E,則AD

15.（2022春?鄭州期末）如圖，在aABC中，AC=BC,NC=90°,4。是△A8C的角平

分線，DE±AB,垂足為E,若AB=4,則8=

（2022春?咸安區(qū)期末）如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D

案，它是由一串有公共頂點(diǎn)。的直角三角形組成的，圖中的OA\—A\AI=AIA3——-

4748=1,按此規(guī)律，在線段04,042,043,…，04。中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有

（2022春?崇陽(yáng)縣期末）正方形ABC力的邊長(zhǎng)為1,其面積

記為Si,以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外

作正方形，其面積記為S2,…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為

（2021秋?龍灣區(qū)期中）如圖,

在AABC中，NACB=90°,以AC,BC和AB為邊向上作正方形ACE。和正方形BCM/

和正方形ABGR點(diǎn)G落在M/上，若AC+BC=7,空白部分面積為16,則圖中陰影部

分的面積是.

三、解答題。

19.（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c.現(xiàn)把

它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中

（2021春?南開區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZC=

90°,ZABC=135°,CD=6,AB=2,求四邊形A8CQ的面積.

（2022春?夏邑縣期中）如圖，已知RtAABC中，ZC=90°,AC

=VT0+V2,BC=K-近,求:

(1)RtzXABC的面積;

（2）求斜邊48上的高.

力22.（2022春?玉山縣期中）在RtZ\A8C中，兩條直角邊AB,BC的長(zhǎng)c,

a滿足|4-c|+“2-10a+25=0.

（1）求4c的長(zhǎng).

(2)求RtZXABC的面積.

23.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足/I

=/2,則稱點(diǎn)尸為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”.

(1)如圖①，若點(diǎn)。是△ABC的邊A8的中點(diǎn)，AC=2&,AB=4,試判斷點(diǎn)。是不

是△ABC的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，在RtzXABC中，NC=90°,A8=5,AC=4,若點(diǎn)。是△ABC的"理想

點(diǎn)”，求CQ的長(zhǎng).

春?寧波期中)圖1是一個(gè)“有趣”的圖形，它是由四個(gè)完全一樣的直角三角形圍成的一

個(gè)大正方形ABCD,并且直角三角形的斜邊又圍成一個(gè)小正方形MNQP.已知每個(gè)直角

三角形直角邊分別是a,b(a〈b),斜邊為c.根據(jù)這個(gè)圖形我們可以得到一些很好用

的結(jié)論.

圖1圖2(1)如圖1,設(shè)中間的小正方

形MNQP面積為Si,請(qǐng)用兩種方法來(lái)表示SI.

(2)如圖2,將四個(gè)三角形向里面翻折，剛好又能形成一個(gè)更小的正方形ABC'D'.已

知正方形A8C'。，的邊長(zhǎng)為3,正方形A8C。的邊長(zhǎng)為9.請(qǐng)求出“，6的值.

(3)連結(jié)8￡>',若B'D，//AD,請(qǐng)問(wèn)NQMN是多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.(2022春?河?xùn)|區(qū)期中)如圖，已知中，ZB=90°,AB=16a*,BC=T2cm,P、

。是AABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)尸從點(diǎn)4開始沿A-B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒lew

點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿B-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2°〃，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止.

(1)P、Q出發(fā)4秒后，求尸。的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，能形成直角三角形？

（2022春?壽光市期

中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形.

（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為“，較

短的直角邊為從斜邊長(zhǎng)為c,結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理.

（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的

周長(zhǎng)為24,OC=3,求該飛鏢狀圖案的面積.

（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD,正方形

EFGH,正方形MNK7的面積分別為Si,S2,S3,若SI+S2+S3=40,則S2=.

（能力提升）

一、選擇題。

1.（2022春?中山市期中）△ABC中，AB=13,AC=15,高40=12,則8C的長(zhǎng)為（）

A.14B.4C.14或4D.以上都不對(duì)

【答案】Co

【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=\3,AC=15,8c邊上高AO=12,

在Rt/XABC中48=13,AD=\2,由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=]32-122=25,

則BD=5,

在中AC=15,AD=12,由勾股定理得

CD2^AC2-AD1^\52-122=81,

貝I」8=9,

故BC=BD+DC=9+5=14；

(2)鈍角△ABC中，48=13,AC=15,BC邊上高AO=12,

在RtZ\A8￡)中AB=13,AD^12,由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=\32-122=25,

則BD=5,

在RtZXACQ中AC=15,40=12,由勾股定理得

CD2^AC2-AD2^]52-122=81,

則CD=9,

故BC的長(zhǎng)為DC-80=9-5=4.

故選：C.

（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）如圖所示：是一段樓

梯，高3。是3加，斜邊AC是5〃?，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）

5mB.6mC.7mD.8/?2

【解答】解：:△ABC是直角三角形，BC=3m,AC=5m

AB=VAC2-BC2=V52-32=4W'

???如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為A8+8C=7米.

故選：C.

3.（2021?山西）在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖圖形，驗(yàn)證著名的勾

股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證

明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，

它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

b

A.統(tǒng)計(jì)思想B.分類思想

C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

【答案】Co

【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證

明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：C.4.（2021秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，NA=25°,ZB=65°,則下列

式子成立的是（）

A.AC2+BC2^AB2B.AB2+BC2^AC2

C.AC2-BC2^AB2D.AC2+AB2=BC2

【答案】Ao

【解答】解：；在△A8C中，NA=25°,ZB=65°,

r.ZC=1800-ZA-ZB=90°,

.?.△ABC是宜角三角形,

故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)8、C、。錯(cuò)誤,

故選：A.

5.（2022春?紫金縣期中）如圖，在RtZ\A8C中,ZA=90°,NABC的平分線8。交AC

于點(diǎn)。，AD=2,BC=7,則△8CC的面積是（）

2B.7C.9D.14

【答案】Bo

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于點(diǎn)E,

平分/48C,/A=90°,DE1.BC,A￡)=2,

：.AD=DE^2,

BC=1,

：./\BDC的面積=JL?BC?DE=』X7X2=7,

22

故選：B.

6.（2022春?壽光市期中）如圖，為了求出分別位于池塘兩岸的點(diǎn)A與點(diǎn)8的距離，小

亮在點(diǎn)C處立一標(biāo)桿，使/A8C是直角，測(cè)得AC的長(zhǎng)為85〃i,8c的長(zhǎng)為75%,則點(diǎn)4

A.20mB.4QmC.3QmD.5Qm

【答案】Bo

【解答】解：由題意得，AC=85"7,BC=75W,

在RtZXABC中，^?=VAC2-BC2=V852-752=40（機(jī)）.

即A、8兩點(diǎn)間的距離為40"?.

故選：B.

7.（2022春?延津縣期中）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是

由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE-13,則E產(chǎn)的值是（）

1

-------------—CA.128B.64C.32D.144

【答案】A。

【解答】解：BE=\3,

?*MB=VAE2+BE2=V52+132=^194,

小正方形的面積為：2-H1lx4=194-130=64

2

由圖可得，E產(chǎn)的值等于小正方形的面積的2倍，

...E產(chǎn)的值是6442=128,

故選：A.

8.（2022春?香河縣期中）如圖，在中，分別以2￡）,OD,80為直徑向外作

三個(gè)半圓，其面積分別為Si,S2,S3,若Si=40,S3=18,則8=()

A.18B.20C.22D.24

【答案】D。

【解答】解：,

：.BO2+DO2=DB2,

(BD)2=.,BD29；

228

S2=ln⑨)2=兀?0口2；

228

9

S3=U(PB)2=.?0B2；

228

.,.52+53=—(.OIJ^+BO2)=2LBD1=S3,

88

即52+53=Si.

VSi=40,S3=18,

；.S2=40-18=22,

故選：C.

9.(2022春?張灣區(qū)期中)如圖①，在△A8C中，N4CB=90°,AC：BC=4：3,這個(gè)直

角三角形三邊上分別有一個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作直角

邊之比為4：3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方

形.圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的

周長(zhǎng)為12,那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為()

c

A.225B.250C.275

D.300

【答案】D?！窘獯稹拷猓涸O(shè)AC=4x,則BC=3x,

由勾股定理得：AB=yjAC?+BC2=5x，

???△ABC的周長(zhǎng)為12,

?二3x+4x+5x=12,

解得：x=l,

：.AC=4fBC=3,AB=5,

第1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+32+42+52=25X2+50,

第3次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42+32+42+32+42+52-25X

3+50,

笫10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25X10+50=300,

故選：D.

10.（2022?溫州）如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連

結(jié)CF,作GMLCF于點(diǎn)M,于點(diǎn)J,AKL即于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)、L.若正方形

48GF與正方形JKLW的面積之比為5,CE=5/T0+V2，則CH的長(zhǎng)為（)

E

R§忐

.近D.-----------C.2&

2

【答案】C。

【解答】解：設(shè)CF交A8于P,過(guò)C作CN_LA8于N,如圖:

設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m,

正方形JKLM面積為山2,

：正方形A8GF與正方形JKLM的面積之比為5,

???正方形ABGF的面積為5〃?，

.'.AF—AB=yf5m,

由已知可得：ZAF￡=90°-ZMFG=ZMGF,ZA￡F=90°=NFMG,AF=GF,

.".△AFL^AFGM（A45）,

'&AL=FM=x,則尸/,=尸例+〃/,=工+,3

在RtZ\AFL中，Al7+Fl7=AF2,

；./+Cx+m）2=（V5w）2,

解得或》=-2，"（舍去），

：.AL=FM=m,FL=2m,

\"tanZAFL——=-=—=A,

AFFL2m2

..AP”

臟＞m2

;.AP=^-^,

2_________________

???^=VAP2+AF2=戶+（粕m）2=?，"，BP=AB-AP=y/5m-?

遍m

一,

2

：.AP=BP,即P為A8中點(diǎn)，

VZACB=90°,

：.CP=AP=BP=^-^,

2

,:4CPN=/APF,ZCNP=90°=ZFAP,:./\CPNsXFPA,

m

.CP=CN=PN即2=CN=_PN

FPAFAP互mv5m'/5m

2m~2~

:.CN=m,PN=Ln,

2

AN=AP+PN=^,

2

tan/BAC=K=^-=-7=^—=-=^—,

ACAN-5+1V5+1

2m

,//XAEC和△8C”是等腰直角三角形，

:.叢AECS^BCH,

.BC=CH

"ACCE'

VCE=Vl0+V2,

.2_CH

"V5+1V10W2,

：.CH=142,

故選：c.

二、填空題。

11.（2022春"錄口區(qū)期末）在RtZXACB中，ZC=90°,AO平分N84C交8C于點(diǎn)O.若

48=10,AC=6,80=5,則點(diǎn)。到A8的距離是3

C

D

AB【答案】3。

【解答】解：在RtZ\A8C中，由勾股定理得,

BC=VAB2-AC2=V102-62==8,

"：BD=5,

平分NBAC,

.?.8—3,

...點(diǎn)。到AB的距離是3,

故答案為：3.

12.（2022春?濟(jì)源期末）如圖，已知所有的四邊形是正方形，三角形是直角三角形，且其

中最大的正方形面積為6cm2,則圖中所有的正方形的面積之和為12cm1.

【解答】解：如圖，S(d=b2,S②=J,S@=<r,a1+b1=c1.

所以S1+S@Sj；-6cnr1

所以5i+S②+S③=2S：?=12cw-.

故答案為：12.

（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法,

該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理.若圖中空白部分的面積是14,整個(gè)圖形（連同空

白部分）的面積是36,則大正方形4BCQ的邊長(zhǎng)是5.

B【答案】5。

【解答】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,

'21

c-7-abX2=14

根據(jù)題意得《,

c2Tx2=36

解得:？=25,

解得：c=5或-5（舍去），故大正方形的邊長(zhǎng)為5,

故答案為：5.

14.（2022春?東港市期末）如圖，在RtZXABC中，NA=90°,AB=3,BC=5,8c的垂

直平分線交AC于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)E,則AO=_Z

【解答】解：的垂直平分線交4c于點(diǎn)。，

：.BD=CD,

在中，由勾股定理得，AC=4,

設(shè)AD=x,則CD=BD=4-x,

在中，由勾股定理得，

X2+32=（4-x）2,

解得x=工，

8

8

故答案為：工.

8

15.（2022春?鄭州期末）如圖，在aABC中，AC=BC,NC=90°,是△ABC的角平

【解答】解：'：AC=BC,ZC=90°,

:.AC=±ZAB=2五,

2

U：AD是△ABC的角平分線，

：.ZDAC=ZDAE,VZC=ZAED=90°,

???ZADC=ZADE,

：.AC=AEt

：.BE=AB-AE=4-2加,

VZB=45°,ZDEB=90°,

：.ZEDB=ZB=45°,

:?DE=BE,

:4。是△ABC的角平分線，DELAB,ZC=90°,

:.CD=DE=4-2近,

故答案為：4-2&.

16.（2022春?咸安區(qū)期末）如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公

共頂點(diǎn)。的直角三角形組成的，圖中的OA\—A\AZ—AIA3—---AIA^—\,按此規(guī)律，

在線段。41,0A2,0A3,…，OA10中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有3條.

【解答】解：=

???由勾股定理可得OA2=J]2+]2=&,

OA3=V3，

???,

?*.OAn=^fri，

,在線段。4,042,043,…，。40中，完全平方數(shù)有1,4,9,

故長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有3條.

故答案為：3.

17.（2022春?崇陽(yáng)縣期末）正方形4BCO的邊長(zhǎng)為1,其面積記為Si,以CO為斜邊作

等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為

S2,…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為

冬

1/I-----------b

22021—,

【答案】武。

【解答】解：如圖所示，

￥

〃

S1

A------------------8?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ACDE為等腰直角三角

形，

.,.DE2+CE2=CD2,DE=CE,

???S2+S2=Sl.

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Si=l2=l,S2=-51=A,53=—S2=—=-^-,S4=—S3=—=

2

2224228

工…，

23

2n-1

當(dāng)”=2022時(shí)，52022=—1-,

22021

18.（2021秋?龍灣區(qū)期中）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,以AC,BC和AB為邊

向上作正方形ACE￡＞和正方形BCM/和正方形ABG尸，點(diǎn)G落在例/上，若AC+BC=7,

空白部分面積為16,則圖中陰影部分的面積是

【答案】

5

【解答】解：如圖,

?.?四邊形A8G尸是正方形,

次8-G=/4CB=90°,

：.ZFAC+ZBAC=ZMC+ZABC=90°,

：.ZFAC=ZABC,

:.△FAHQXABN(ASA),

:&FAH=S3N,

??St^ABC~SFNCH>

在△ABC中，ZACB=90°,

.,.A^+BC^^AB2,

：AC+8C=7,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC-BC=49,

.".AB2+2AC^C=49,

'：AB--SMBC=16,

：.AB2-Uc?8C=16,

2

，8C?AC=V@，，陰影部分的面積和=AC2+8C2+3S△ABC-A82=3SAA8C=3BUAC=

52

_3x66=99

~2~5~5"

故答案為：毀

5

三、解答題。

19.（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c.現(xiàn)把

它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中

的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?

圖形的總面積可以表示為：，2+2乂』曲=’2+油,

2

也可以表不為：cr+b~+2X—（ib=a^+b~+ub,

2

所以，J+ab=a2+b2+ab,

所以，a2+Z>2=c2.

20.（2021春?南開區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。中，NA=NC=90°,NABC=135°,

CD=6,AB=2,求四邊形ABCZ）的面積.

???NOBC=45°,ZBCO=90°,

???NO=45°,

VZA=90°,

—45°,

貝l]OB=y/2BC,OD=MOA,OA=AD,BC=OC,

設(shè)8C=OC=x,則80=&x,

,:CD=6,AB=2,：.6+X=42（V2X+2）,

解得：x=6-2近,

/.OB—y/2x=6-\[2-4,BC=0C=6-2A/2,OA=4￡>=2+6&-4=6>/2-2,

四邊形ABCD的面積S^S^OAD-SAOBC=AXOAXAD-^XBCXOC

22

=JLX(6172-2)X(6&-2)-Ax(6-2V2)X(6-2&)

22

=16.

故四邊形ABCD的面積為16.

°...c°21.(2022春?夏邑縣期中)如圖，己知Rt/XABC中，NC=90°,

AC=VTO+V2,BC—Y[IO-V2,求：

(1)RtZXABC的面積；

(2)求斜邊AB上的高.

C11--------、A【解答】解：(1)S"8C=1BUAC

2

=lx(V10+V2)X(A/10-V2)

2

=Ax(10-2)

2

=4；

(2)設(shè)斜邊A8上的高為6,

22=2-

由勾股定理得：^S=VBC2+AC2=V(V10W2)+(V10-V2)^，

則JLXA8X/Z=4,即?1X2&X〃=4,

22

解得：/?=漢巨，

3

答：斜邊A3上的高為會(huì)⑥.

3

22.(2022春?玉山縣期中)在RtZ\4BC中，兩條直角邊48,BC的長(zhǎng)c,“滿足|4-c|+“2

-10a+25=0.

(1)求4c的長(zhǎng).

(2)求RtZXABC的面積.

【解答】解：(1)V|4-c|+a2-10a+25=0,

/.|4-c\+(a-5)2=0,

，a=5,c=4,

：.AC=yj42+52=^/41；

(2)ZVIBC的面積=*X4X5=10.

23.(2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中)定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足/I

=Z2,則稱點(diǎn)。為這個(gè)三角形的''理想點(diǎn)”.

(1)如圖①，若點(diǎn)。是aABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=2&,AB=4,試判斷點(diǎn)。是不

是△ABC的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若點(diǎn)。是△ABC的“理想

點(diǎn)”，求C。的長(zhǎng).

圖①圖②【解答】

解：(1)點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)”，理由如下：

?.?。是AB中點(diǎn)，AB=4,

：.AD=BD=2,

,:AC=2近,

：.AC2=AD'AB,

.AC=AB

"ADAC'

,：ZA=ZA,

：.AACD^/\ABC,

.".ZACD^ZB,

...點(diǎn)。是△A8C的“理想點(diǎn)”；(2)①。在A8上時(shí)，如圖：

ADBD是△ABC的“理想點(diǎn)”，

NACD=NB或N8CD=乙4,

當(dāng)NACQ=N8時(shí)?，

'：ZACD+ZBCD=90°,

/.ZBCD+ZB=90°,

，NCO8=9()°,即CO是AB邊上的高，

當(dāng)NBCQ=NAn寸，同理可證/CQ8=90°,即CQ是A8邊上的高,

在RtZ\A8C中，ZACB=90°,48=5,AC=4,

?*,BC=VAB2-AC2=3，

"：SMBC=^AB'CD=^ACTBC,

22

；.8=烏

5

②；AC=4,8c=3,

."OBC有

“理想點(diǎn)”。不可能在BC邊上，

③。在AC邊上時(shí)，如圖：

.?。是△ABC的“理想點(diǎn)”

ZDBC=NA,

又/C=/C,

：./\BDC^>^ABC,

?CD=BC即CD=3

e，BC"AC''可一W'

：.CD=1,綜上所述，點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)”，CQ的長(zhǎng)為」2或2.

454

24.(2022春?寧波期中)圖1是一個(gè)“有趣”的圖形，它是由四個(gè)完全一樣的直角三角形

圍成的一個(gè)大正方形ABCD,并且直角三角形的斜邊又圍成一個(gè)小正方形MNQP.已知

每個(gè)直角三角形直角邊分別是a,b(a<b),斜邊為c.根據(jù)這個(gè)圖形我們可以得到一

些很好用的結(jié)論.

形MNQP面積為Si,請(qǐng)用兩種方法來(lái)表示Si.

(2)如圖2,將四個(gè)三角形向里面翻折，剛好又能形成一個(gè)更小的正方形AbC'D'.已

知正方形ABC'Z7的邊長(zhǎng)為3,正方形ABCO的邊長(zhǎng)為9.請(qǐng)求出a,b的值.

(3)連結(jié)87)',若BD//AD,請(qǐng)問(wèn)NOMN是多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：⑴根據(jù)題意，Si=(a+b)2-4x/ab=/+/A

S\=c2；

(2)根據(jù)翻折可知，正方形A‘B'C'。'的邊長(zhǎng)為小

根據(jù)題意，可得］b-a=3,

lb+a=9

解得產(chǎn)3,

lb=6

?.a=3,b=6；

(3)NDMN=225：理由如下：

//AD,

；.NBDM=NDMD',

在正方形A'B'C'。中，ZB'D'A'=45°,

:.NDMD'=45°,

根據(jù)翻折，可知NOMN=N￡>'