2022湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷

2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計3（）分）

1.實數(shù)9的相反數(shù)等于（）

A.-9B.+9C.AD.-A

99

2.下列計算正確的是（）

A.b+b2=b3B.伊C.（2b）3=6Z?3D.3b-2b=b

3.孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意,

改鄂縣為武昌.下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

A以B武C而D昌

6.生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營養(yǎng)和生存

空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2”來表

示.即：2'=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,...,請你推算22022的個位數(shù)字是（）

A.8B.6C.4D.2

7.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法.如圖，一次函數(shù)），=fcc+b（k、6為常數(shù)，且

&<0）的圖象與直線y=L都經(jīng)過點A（3,1）,當日時，根據(jù)圖象可知，x的

33

8.工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的

工件槽，其兩個底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示

的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、B、E三點的

截面示意圖，已知OO的直徑就是鐵球的直徑，是00的弦，CZ）切。。于點E,AC

_LC。、BDLCD,若CD=16a*,AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為（）

(2)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

9.如圖，已知二次函數(shù)），=。？+法+。（a、b、c為常數(shù)，且nWO）的圖象頂點為P（1,機）,

經(jīng)過點A（2,1）.有以下結(jié)論：①。<0；②a〃c>0；③4a+2什c=l；④x>l時，y隨x

的增大而減小；⑤對于任意實數(shù)/，總有“P+從<。+兒其中正確的有（）

10.如圖，定直線MN〃P。，點2、C分別為MN、尸。上的動點，且BC=12,8c在兩直

線間運動過程中始終有NBCQ=60°.點A是mV上方一定點，點。是尸Q下方一定點,

SLAE//BC//DF,AE=4,。尸=8,AO=24、m，當線段BC在平移過程中，AB+C。的最

小值為（）

A.24^/13B.24A/15C.12^/13D.120^

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計18分）

11.計算：A/4=____.

12.為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動.6名選

手投中籃圈的個數(shù)分別為2,3,3,4,3,5,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

13.若實數(shù)“、。分別滿足/-4a+3=0,必-4b+3=0,且aRb,則』+上的值為.

ab

14.中國象棋文化歷史久遠.某校開展了以“縱橫之間有智慧攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的

中國象棋文化節(jié).如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“前J”

位于點（-1,-2）,“焉”位于點（2,-2）,那么“兵”在同一坐標系下的坐標是.

15.如圖，已知直線y=2x與雙曲線>=區(qū)（女為大于零的常數(shù)，且x>0）交于點A,若0A

16.如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，。、E分別為邊8C、AC上的點，A。與BE相交

于點P,若BD=CE=2,則△A8P的周長為

三、解答題（本大題共8小題，共計72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟）

21

17.（8分）先化簡，再求值：-1---J-,其中“=3.

a+1a+1

18.（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有

我”知識競賽活動.李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按

成績劃分為A、B、C、。四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：

（1）表中,C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；

（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)?/p>

A等級的學(xué)生共有多少人？

（3）若A等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T2,73,從其中隨機

抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1,72的概率.

等級成績W分人數(shù)

■90^x^10015

B804V90a

c70?8018

Dx<707

19.(8分)如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、B。相交于點。，ii.ZCDF=ZBDC.Z

DCF=ZACD.

(1)求證：DF=CF；

20.(8分)亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐一一鄂州花湖機場，于2022年3月19日

完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻.如圖，市民甲在C處看見飛

機A的仰角為45°,同時另一市民乙在斜坡C尸上的。處看見飛機A的仰角為30°.若

斜坡CF的坡比=1：3,鉛垂高度。G=30米(點E、G、C、B在同一水平線上).求：

(1)兩位市民甲、乙之間的距離CZ)；

(2)此時飛機的高度AB.(結(jié)果保留根號)

21.(8分)在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去

體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家.小明離家的距離y

(km)與他所用的時間x(〃”〃)的關(guān)系如圖所示：

(1)小明家離體育場的距離為h”，小明跑步的平均速度為km/minx

(2)當15WxW45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(3)當小明離家2也?時，求他離開家所用的時間.

22.(10分)如圖，Z\ABC內(nèi)接于。。，P是。。的直徑AB延長線上一點，ZPCB=ZOAC,

過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D.

(1)試判斷PC與0。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若PC=4,tanA=工，求△OC。的面積.

2

PB1______0__

C

、D

23.（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究），="/（。＞0）型拋物線圖象.發(fā)

現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點尸（0,A）的距離M凡始終等于

4a

它到定直線/：），=-」_的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點尸為圖象的焦

4a

點，定直線/為圖象的準線，y=叫做拋物線的準線方程.其中原點。為FH的中

4a

點，F(xiàn)H=2OF=-L.

2a

例如：拋物線y=：,其焦點坐標為F（0,-1）,準線方程為/：y=-A.其中MF=

222

MN,FH=2OH=l.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請分別直接寫出拋物線y=2?的焦點坐標和準線/的方程：,.

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2所示，已知拋物線＞=▲/上一點P到準線/的距離為6,求點尸的坐標；

8

【能力提升】

（3）如圖3所示，已知過拋物線），=〃/（?＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線/

于點A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

【拓展升華】

（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題:

點C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段

C8的比例中項，即滿足：AC=BC=V5zl.后人把近二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù),

ABAC22

把點C稱為線段43的黃金分割點.

如圖4所示，拋物線）'=工？的焦點下（0,1）,準線/與y軸交于點，（0,-1）,E為i

線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點.當器=&時，請直接寫出

24.（12分）如圖1,在平面直角坐標系中，RtZ\OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且

OA=6,斜邊08=10,點P為線段48上一動點.

（1）請直接寫出點B的坐標；

（2）若動點尸滿足NPOB=45°,求此時點P的坐標；

（3）如圖2,若點E為線段OB的中點，連接PE,以PE為折痕，在平面內(nèi)將折

疊，點A的對應(yīng)點為A',當以',08時，求此時點尸的坐標；

（4）如圖3,若尸為線段A。上一點，且4尸=2,連接將線段尸P繞點尸順時針方

向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG,連接OG,當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時

線段FP掃過的面積.

2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷

答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計30分）

1.實數(shù)9的相反數(shù)等于（）

A.-9B.+9C.AD.-A

99

【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案.

解：實數(shù)9的相反數(shù)是：-9.

故選：A.

【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.下列計算正確的是（）

A.b+序=伊B.伊?伊=序C.（26）3=6/D.3b-2b=b

【分析】按照整式幕的運算法則和合并同類項法則逐一計算進行即可得答案.

解：?“與廿不是同類項，

選項A不符合題意；

,:伊?占=后,

選項B不符合題意；

⑵）3=8/，

...選項c不符合題意；

,：3b-2b=b,

選項力符合題意，

故選：D.

【點評】此題考查了整式基與合并同類項的相關(guān)運算能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用相

關(guān)計算法則.

3.孫權(quán)于公元221年4月自公安'‘都鄂"，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意,

改鄂縣為武昌.下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

A以B出C而D昌

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，

選項。能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

所以是軸對稱圖形，

故選：D

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

4.如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（）

正面

解：該幾何體的主視圖為：一共有兩列，左側(cè)有三個正方形，右側(cè)有一個正方形，所以A

選項正確，

故選：A.

【點評】本題主要考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線點C、A分別在/1、/2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交h

于點8,連接AB.若/BC4=150°,則N1的度數(shù)為（）

【分析】由題意可得AC=8C,則/C48=/C8A,由/BC4=150°,ZBCA+ZCAB+

NCB4=180°,可得NCAB=NCB4=15°,再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得=NCBA=

15°.

解：由題意可得AC=BC,

：.ZCAB^ZCBA,

；NBC4=150°,ZBCA+ZCAB+ZCBA=180°,

NCAB=NC8A=15°,

V/I/7/2,

：.Z\=ZCBA=\5°.

故選:B.

【點評】本題考查作圖-基本作圖、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)題意得

出BC=AC是解答本題的關(guān)鍵.

6.生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營養(yǎng)和生存

空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2”來表

示.即：2?2,22=4,23=8,24=16,25=32,……，請你推算22022的個位數(shù)字是（）

A.8B.6C.4D.2

【分析】通過觀察可知2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，則22°22與22的尾數(shù)相同，即

可求解.

解：V21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,........,

A2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，

；2022+4=505…2,

...22022與22的尾數(shù)相同，

故選：C.

【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給式子，探索出尾數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

7.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法.如圖，一次函數(shù)>=h+6（鼠人為常數(shù)，且

k<0）的圖象與直線y=2x都經(jīng)過點A（3,1）,當日+6<4x時，根據(jù)圖象可知，x的

取值范圍是（）

【分析】根據(jù)題意利函數(shù)圖象，可以寫出當履+6<1時，x的取值范圍.

3

解：由圖象可得，

當x>3時，直線y=L在一次函數(shù)的上方，

3

，當麻+%<L時，x的取值范圍是x>3,

3

故選：A.

【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

8.工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的

工件槽，其兩個底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示

的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、B、E三點的

截面示意圖，已知。。的直徑就是鐵球的直徑，A8是。。的弦，CQ切。。于點E,AC

LCD.BDLCD,若C￡）=16c，〃，AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為（）

A.lOcwB.15cwC.20cmD.24cm

【分析】連接OE,交AB于點F,連接OA,??,ACLCQ、BDLCD,由矩形的判斷方法

得出四邊形AC￡>8是矩形，得出AB〃CD,4B=Cr>=16c77i,由切線的性質(zhì)得出OEJ_C。,

得出OE_LAB,得出四邊形EF8O是矩形，AF=L1B=』X16=8（cM,進而得出所

22

=B￡）=4cnz,設(shè)的半徑為ran,則。A=rcn?,OF=OE-EF=（r-4）cm,由勾股

定理得出方程J=82+（r-4）2,解方程即可求出半徑，繼而求出這種鐵球的直徑.

解：如圖，連接OE,交AB于點凡連接OA,

caz

*：AC1.CD.BDA.CD.

：.AC//BDf

AC=BD=4cm9

???四邊形ACOB是平行四邊形,

???四邊形ACD5是矩形，

:?AB〃CD,AB=CD=\6cmf

???CZ）切。O于點E

：?OELCD,

：.OE1AB,

四邊形是矩形，AF=2A3=>lxi6=8(cm),

22

；?EF=BD=4cm,

設(shè)OO的半徑為-cm,則。4=%6，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtZ\AOF中，OA2=AF2+OF2,

：.I2=S2+(r-4)2,

解得：r=10,

,這種鐵球的直徑為2(kw,

故選：C.

【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定與性質(zhì)，平行

四邊形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知二次函數(shù)y=o?+fex+c(八氏c為常數(shù)，且aWO)的圖象頂點為尸(1,M,

經(jīng)過點A(2,1).有以下結(jié)論：①。<0；②abc>0；③4a+26+c=l；④x>l時，y隨x

的增大而減小；⑤對于任意實數(shù)，，總有“P+初Wa+兒其中正確的有()

P(l,m)

A(2,1)

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)確定。、

氏c的正負即可解答；③將點A的坐標代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖象即可解答；⑤運

用作差法判定即可.

解：①由拋物線的開口方向向下，

則。<0,故①正確；

②?.?拋物線的頂點為P(1,機)，

一且=1,b=-2a,

2a

Va<0,

：.b>0,

?.?拋物線與y軸的交點在正半軸，

：.c>0,

.".ahc<0,故②錯誤；

③；拋物線經(jīng)過點4(2,1),

1=a*21+2b+c,即4a+2b+c=1,故③正確；

④???拋物線的頂點為P(1，m),且開口方向向下，

；.x>l時，y隨x的增大而減小，即④正確：

⑤

at^+bt-(a+b)

—at2-2at-a+2a

=aP-2at+a

=a(t2-2t+])

—a(f-1)2?0,

.".at2+bt^：a+b,則⑤正確

綜上，正確的共有4個.

故選：C.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，靈活運用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及掌握

數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，定直線MN〃PQ,點、B、C分別為MMPQ上的動點，且BC=12,BC在兩直

線間運動過程中始終有N8CQ=60°.點A是上方一定點，點。是PQ下方一定點,

S.AE//BC//DF,AE=4,DF=X,A￡>=24我，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最

小值為()

A.24^/13B.24A/15C.D.12Vl

【分析】沿BC的方向?qū)Q和MN平移重合，即2和C點重合，點。平移至T,連接

AT,即A8+CD最小，進一步求得結(jié)果.

解：如圖，

作OLLPQ于L過點A作PQ的垂線，過點。作PQ的平行線，它們交于點心延長

DF至T,使。T=BC=12,連接AT,

AT交MN于B',作8'C//BC,交P。于C',則當BC在B'C時，AB+CQ最小,

最小值為AT的長，

可得AK=AE?sin60°=除皿=2依，DL=冬DF=4內(nèi)，與BC=6百,

；.AR=2愿+6代+4我=12代，

；A￡>=24而

，sin/A￡)/?=jR

AD2

：.ZADR=30°,

'：ZPFD9=60°,

：.ZADT=90),,_______________

22=

-'-AT=VAD+DTV(2473)2+122=12岳，

故c.

【點評】本題考查了平移性質(zhì)和平移的運用，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是

作輔助線，將B和C兩地變?yōu)椤耙粋€點”.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共計18分)

11.計算：VZ=2.

【分析】如果一個正數(shù)x的平方等于“，那么x是。的算術(shù)平方根，由此即可求解.

解：V22=4,

.?.y=2.

故2

【點評】此題主要考查了學(xué)生開平方的運算能力，比較簡單.

12.為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動.6名選

手投中籃圈的個數(shù)分別為2,3,3,4,3,5,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3.

【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念求解即可.

解：因為這組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3,

故3.

【點評】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

13.若實數(shù)人匕分別滿足/-4a+3=0,廬-48+3=0,且“Wb,則工+工的值為_匡_.

ab3

【分析】由實數(shù)“、〃分另4滿足/-4。+3=0,序-43+3=0,且知“、6可看作方

程7-4尤+3=0的兩個不相等的實數(shù)根，據(jù)此可得“+6=4,必=3,將其代入到原式=三也

ab

即可得出答案.

解：：實數(shù)。、人分別滿足。2-4。+3=0,必一奶+3=0,且

?,.?>b可看作方程7-4x+3=0的兩個不相等的實數(shù)根，

則a+b—4,ab—3,

則原式=三也=9，

ab3

故生

3

【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點得出4、b可看作

方程7-4x+3=0的兩個不相等的實數(shù)根及韋達定理.

14.中國象棋文化歷史久遠.某校開展了以“縱橫之間有智慧攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的

中國象棋文化節(jié).如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“白巾”

位于點（-1,-2）,“焉”位于點（2,-2）,那么“兵”在同一坐標系下的坐標是（-

3,1）.

楚河漢界

1

【分析】應(yīng)用平面內(nèi)點的平移規(guī)律進行計算即可得出答案.

解：根據(jù)平面內(nèi)點的平移規(guī)律可得，

把“帥”向左平移兩個單位，向上平移3個單位得到“兵”的位置，

（-1-2,-2+3）?

即（-3,1）.

故（-3,1）.

【點評】本題主要考查了點的坐標，熟練掌握平面內(nèi)點的坐標平移規(guī)律進行求解即可得

出答案.

15.如圖，已知直線y=2x與雙曲線），=區(qū)（A為大于零的常數(shù)，且x>0）交于點A,若OA

=娓,則k的值為2.

【分析】由點A在直線y=2%上，且。4=病，可求得A點坐標為（1,2）把已知點

的坐標代入解析式可得，k=2.

解：設(shè)A（x,y）,

丁點A在直線），=2%上，且。4=泥，

，A點坐標為（1,2）,

???點A在雙曲線y=K（x>0）上，

x

故2.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握一次函數(shù)、反比例

函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合題.

16.如圖，在邊長為6的等邊AABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，A。與8E相交

于點P,若BD=CE=2,則△”產(chǎn)的周長為_絲旦生巨一

【分析】根據(jù)SAS證△ABO絲△BCE,得出乙”8=120°,在CB上取一點F使CF=

CE=2,貝ljBF=8C-C尸=4,證AAPRSABFE,根據(jù)比例關(guān)系設(shè)BP=X,則4P=2X,

作BH1AD延長線于H,利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的長.

解：；△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,NA8O=/C=60°,

在△A3。和△8CE中，

'AB=BC

<ZABD=ZC

BD=CE

:./XABDqABCE(SAS),

：.ZBAD=ZCBE,

：.NAPE=ZABP+ZBAD^NABP+NCBE=/ABD=60°,

：.ZAPB=\20°,

在CB上取一點F使CF=CE=2,則BF=BC-CF=4,

AZC=60°,

...△CEF是等邊三角形，

AZBF￡=120°,

^iZAPB=ZBFE,

：./\APB^/\BFE,

??--A-P二--B-F—-——4—-No，

BPEF2

設(shè)BP=x,貝ijAP=2x,

作BHYAD延長線于H,

：.ZPBH=30°,_

:.PH=&,BH=^k.v,

22

：.AH=AP+PH=2X+2L=^X,

22

在RtZ\4BH中，AH2+BH2=AB2,

即昌）2+（2^）2=62,

22

解得了=包巨或-量工（舍去），

77

...”=12>/7,

77

△A8P的周長為AB+AP+8P=6+-12MZ_+jl?ZL=6+,7.=42+18枚,

7777

故42+18校.

7

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

解直角三角形等知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8小題，共計72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟）

21

17.（8分）先化簡，再求值：2其中4=3.

a+1a+1

【分析】根據(jù)同分母分式加法的法則計算即可，然后將〃的值代入化簡后的式子計算即

可.

21

解：-^―--1-

a+1a+1

一a2_]1

a+1

=（a+1）（a-1）

a+1

=a-1,

當a=3時，原式=3-1=2.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式加法的運算法則和因式

分解的方法.

18.（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有

我”知識競賽活動.李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按

成績劃分為A、B、C、。四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：

（1）表中」=20,C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為108°；

（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)?/p>

A等級的學(xué)生共有多少人？

（3）若4等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為乃，乃，從其中隨機

抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到為，及的概率.

等級成績x/分人數(shù)

A90WxW10015

B80WxV90a

c70?8018

Dx<707

【分析】（1）由A的人數(shù)除以所占比例得出抽取的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；

（2）由全校參加此次競賽共有的人數(shù)乘以成績?yōu)锳等級的學(xué)生所占比例即可；

（3）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到Ti,T2的結(jié)果有2種，再由概

率公式求解即可.

解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：15+型二=60（人），

360

."=60-15-18-7=20,C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°義衛(wèi)=108°,

60

故20,108°；

（2）600xJ^.=150（人），

60

答：估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有150人；

（3）畫樹狀圖如下：

與

T3TJT3T2

共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到T1,T2的結(jié)果有2種，

???恰好抽到71，T2的概率為

63

【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件：解

題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.也考查了統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.

19.（8分）如圖，在矩形A8C。中，對角線AC、BO相交于點O,且/CQF=NBQC、Z

DCF=ZACD.

（1）求證：DF=CFx

（2）若/CQF=60°,DF=6,求矩形ABC。的面積.

A

F

【分析】(1)元矩形的性質(zhì)得。。=0。，得NACO=N3OC再證NCDF=NQCR即

可得出結(jié)論；

(2)證△CDF是等邊三角形，得CD=DF=6,再證△OCQ是等邊三角形，WOC=OD

=6,則50=200=12,然后由勾股定理得3。=6點，即可解決問題.

(1)證明：???四邊形A8C。是矩形，

???OC=XAC,OD=1-BD,AC=BD,

22

：.OC=ODf

:./ACD=/BDC,

*.?4CDF=/BDC,/DCF=NACO,

:./CDF=NDCF,

：.DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

'：ZCDF=60°,

???△CQF是等邊三角形，

:?CD=DF=6,

u：ZCDF=ZBDC=60Q,OC=OD,

△OCD是等邊三角形，

OC=00=6,

：.BD=2OD=12t

?.?四邊形ABC。是矩形，

AZBCD=90°,________

；?BC=VBD2-CD2=V122-62=6^3，

.".SABCD—BC'CD=6V3X6=36A/3?

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(8分)亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐一一鄂州花湖機場，于2022年3月19日

完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻.如圖，市民甲在C處看見飛

機A的仰角為45°,同時另一市民乙在斜坡C尸上的。處看見飛機A的仰角為30°.若

斜坡CF的坡比=1：3,鉛垂高度0G=30米(點E、G、C、8在同一水平線上).求：

(1)兩位市民甲、乙之間的距離CD；

(2)此時飛機的高度4艮(結(jié)果保留根號)

【分析】(1)根據(jù)斜坡CF的坡比=1：3,可得GC=3DG=90米，然后在RtZ\DGC中,

利用勾股定理進行計算即可解答；

(2)過點。作。憶148,垂足為H,則。G=B〃=30米，DH=BG,設(shè)BC=x米，在

為△ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，從而求出A4,?！钡拈L，然后在

n△AD”中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答.

解：（I）：斜坡CF的坡比=1：3,0G=30米，

?---D-G_-1,

GC3

：.GC=3DG=90（米），__________________

在Rt^OGC中，DC-VDG2-K；C2V302+902=3°V10（米），

兩位市民甲、乙之間的距離CD為30戊i米；

（2）過點。作DHVAB,垂足為H,

貝ljOG=B，=30米，DH=BG,

設(shè)BC=x米，

在RtZ^ABC中，ZACB=45°,

；.AB=BC,tan45°=x（米），

：.AH=AB-BH^（x-30）米，

在RtZiAOH中，ZADH=30°,

.\tan300=幽=丑2_=近，

DHx+903

；.x=60+30?,

經(jīng)檢驗：x=6（h/E+90是原方程的根，

；.A8=（60百+90）米，_

.?.此時飛機的高度AB為（60百+90）米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的

已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去

體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家.小明離家的距離y

（km）與他所用的時間x（/應(yīng)〃）的關(guān)系如圖所示：

（1）小明家離體育場的距離為2.5km,小明跑步的平均速度為_L_kmhnin；

6

（2）當15<xW45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（3）當小明離家2h〃時，求他離開家所用的時間.

【分析】（1）根據(jù)圖象可以直接看到小明家離體育場的距離為2.5〃?，小明跑步的平均速

度為：路程+時間；

（2）是分段函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求；

（3）小明離家2女機時，有兩個時間，第一個時間是小明從家跑步去體育場的過程中存在

離家2km,利用路程+速度可得此時間，第二個時間利用BC段解析式可求得.

解：（1）小明家離體育場的距離為2.5h〃，小明跑步的平均速度為

156

故2.5,A；

6

(2)如圖，B(30,2.5),C(45,1.5),

.?.BC的解析式為：>=-工+4.5

15

<2.5(15<x<30)

???當15WxW45時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=,1^~x+4.5(30<x445)

lb

(3)當y=2時，-」^x+4.5=2,

15

.?人r=—75—1

2

2J=12,

6

...當小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或上耳〃％.

2

【點評】本題考查了函數(shù)的圖象，能夠從函數(shù)的圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵，注意他

所用的時間單位是min.

22.(10分)如圖，△ABC內(nèi)接于。。，P是。。的直徑AB延長線上一點，ZPCB=ZOAC,

過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D.

(1)試判斷PC與0。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若PC=4,tanA=』，求△OCQ的面積.

【分析】(1)由圓周角定理得出NACB=90°,進而得出NOAC+/O8C=90°,由等腰

三角形的性質(zhì)得出N。8c=N0C8,結(jié)合已知得出NPCB+NOCB=90°,得出0cLpC,

即可得出PC是。。的切線；

(2)由tanA=工，得出更1=工，由△PCBsA1%C,得出進而求

2AC2PCPAAC2

出PB=2,附=8,0C=3,由平行線分線段成比例定理得出里迪，進而求出CD=6,

CDOB

即可求出△oco的面積.

解：（I）PC是OO的切線，理由如下：

是。。的直徑，

AZACB=90°,

...NOAC+NOBC=90°,

;OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

■:NPCB=NOAC,

：.ZPCB+ZOCB=W°,

AZPCO=90°,BPOCA.PC,

：OC是半徑，

.??PC是O。的切線；

（2）在RtZXACB中，taii4=此，

AC

VtanA=A,

2

?-?BC_1,

AC2

VZPCB=ZOAC,NP=/P,

:ZCBsXP'C,

?PB=PC=BC=2,

**PCPAAC_2，

???PC=4,

:.PB=2,必=8,

：.AB=PA-PB=S-2=6,

：.OC=OB=OA=3,

,:BC〃OD,

?PCPBpn42

CDOBCD3

:.CD=6,

■:0cLeD,

??SAOCD卷?OC?CD=*X3X6=9.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，掌握圓周角定理，切線的判

定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角

形面積的計算公式是解決問題的關(guān)鍵.

23.（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究），=以2（?>0）型拋物線圖象.發(fā)

現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點尸（0,A）的距離MF,始終等于

4a

它到定直線/：），=-°的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點尸為圖象的焦

4a

點，定直線/為圖象的準線，y=-」一叫做拋物線的準線方程.其中原點O為的中

4a

點，F(xiàn)H=2OF=-L.

2a

例如：拋物線丫=12,其焦點坐標為尸（0,1）,準線方程為/：>?=-1.其中

222

MN,FH=2OH=1.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請分別直接寫出拋物線y=2?的焦點坐標和準線/的方程：（0,1）,

8

_工

一■§■一.

【技能訓(xùn)練】

(2)如圖2所示，已知拋物線丫==上一點P到準線/的距離為6,求點P的坐標；

8

【能力提升】

(3)如圖3所示，已知過拋物線丫=加(?>0)的焦點廠的直線依次交拋物線及準線/

于點4、B、C.若BC=28凡AF=4,求a的值；

【拓展升華】

(4)古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題:

點C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段

CB的比例中項，即滿足：AC=BC=V5zl.后人把近二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù),

ABAC22

把點C稱為線段AB的黃金分割點.

如圖4所示，拋物線的焦點F(0,1),準線/與y軸交于點”(0,-I),E為

線段”尸的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點.當需=&時，請直接寫出

(2)可求出點尸的縱坐標，從而確定P點的橫坐標；

(3)作AGJJ于G,作8KJJ于K,由BK〃FH〃AG得ACBKsACFH，/\CBKs叢

CAG,從而題匹，巫注，進一步求得結(jié)果；

FHCFAGAC

2

(4)設(shè)點”(〃?，1m2),根據(jù)圓L=2列出方程，求得加的值，進一步求得結(jié)果.

4MF2

解：(1)