2022年浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練-模型五　全等經(jīng)典模型

數(shù)學(xué)模型五全等經(jīng)典模型模型1：平移模型【數(shù)學(xué)建?！坑扇切纹揭疲贸龅膱D形全等，得出對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．圖示：【模型應(yīng)用】1．(2020·廣州)如圖，點A的坐標(biāo)為(1，3)，點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標(biāo)為__(4，3)__．2．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，請你從下面四項中選出三項作為條件，余下一項作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，并進(jìn)行證明．①AB＝CD；②∠ACE＝∠D；③∠EAG＝∠FBG；④AE＝BF.你選擇的條件是：________，結(jié)論是：________．(填寫序號)【解析】選擇的條件是：①②③，結(jié)論是：④∵∠EAG＝∠FBG，∴∠EAD＝∠FBD.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠D，,AC＝BD，,∠EAD＝∠FBD，))∴△ACE≌△BDF(ASA).∴AE＝BF.3．(2019·南充)如圖，點O是線段AB的中點，OD∥BC且OD＝BC.(1)求證：△AOD≌△OBC；(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度數(shù)．【解析】(1)∵點O是線段AB的中點，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD與△OBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝BO，,∠AOD＝∠OBC，,OD＝BC，))∴△AOD≌△OBC(SAS)；(2)∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.模型2：軸對稱模型【數(shù)學(xué)建模】將原圖形(由兩個三角形組成)沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱模型，對稱模型圖形有公共邊模型、公共角模型和對頂角模型，可以通過翻折得到兩個三角形全等．此類圖形中要注意其隱含條件，即公共邊或公共角相等．【模型應(yīng)用】1．如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結(jié)CD，EB.(1)不添加輔助線，找出圖中其他的全等三角形；(2)求證：CF＝EF.【解析】(1)題圖中其他的全等三角形為：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB(SAS).∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS).∴CF＝EF.2.(2020·張家界)如圖，正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG位置，使得點B落在對角線CF上，求陰影部分的面積．【解析】過E點作MN∥BC交AB，CD于點M，N，設(shè)AB與EF交于點P，連結(jié)CP，如圖所示，∵B在對角線CF上，∴∠DCE＝∠ECF＝45°，∴△ENC為等腰直角三角形，∴MB＝CN＝eq\f(\r(2),2)EC＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2)，又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均為直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB＝PE，又∠PFB＝45°，∴∠FPB＝45°＝∠MPE，∴△MPE為等腰直角三角形，設(shè)MP＝x，則EP＝BP＝eq\r(2)x，∵M(jìn)P＋BP＝MB，∴x＋eq\r(2)x＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝eq\f(2－\r(2),2)，∴BP＝eq\r(2)x＝eq\r(2)－1，∴陰影部分的面積＝2S△PBC＝2×eq\f(1,2)BC·BP＝1×(eq\r(2)－1)＝eq\r(2)－1.模型3：一線三等角模型(K圖形)【數(shù)學(xué)建?！俊耙痪€三等角”指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的全等(或相似)圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角．有些時候我們也稱之為“K形圖”“三垂直”“弦圖”等，以下統(tǒng)稱為“一線三等角”問題．【模型應(yīng)用】1．如圖，將一個等腰直角三角形放置在距離是1的橫格紙上，三個頂點都在橫線上，則此三角形的斜邊長為__eq\r(10)__．2．(2020·銅仁)如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內(nèi)翻析，點A落在BC上，記為A1，折痕為DE.若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B1，求AB.【解析】由折疊可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，∴∠B1A1E＋∠DA1B1＝90°，∠BA1E＋∠CA1D＝90°，∴∠DA1B1＝∠CA1D，又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，∴△A1DB1≌△A1DC(AAS)，∴A1C＝A1B1，∴BA1＝A1C＝eq\f(1,2)BC＝2.在Rt△A1CD中，CD＝eq\r(A1D2－A1C2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3).3.(2020·遵義)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點(點E與點A，C不重合)，連結(jié)DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD，AB于點M，N，作射線DF交射線CA于點G.(1)求證：EF＝DE；(2)當(dāng)AF＝2時，求GE的長．【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECM＝45°，∵M(jìn)N∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM＋∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDM＝∠FEN，,DM＝EN，,∠DME＝∠ENF，))∴△DME≌△ENF(ASA)，∴EF＝DE；(2)由(1)知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四邊形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵M(jìn)E＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝eq\r(2)，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴eq\f(CD,AF)＝eq\f(CG,AG)，∴eq\f(CG,AG)＝eq\f(4,2)＝2，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4eq\r(2)，∵AC＝AG＋GC，∴AG＝eq\f(4\r(2),3)，CG＝eq\f(8\r(2),3)，∴GE＝GC－CE＝eq\f(8\r(2),3)－eq\r(2)＝eq\f(5\r(2),3).模型4：手拉手模型【數(shù)學(xué)建模】手拉手模型，是指有公共頂點的兩個三角形(正方形)組成，可以看成兩個圖形中的一個繞一定點旋轉(zhuǎn)一定的角度，即這兩個三角形全等．【模型應(yīng)用】1.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF與BC交于點G.(1)求證：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大?。窘馕觥?1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.在△AEB和△CFB中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠CBF，,BE＝BF，))∴△AEB≌△CFB，∴AE＝CF.(2)∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.又∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠EFB＝45°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，又∵∠ABE＝55°，∴∠EBG＝90°－55°＝35°，∴∠EGC＝∠EBG＋∠BEF＝45°＋35°＝80°.2．如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)＋1，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE＝1，連結(jié)DE.現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜360°)，如圖2，連結(jié)CE，BD，CD.(1)當(dāng)0°＜α＜180°時，求證：CE＝BD；(2)如圖3，當(dāng)α＝90°時，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【解析】(1)根據(jù)題意，得AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，∵∠CAE＋∠BAE＝90°，∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠CAE＝∠BAD，,AE＝AD，))∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴CE＝BD；(2)根據(jù)題意，得AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，在△ACE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠CAE＝∠BAD，,AE＝AD，))∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠ACE＋∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD＋∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD，∵AB＝AC＝eq\r(2)＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，∴BC＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)＋2，CD＝AC＋AD＝eq\r(2)＋2，∴BC＝CD，∵CF⊥BD，∴CF是線段BD的垂直平分線；(3)在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時△BCD的面積有最大值，∴當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，如圖．∵AB＝AC＝eq\r(2)＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，∴AG＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2)＋2,2)，∠GAB＝45°，∴DG＝AG＋AD＝eq\f(\r(2)＋2,2)＋1＝eq\f(\r(2)＋4,2)，∠DAB＝180°－45°＝135°，∴△BCD的面積的最大值為：eq\f(1,2)BC·DG＝eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2)(eq\f(\r(2)＋4,2))＝eq\f(3\r(2)＋5,2)，旋轉(zhuǎn)角α＝135°.3．(2020·郴州)如圖，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4.點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連結(jié)AG，CE.將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°).(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當(dāng)CE＝CD時，AG與EF交于點H，求GH的長．(2)如圖3，延長CE交直線AG于點P.①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【解析】(1)①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC中，AD＝CD，∠ADC＝90°，在正方形DEFG中，GD＝ED，∠GDE＝90°，又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∠ADE＋∠ADG＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，在△AGD和△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADG＝∠CDE，,GD＝ED，))∴△AGD≌△CED(SAS)；②如圖，過A點作AM⊥GD，垂足為M，交FE于N，∵點E是AD的中點，∴在正方形DEFG中，DE＝GD＝GF＝EF＝2，由①得△AGD≌△CED，∴AG＝CE，又∵CE＝CD，∴AG＝AD＝CD＝4，∵AM⊥GD，∴GM＝eq\f(1,2)GD＝1，又∵∠FGM＝∠GMN＝∠F＝90°，∴四邊形GMNF是矩形，∴MN＝GF＝2，在Rt△AGM中，AM＝eq\r(AG2－GM2)＝eq\r(42－12)＝eq\r(15)，∴cos∠GAM＝eq\f(AM,AG)＝eq\f(\r(15),4)，∵FG∥AM，∴∠GAM＝∠AGF∴cos∠AGF＝eq\f(FG,GH)＝eq\f(\r(15),4)，∴GH＝eq\f(FG,cos∠AGF)＝eq\f(2,\f(\r(15),4))＝eq\f(8\r(15),15).(2)①由(1)①得△AGD≌△CED，∴∠GAD＝∠ECD，又∵∠ECD＋∠ECA＋∠DAC＝90°，∴∠GAD＋∠ECA＋∠DAC＝90°，∴∠APC＝90°，即：AG⊥CP；②∵∠APC＝90°，∴PC＝AP·sin∠PAC，∴當(dāng)∠PAC最大時，PC最大，∵∠DAC＝45°，是定值，∴∠GAD最大時，∠PAC最大，PC最大，∵AD＝4，GD＝2，∴當(dāng)GD⊥AG，∠GAD＝30°最大，如圖3，此時AG＝eq\r(AD2－GD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，又∵AG⊥CP，EF⊥FG，∴F點與P點重合，∴CEFP四點共線，∴CP＝CE＋EF＝AG＋EF＝2