高中數(shù)學(xué)人教A版必修4學(xué)案1.5函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象Word版含解析

1.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象考試標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要點學(xué)考要求高考要求φ，ω，A對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響bc簡諧運(yùn)動y＝Asin(ωx＋φ)；x∈[0，＋∞)(ω>0，A>0)有關(guān)物理量aa知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.注意所有的變換是圖象上的點在移動，是x或y在變化，而非ωx，故若x前面有系數(shù)要先提取出來．2．用整體代換的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sint的圖象及性質(zhì)求解應(yīng)用．3．繼續(xù)加深理解五點法的應(yīng)用，特別是非正常周期的特殊點：端點和對應(yīng)五點.1.A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響(1)φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)圖象的影響(2)ω對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響(3)A對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響eq\x(狀元隨筆)(1)A越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與A是正比例關(guān)系．(2)ω越大，函數(shù)圖象的周期越小，ω越小，周期越大，周期與ω為反比例關(guān)系.(3)φ大于0時，函數(shù)圖象向左平移，φ小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“左加右減”．(4)由y＝sinx到y(tǒng)＝sin(x＋φ)的圖象變換稱為相位變換；由y＝sinx到y(tǒng)＝sinωx的圖象變換稱為周期變換；由y＝sinx到y(tǒng)＝Asinx的圖象變換稱為振幅變換．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各參數(shù)的物理意義3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有關(guān)性質(zhì)(1)定義域：R.(2)值域：[－A，A]．(3)周期性：T＝eq\f(2π,ω).(4)對稱性：對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))，對稱軸是直線x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)．(5)奇偶性：當(dāng)φ＝0時是奇函數(shù)．(6)單調(diào)性：通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間．eq\x(狀元隨筆)研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的基本策略(1)借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．(2)整體思想：研究當(dāng)x∈[α，β]時的函數(shù)的值域時，應(yīng)將ωx＋φ看作一個整體θ，利用x∈[α，β]求出θ的范圍，再結(jié)合y＝sinθ的圖象求值域．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位得到函數(shù)y＝sinx的圖象．()(2)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象上點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象．()(3)由函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象，需要將圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍．()答案：(1)×(2)×(3)√2．利用“五點法”作函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x，x∈[0,2π]的圖象時，所取的五點的橫坐標(biāo)為()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2πB．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)解析：令eq\f(1,2)x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.答案：C3．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))圖象的一條對稱軸方程為()A．x＝－eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,2)D．x＝π解析：對于函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，令x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求得x＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，可得它的圖象的一條對稱軸為x＝eq\f(π,4)，故選B.答案：B4．將函數(shù)y＝sin3x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標(biāo)不變)可得到函數(shù)________的圖象．解析：將函數(shù)y＝sin3x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標(biāo)不變)可得，函數(shù)y＝sin(3×3x)＝sin9x的圖象．答案：y＝sin9x類型一“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象例1用“五點法”畫函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的簡圖．【解析】先畫函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．令X＝3x＋eq\f(π,6)，則x＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X－\f(π,6)))，列表：X0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πx－eq\f(π,18)eq\f(π,9)eq\f(5,18)πeq\f(4,9)πeq\f(11,18)πy020－20描點作圖，再將圖象左右延伸即可．利用五點法作圖，先換元再列舉、描點，最后用平滑的曲線連線．方法歸納五點法作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)圖象的步驟．(1)列表，令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，依次得出相應(yīng)的(x，y)值．(2)描點．(3)連線得函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．(4)左右平移得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))).(1)試用“五點法”畫出它的圖象；(2)求它的振幅、周期和初相．解析：(1)令t＝eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)，列表如下：x－eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)t0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy020－20描點連線并向左右兩邊分別擴(kuò)展，得到如圖所示的函數(shù)圖象：(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相為eq\f(π,6).eq\x(換元)→eq\x(列表求值)→eq\x(描點畫圖)類型二三角函數(shù)的圖象變換例2由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換，可以得到函數(shù)y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖象．【解析】方法一y＝sinx的圖象eq\o(→,\s\up12(所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍),\s\do10(橫坐標(biāo)不變))y＝2sinx的圖象y＝－2sinx的圖象y＝－2sin2x的圖象y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象eq\o(→,\s\up12(向上平移1個單位長度))y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖象．方法二y＝sinx的圖象y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象eq\o(→,\s\up12(關(guān)于x軸作對稱變換))y＝－sin2x－eq\f(π,6)的圖象eq\o(→,\s\up12(各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍),\s\do10(橫坐標(biāo)不變))y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象eq\o(→,\s\up12(向上平移1個單位長度))y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的圖象.本題考查三角函數(shù)的圖象變換問題，可以從先“平移變換”或先“伸縮變換”兩種不同變換順序的角度去考慮，得到答案．方法歸納解決三角函數(shù)圖象變換問題的關(guān)鍵是明確左右平移的方向和平移量以及橫縱坐標(biāo)伸縮的量，在變換中平移變換與伸縮變換的順序不同得到解析式也不同，這點應(yīng)特別注意，否則就會出錯．跟蹤訓(xùn)練2由函數(shù)y＝cosx的圖象如何得到函數(shù)y＝－2cos2x＋eq\f(π,6)＋2的圖象．解析：y＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))＋2＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7,12)π))))＋2.方法一y＝cosxy＝cosx＋eq\f(7,6)πy＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7,6)π))eq\o(→,\s\up12(各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍),\s\do10(橫坐標(biāo)不變))y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7,6)π))y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7,6)π))＋2.方法二y＝cosxy＝cos2xy＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7,6)π))eq\o(→,\s\up12(各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍),\s\do10(橫坐標(biāo)不變))y＝2cos2x＋eq\f(7,6)πy＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7,6)π))＋2.一種方法是先平移，后伸縮；另一種方法是先伸縮，后平移．兩種變換方法中向右平移的單位長度是不同的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(7π,6)和\f(7π,12)))，但得到的結(jié)果是一致的．類型三三角函數(shù)解析式例3如圖所示，它是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的圖象，則該函數(shù)的解析式為________．【解析】解法一(單調(diào)性法)由圖象可知：A＝2，T＝eq\f(5π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝3π＝eq\f(2π,ω)，則ω＝eq\f(2,3).∵點(π，0)在遞減的那段圖象上，∴eq\f(2π,3)＋φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)，則由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，得eq\f(2π,3)＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)．∵－π<φ<π，∴φ＝eq\f(π,3).∴該函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法二(最值點法)由圖象可得T＝3π，A＝2，則ω＝eq\f(2,3)，將最高點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2))代入y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋φ))，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝2，∴eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．又－π<φ<π，∴φ＝eq\f(π,3).∴該函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法三(起始點法)由題圖得T＝3π，A＝2，故ω＝eq\f(2,3)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象一般由“五點法”作出，而起始點的橫坐標(biāo)x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始點的橫坐標(biāo)x0，就可以迅速求得角φ.由圖象求得ω＝eq\f(2,3)，x0＝－eq\f(π,2)，φ＝－ωx0＝－eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,3).∴該函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).解法四(圖象平移法)由圖象知，將函數(shù)y＝2sineq\f(2,3)x的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,2)個單位長度，就得到本題的圖象，故所求函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3))).【答案】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)))觀察圖象，求出A、ω、φ，解法一單調(diào)性法，解法二最值點法，解法三起始點法，解法四圖象平移法．方法歸納根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，一般先結(jié)合圖形求得振幅和周期，從而求得A，ω；再利用特殊點、零點或最值點列出關(guān)于φ的方程求出φ值，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的零點有上升零點和下降零點，一般取最靠近原點的上升零點x0，令ωx0＋φ＝2kπ；下降零點x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根據(jù)φ的范圍確定φ的值．特別注意，求φ值時最值點法優(yōu)先．跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，x∈R的部分圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的解析式為()A．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))B．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))C．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))D．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))解析：由圖象得A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，則ω＝1.將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入函數(shù)f(x)解析式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，因此函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).答案：B由圖可知A＝1，由周期可求ω，代入最值點可求φ.類型四函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則()A．f(x)的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(1,12)π對稱C．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函數(shù)D．f(x)的周期為eq\f(π,2)【解析】根據(jù)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)的部分圖象．可得A＝3，eq\f(T,2)＝eq\f(π,ω)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)，所以ω＝2，再根據(jù)五點法作圖可得2×eq\f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq\f(π,3)，所以y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，顯然，它的周期為eq\f(2π,2)＝π，故排除D；當(dāng)x＝eq\f(4π,3)時，函數(shù)y＝f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0，故函數(shù)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))對稱，故A正確．當(dāng)x＝－eq\f(1,12)π時，f(x)＝eq\f(3,2)，不是最值，故f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝－eq\f(1,12)π對稱，故排除B；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(2π,3)))，y＝3sin2x＋eq\f(π,3)不是增函數(shù)，故排除C.【答案】A求出函數(shù)的解析式，分別利用函數(shù)的對稱中心、對稱軸、單調(diào)性，周期的公式判斷．方法歸納1．與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．(2)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求y＝Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若ω<0，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．2．求三角函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx(或cosx)≤1)求解．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域、最值即可．求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．跟蹤訓(xùn)練4本例中，試求函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域．解析：因為y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，所以函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3)).由x的范圍求出ωx＋φ的范圍，最后求函數(shù)的值域．1.5[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期、振幅依次是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2解析：在y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，T＝eq\f(2π,ω)，A叫振幅(A>0)，故y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,5)))的周期T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，振幅為2.答案：B2．將函數(shù)y＝sin2x的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則()A．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,8)對稱B．f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)C．y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增解析：函數(shù)y＝sin2x的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得：y＝sinx，即f(x)＝sinx.根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可知：對稱軸x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以A不對．周期T＝2π，所以B不對．對稱中心坐標(biāo)為(kπ，0)，k∈Z，所以C不對．單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增．答案：D3．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是()A．y＝f(x)是奇函數(shù)B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對稱解析：函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度后，得到函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx的圖象，f(x)＝cosx為偶函數(shù)，周期為2π；又因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)＝0，所以f(x)＝cosx的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱；又由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0，知f(x)＝cosx的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對稱．故選D.答案：D4．已知ω>0,0<φ<π，直線x＝eq\f(π,4)和x＝eq\f(5π,4)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)解析：由題意得周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－\f(π,4)))＝2π，∴2π＝eq\f(2π,ω)，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝±1.∵0<φ<π，∴eq\f(π,4)<φ＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,4)，∴φ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).答案：A5．把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,6)))的周期擴(kuò)大為原來的2倍，再將其圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度，則所得圖象的解析式為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(3,2)x))B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)π－\f(3,2)x))D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－6x))解析：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,6)))eq\o(→,\s\up12(周期擴(kuò)大為),\s\do10(原來的2倍))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))eq\o(→,\s\up12(向右平移),\s\do10(\f(π,3)個單位長度))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋\f(2π,3))).答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，再向上平移2個單位，得到的圖象的解析式為________．解析：將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，得到的圖象的解析式為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，再向上平移2個單位，得到的圖象的解析式為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋2.答案：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋27．在函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一個周期上，當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，有最大值2，當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時，有最小值－2，則ω＝________.解析：依題意知eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝π，又T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2.答案：28．如圖所示的曲線是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的一部分，則這個函數(shù)的解析式是________．解析：由函數(shù)圖象可知A＝2，T＝eq\f(4,3)eq\f(5π,6)－eq\f(π,12)＝π，即eq\f(2π,ω)＝π，故ω＝2.又點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))是五點法作圖的最大值點，即2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，則φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.故所求函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).答案：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3))).(1)在給定的坐標(biāo)系內(nèi)，用“五點法”作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象；(2)寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．解析：(1)列表：eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(2π,3)eq\f(π,3)eq\f(4π,3)eq\f(7π,3)eq\f(10π,3)f(x)020－20作圖如圖．(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得4kπ－eq\f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(5π,3)，4kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.10．函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解析：方法一將函數(shù)y＝sinx的圖象依次進(jìn)行如下變換：(1)把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象；(2)把得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；(3)把得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的5倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；(4)把得到的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1的圖象．經(jīng)過上述變換，就得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1的圖象．方法二將函數(shù)y＝sinx的圖象依次進(jìn)行如下變換：(1)把函數(shù)y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sin2x的圖象；(2)把得到的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；(3)把得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的5倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；(4)把得到的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1的圖象．經(jīng)過上述變換，就得到函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1的圖象．[能力提升](20分鐘，40分)11．某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)的解析式可能是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－\f(2π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(3π,5)))D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))解析：eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12)，于是eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,3)，即ω＝eq\f(6,5)，排除A，D，不妨令該函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，由題圖知A＝1，最小值點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，－1))，于是eq\f(6,5)·eq\f(3π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(3π,5)(k∈Z)，所以φ可以是eq\f(3π,5)，故選C.答案：C12．已知函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對稱，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,14)))上單調(diào)遞增，則ω的最大值為________．解析：函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對稱，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,14)))上單調(diào)遞增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)ω＝kπ，k∈Z，,\f(π,14)ω≤\f(π,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝\f(3,2)k，k∈Z，,ω≤7，))ω的最大值為6.答案：613．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(5,4).(1)求f(x)的振幅、最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)求f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值集合．