2023-2024學(xué)年浙江省寧波市海曙區(qū)部分校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市海曙區(qū)部分校八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)剛剛落下帷幕，在如圖給出的運(yùn)動(dòng)圖片中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，73．下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若|a﹣1|＞1，則a＞2”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)＝﹣14．下列用數(shù)軸表示不等式組的解集正確的是（）A． B． C． D．5．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．6．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．若關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集為，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)＜﹣18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面積是24，AB的垂直平分線ED分別交AC，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)（）A．7 B．9 C．11 D．149．如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．110．如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)（）A．12 B．15 C．16 D．18二.填空題（共6小題，每小題4分，共計(jì)24分）11．把命題“同位角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為．12．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為．13．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，則∠CDE的度數(shù)是．14．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且cm2．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝s時(shí)，△BPC為直角三角形．16．如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，DF＝b，連接AE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝．三.解答題（共7小題，滿分66分）17．解不等式（組）：（1）2x﹣3（x+1）≥1；（2），并求出它的所有數(shù)解的和．18．圖1，圖2，圖3均是邊長為1的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．請只用無刻度的直尺按下列要求在網(wǎng)格中作圖（保留痕跡，不要求寫作法）．（1）在圖1中以線段AB為腰作一個(gè)等腰銳角三角形ABC；（2）在圖2中以線段AB為腰作一個(gè)等腰鈍角三角形ABD；（3）在圖3中以線段AB為邊作一個(gè)四邊形ABEF，使其為軸對稱圖形．19．如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD與BC交于點(diǎn)P（1）求證：BC＝DE；（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度數(shù)．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接AM．（1）求證：EF＝；（2）若EF⊥AC，求證：AM+DM＝CB．21．好筍知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生．竹筍是中國傳統(tǒng)佳肴，味香質(zhì)脆，出產(chǎn)普通毛筍的地方也很多，但稱得上精品毛筍——“黃泥拱”的只有在大雷．已知，買10千克精品毛筍比6千克普通毛筍貴64元．（1）普通毛筍和精品毛筍每千克進(jìn)價(jià)多少元？（2）若李先生計(jì)劃總共購買20千克毛筍，但總支出不超過180元，則李先生最多可以購買多少千克的精品毛筍？22．【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°（m＞54），直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）23．閱讀材料：（1）對于任意兩個(gè)數(shù)a、b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做“求差法”．（2）對于比較兩個(gè)正數(shù)a、b的大小時(shí)，我們還可以用它們的平方進(jìn)行比較：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）與（a﹣b）的符號(hào)相同當(dāng)a2﹣b2＞0時(shí)，a﹣b＞0，得a＞b當(dāng)a2﹣b2＝0時(shí)，a﹣b＝0，得a＝b當(dāng)a2﹣b2＜0時(shí)，a﹣b＜0，得a＜b解決下列實(shí)際問題：（1）課堂上，老師讓同學(xué)們制作幾種幾何體，張麗同學(xué)用了3張A4紙；李明同學(xué)用了2張A4紙，8張B5紙．設(shè)每張A4紙的面積為x，且x＞y，張麗同學(xué)的用紙總面積為W1，李明同學(xué)的用紙總面積為W2．回答下列問題：①W1＝（用x、y的式子表示）W2＝（用x、y的式子表示）②請你分析誰用的紙面積最大．（2）如圖1所示，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，現(xiàn)設(shè)計(jì)兩種方案：方案一：如圖2所示，AP⊥l于點(diǎn)P，泵站修建在點(diǎn)P處1＝AB+AP．方案二：如圖3所示，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于l對稱，A′B與l相交于點(diǎn)P，該方案中管道長度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的式子表示）；③請你分析要使鋪設(shè)的輸氣管道較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二．

參考答案一.選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)剛剛落下帷幕，在如圖給出的運(yùn)動(dòng)圖片中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．解：由圖形可知，選項(xiàng)B為軸對稱圖形．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形，熟知如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形是解題的關(guān)鍵．2．下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，只要把三邊代入，看是否滿足即可．解：A.1+2＝6，不能構(gòu)成三角形；B.1+1＝7，不能構(gòu)成三角形；C..1+2＞8，能構(gòu)成三角形；D.1+5＜3，不能構(gòu)成三角形．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．3．下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若|a﹣1|＞1，則a＞2”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)＝﹣1【分析】所選取的a的值符合題設(shè)，則不滿足結(jié)論即作為反例．解：當(dāng)a＝﹣1時(shí)，滿足|a﹣1|＞3，所以a＝﹣1可作為證明命題“若|a﹣1|＞7．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．4．下列用數(shù)軸表示不等式組的解集正確的是（）A． B． C． D．【分析】選項(xiàng)A根據(jù)“同大取大”判斷即可；選項(xiàng)B根據(jù)“同小取小”判斷即可；選項(xiàng)C根據(jù)“大小小大中間找”，包含實(shí)心圓點(diǎn)2，不包含空心圓點(diǎn)1；選項(xiàng)D根據(jù)“大小小大中間找”，包含實(shí)心圓點(diǎn)1，不包含空心圓點(diǎn)2．解：A、不等式組的解集為x≥2；B、不等式組的解集為x＜1；C、不等式組的解集為7＜x≤2；D、不等式組的解集為1≤x＜6；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．5．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．解：B，C，D都不是△ABC的邊BC上的高，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線a和b上，且BC＝AC，∠ACB＝120°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC＝30°，根據(jù)角的和差求出∠ABD＝75°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．解：如圖，∵BC＝AC，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠2＝45°，∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝75°，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記“等腰三角形的兩底角相等”是解題的關(guān)鍵．7．若關(guān)于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集為，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)＜﹣1【分析】由于在求不等式（1﹣a）x＞3解集的時(shí)候，不等號(hào)的方向發(fā)生了改變，可以判定1﹣a＜0，即可解得a的取值．解：∵不等式（1﹣a）x＞3的解集為x＜，∴1﹣a＜8，解得a＞1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的面積是24，AB的垂直平分線ED分別交AC，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)（）A．7 B．9 C．11 D．14【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點(diǎn)P，則當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，△PBF周長最小為AF+FBAF+FB的長．解：∵ED是線段AB的垂直平分線，∴A與B關(guān)于ED對稱，連接AF，交ED于點(diǎn)P，∵AP＝PB，∴△PBF周長＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，∵F為BC邊的中點(diǎn)，AB＝AC，∴AF⊥BC，，∴，∵BC＝3，∴AF＝8，∴△PBF周長＝AF+FB＝8+7＝11，∴△PBF周長的最小值為11，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，則∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而OA＞OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正確；∵∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵M(jìn)O平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC與OA＞OC矛盾，∴③錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】作點(diǎn)B關(guān)于CE的對稱點(diǎn)F，連接BF，EF，則當(dāng)F，P，Q在同一直線上且FQ⊥EB時(shí)，BP+PQ的最小值為FQ的長，根據(jù)解直角三角形即可得到結(jié)論．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CE的對稱點(diǎn)F，EF，∵∠B+∠C＝150°，∴∠BEC＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等邊三角形，連接BP，PF，則BP＝FP，∴BP+QP＝FP+PQ，∴當(dāng)F，P，Q在同一直線上且FQ⊥EB時(shí)，此時(shí)，Q為EB的中點(diǎn)，∵DA⊥AB．DA＝6cm，∴AE＝6cm，∴Rt△QEF中，F(xiàn)Q＝，∴BP+PQ最小值值為18，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．二.填空題（共6小題，每小題4分，共計(jì)24分）11．把命題“同位角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等．【分析】命題有題設(shè)與結(jié)論組成，把命題的題設(shè)寫在如果的后面，結(jié)論寫在那么的后面即可．解：命題“同位角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等．故答案為如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等．【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．12．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為8或6．【分析】由于長為6的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論．解：當(dāng)腰為6時(shí)，另一腰也為6，∵7+6＝12＞8，20﹣12＝5∴三邊能構(gòu)成三角形．底邊的長為8，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，腰為（20﹣4）÷2＝7，∵2+7＞6，∴三邊能構(gòu)成三角形．故答案為：3或6．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．13．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，則∠CDE的度數(shù)是80°．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性質(zhì)可得∠O＝25°，即可求解．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝4∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案為：80°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題關(guān)鍵．14．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且4cm2．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可．解：∵F為CE中點(diǎn)，∴，∵E為AD中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中線的性質(zhì)和三角形面積的應(yīng)用，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝25或16s時(shí)，△BPC為直角三角形．【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長度，利用三角形的面積求出斜邊上的高CD，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠BCP為直角時(shí)，②當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如圖，作AB邊上的高CD．∵S△ABC＝AB?CD＝，∴CD＝＝＝24（cm）．①當(dāng)∠BCP為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴t＝50÷2＝25（秒）．②當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，P與D重合，CP＝24cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）3+242＝402，解得t＝16．綜上，當(dāng)t＝25或16秒時(shí)．故答案為：25或16．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用以及分情況討論．16．如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，DF＝b，連接AE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝3．【分析】根據(jù)題意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．解：方法一：∵圖中AF＝a，DF＝b，∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，∵△ADE與△BEH的面積相等，∴，∴a2＝（b﹣a）b，∴a2＝b2﹣ab，∴8＝（）2﹣，∴，解得＝（負(fù)值舍去），∴；方法二：∵a2＝b2﹣ab，∴b4﹣a2＝ab，∴（b2﹣a8）2＝a2b8，∴b4+a4＝3a2b2，∴＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．三.解答題（共7小題，滿分66分）17．解不等式（組）：（1）2x﹣3（x+1）≥1；（2），并求出它的所有數(shù)解的和．【分析】（1）先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”即可；（2）分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再取兩個(gè)解集的公共部分即可．解：（1）2x﹣3（x+4）≥1，去括號(hào)得：2x﹣7x﹣3≥1，移項(xiàng)得：3x﹣3x≥1+5，合并得：﹣x≥4，解得：x≤﹣4；（2），由①得：x＜1，由②得：x＞﹣7，∴不等式組的解集為：﹣5＜x＜1，所有數(shù)解的和：﹣7﹣3﹣2﹣8+0＝﹣10．【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元一次不等式，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．18．圖1，圖2，圖3均是邊長為1的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．請只用無刻度的直尺按下列要求在網(wǎng)格中作圖（保留痕跡，不要求寫作法）．（1）在圖1中以線段AB為腰作一個(gè)等腰銳角三角形ABC；（2）在圖2中以線段AB為腰作一個(gè)等腰鈍角三角形ABD；（3）在圖3中以線段AB為邊作一個(gè)四邊形ABEF，使其為軸對稱圖形．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)等腰鈍角三角形的定義畫出圖形即可；（3）根據(jù)軸對稱圖形的定義畫出圖形即可．解：（1）如圖所示，等腰銳角三角形ABC即為所求；（2）如圖所示，等腰鈍角三角形ABD即為所求；（3）如圖所示，四邊形ABEF即為所求；【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形和軸對稱圖形的定義，熟練掌握等腰三角形和軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠B＝∠D，AD與BC交于點(diǎn)P（1）求證：BC＝DE；（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°，求∠CAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE即可得到BC＝DE；（2）先根據(jù)外角的性質(zhì)求出∠BAP，進(jìn)而求出∠CAE即可．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝∠D，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC＝DE；（2）解：在△APB：中，∠APC是外角，∴∠BAD＝∠CAE＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接AM．（1）求證：EF＝；（2）若EF⊥AC，求證：AM+DM＝CB．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF＝；（2）根據(jù)“SAS”證明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接CE，如圖，∵CD＝CB，E為BD的中點(diǎn)，∴CE⊥BD，∵F為AC的中點(diǎn)，∴EF＝；（2）證明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF＝CF，∵M(jìn)F＝MF，∴△AFM≌△CFM（SAS），∴AM＝CM，∵CD＝DM+MC，∴CD＝DM+AM，∵BC＝DC，∴AM+DM＝CB．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)用定理是解決本題的關(guān)鍵．21．好筍知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生．竹筍是中國傳統(tǒng)佳肴，味香質(zhì)脆，出產(chǎn)普通毛筍的地方也很多，但稱得上精品毛筍——“黃泥拱”的只有在大雷．已知，買10千克精品毛筍比6千克普通毛筍貴64元．（1）普通毛筍和精品毛筍每千克進(jìn)價(jià)多少元？（2）若李先生計(jì)劃總共購買20千克毛筍，但總支出不超過180元，則李先生最多可以購買多少千克的精品毛筍？【分析】（1）設(shè)普通毛筍的進(jìn)價(jià)為x元/千克，精品毛筍的進(jìn)價(jià)為y元/千克，根據(jù)“買10千克普通毛筍的錢等于買6千克精品毛筍的錢，買10千克精品毛筍比6千克普通毛筍貴64元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)李先生可以購買m千克的精品毛筍，則購買（20﹣m）千克的普通毛筍，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過180元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)普通毛筍的進(jìn)價(jià)為x元/千克，精品毛筍的進(jìn)價(jià)為y元/千克，根據(jù)題意得：，解得：．答：普通毛筍的進(jìn)價(jià)為6元/千克，精品毛筍的進(jìn)價(jià)為10元/千克；（2）設(shè)李先生可以購買m千克的精品毛筍，則購買（20﹣m）千克的普通毛筍，根據(jù)題意得：10m+6（20﹣m）≤180，解得：x≤15，∴x的最大值為15．答：李先生最多可以購買15千克的精品毛筍．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．22．【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°（m＞54），直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∠BD′C＝80°+15°＝95°；當(dāng)BD是“鄰BC三分線”時(shí)，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）結(jié)合（1）根據(jù)BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度數(shù)；（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，可得∠BPC＝∠A＝m°；情況二：如圖②，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，可得∠BPC＝∠A＝m°；情況三：如圖③，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時(shí)，可得∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；情況四：如圖④，當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時(shí)，可得∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°，進(jìn)而解答．解：（1）如圖，當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∠BD′C＝80°+15°＝95°；當(dāng)BD是“鄰BC三分線”時(shí)，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）在△BPC中，∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，又∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，∴∠ABC+，∴∠ABC+∠ACB＝120°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；（3）分7種情況進(jìn)行畫圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”，∴∠BPC＝∠A＝；情況二：如圖②，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”，∴∠BPC＝∠A＝；情況三：如圖③，當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”，∴∠BPC＝∠A+m°+18°；情況四：如圖④，當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”，∠BPC＝∠A﹣m°﹣18°；綜上所述：∠BPC的度數(shù)為：m°或m°+18°或．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，列代數(shù)式，利用分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．23．閱讀材料：（1）對于任意兩個(gè)數(shù)a、b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做“求差法”．（2）對于比較兩個(gè)正數(shù)a、b的大小時(shí)，我們還可以用它們的平方進(jìn)行比較：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）與（a﹣b）的符號(hào)相同當(dāng)a2﹣b2＞