層次分析法在評價指標權(quán)重時的應用

層次分析法在評價指標權(quán)重時的應用

1層次分析法中的專家判斷矩陣權(quán)重系數(shù)通常用于衡量類似度、效率評價和方案評價的元素、權(quán)重或貢獻。其確定方法很多,可以分為主觀定權(quán)法、客觀定權(quán)法,以及主客觀結(jié)合的定權(quán)法。主觀定權(quán)法在實際使用中有一定的優(yōu)點和適用范圍,而基于層次分析法、以九標度法構(gòu)建專家判斷矩陣,計算要素或指標權(quán)重是目前較為常用的一種主觀定權(quán)法。現(xiàn)有文獻資料對層次分析法中判斷矩陣各元素的取值有兩種定義:(1)所有元素根據(jù)下標代表的兩要素或指標直接比較取值;(2)直接比較得出第一行元素值后,通過給定的一致性條件間接計算出其他元素值。前者所得判斷矩陣若滿足后者所用的一致性條件,則稱該判斷矩陣為一致性矩陣;后者所得判斷矩陣必定為一致性矩陣。本文在簡要介紹層次分析法的基本思想、使用步驟和權(quán)重系數(shù)確定方法、判斷矩陣處理方法的基礎上,對應用層次分析法確定權(quán)重系數(shù)進行分析探討,對判斷矩陣滿足一致性條件的情況進行詳細分析與推導,得出有用結(jié)論。2基于層次分析法的權(quán)重系數(shù)確定方法2.1供給決策依據(jù)法層次分析法(Analytichierarchyprocess,簡稱AHP法)是美國運籌學專家T.L.Saaty教授于1970年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標決策分析方法,它能把定性因素定量化,從而使評價趨于定量化。它體現(xiàn)了人們決策的基本思維特征,即分解-判斷-綜合。該方法的核心是將決策者與專家的經(jīng)驗判斷給予量化,從而為決策者提供定量形式的決策依據(jù)。該方法在目標結(jié)構(gòu)復雜且缺乏必要數(shù)據(jù)的情況下較為實用。其基本思想是:首先按問題要求建立一個能描述系統(tǒng)功能或系統(tǒng)特征的內(nèi)部獨立有序的遞階層次結(jié)構(gòu),給出相應比例標度及定義;然后通過比較遞階層次結(jié)構(gòu)各層中兩兩元素的相對重要性,構(gòu)造上層某要素對下層相關(guān)元素的判斷矩陣;通過處理判斷矩陣,以獲得相關(guān)元素對上層某要素的相對重要程度序列,最后進行一致性檢驗。層次分析法的使用流程與步驟如圖1所示。2.2uij取值方法確定權(quán)重系數(shù)是度量系統(tǒng)或方案間相似度中的重要內(nèi)容,下面就以度量機械系統(tǒng)相似度為例,論述AHP法確定權(quán)重系數(shù)的使用方法。從客觀上說,相似機械系統(tǒng)中每一個由相似特征屬性構(gòu)成的相似元對系統(tǒng)的相似度量影響是不等同的。把相似元作為評估因素,建立評估因素集U={u1,u2,…,ui,…,uN}式中,ui∈U,(i=1,2,…,N)。設定uij表示ui對uj的相對重要性數(shù)值,其中j=1,2,…,N,uij的取值選擇常用的1~9標度方法,如表1所示。根據(jù)上述數(shù)值標度及定義,通過對評估因素集U中元素進行兩兩比較,構(gòu)造判斷矩陣P如下。在矩陣P中,顯然有:uij>0,uij=0,uij=1/uji,其中i,j=1,2,…,N。另外,對判斷矩陣P,若對任意i、j、k均有uij=uik×ukj,則稱該矩陣為一致性矩陣。應用層次分析法確定權(quán)重系數(shù)的問題,可歸結(jié)為判斷矩陣的特征向量和最大特征值計算問題。一般來說,計算判斷矩陣的最大特征值及對應的特征向量并不需要追求較高的精度,因為判斷矩陣本身有相當?shù)恼`差范圍,且應用層次分析法給出的層次中各因素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說只是表達某種定性概念。因此一般可用迭代法在計算機上求得近似的最大特征值及其對應的特征向量。主要方法有方根法、和法、特征根法、最小二乘法、冪法等。下面介紹其中兩種常用方法的計算步驟。2.2.1計算權(quán)重系數(shù)(1)計算判斷矩陣P每一行元素的乘積Mi(2)計算Mi的N次方根Wi(3)將向量歸一化則W=[W1,W2,…,Wn]T即為所求特征向量,其各元素即為權(quán)重系數(shù)。(4)計算判斷矩陣的最大特征值其中(PW)i表示向量PW的第i個元素。方根法是一種簡便易行的方法,可在精度要求不高的情況下使用。另外,由于在對復雜事物的各因素進行兩兩比較時做到完全一致的度量很困難,通常存在一定誤差,因此為提高權(quán)重評價的可靠性,需要對判斷矩陣作一致性檢驗。檢驗方法詳見和法。2.2.2判斷矩陣的一致性檢驗(1)將判斷矩陣每一列歸一化(3)對向量進行歸一化處理由上述步驟得到的特征向量β=(β1,β2,…,βn)即為各相似元的權(quán)重系數(shù)。該權(quán)重系數(shù)的合理性,可通過用下列指標檢驗矩陣P的一致性來判斷。引入一致性指標CI:CI=(λmax-N)/N-1其中λmax為矩陣P的最大特征值,N為P的階數(shù)。λmax的計算可參考方根法,或通過MATLAB軟件直接算出。對于多階判斷矩陣,即相似元很多的情況下,還需引入判斷矩陣的平均隨機一致性指標,記為RI,對于n=1,2,…,9階判斷矩陣的RI值如表2所示。則隨機一致性比率CR=CI/RI當CR<0.10時,便認為判斷矩陣具有滿意一致性,否則需要調(diào)整判斷矩陣,使其滿足CR<0.10,達到具有滿意的一致性為止。3致性檢驗判斷矩陣是層次分析法重要的信息載體,是層次分析法的信息基礎。判斷矩陣中的元素根據(jù)標度方法確定、應滿足標度定義。如果判斷矩陣不滿足一致性條件,則必須進行一致性檢驗。判斷矩陣滿足一致性條件的情況,分析推導如下。3.1判斷矩陣的一致性檢驗當判斷矩陣滿足一致性條件:uij=uik×ukj時,對于任意i,j,k,假設經(jīng)專家判斷后得知:相似元ui、uj、uk的相對重要性為ui>uj>uk,則當選取1~9標度法時應有:uik>ujk>1所以有uik/ujk>1。而ukj=1/ujk,所以判斷矩陣中任意uij=uik×ukj=uik/ujk>1,即相對重要性為ui>uj,所得結(jié)果與專家判斷結(jié)果一致。上述推理過程說明,當判斷矩陣滿足一致性條件時,矩陣中任意元素uij的取值所表示的相對重要性與初始的兩兩比較結(jié)果均一致。又由文獻可知,當判斷矩陣滿足一致性條件時該矩陣稱為正定互反矩陣,此時其最大特征根等于判斷矩陣維數(shù)N,即λmax=N。則由前述一致性檢驗方法可知,其一致性指標CI=0隨機一致性比率CR=0<0.10,判斷矩陣具有滿意一致性。因此,在判斷矩陣滿足一致性條件的情況下,該矩陣一定具有滿意一致性,不用再進行一致性檢驗。3.2和法計算權(quán)重系數(shù)對于判斷矩陣滿足一致性條件時所具有的另一結(jié)論,首先基于和法進行如下分析與推導。對于判斷矩陣P中任意一列構(gòu)成的列向量根據(jù)一致性條件uij=uik×ukj,取k=1時有:uij=ui1×u1j,代人Uj有Uj=(u11×u1j,u21×u1j,…,ui1×u1j,…,uN1×u1j)T=u1j×(u11,u21,…,ui1,…,uN1)Ti,j=1,2,…,N即與第一列成比例關(guān)系。不難由此擴展到對任意k=1,2,…,N均有如下關(guān)系即與第k列成比例關(guān)系。由此得出結(jié)論,當判斷矩陣滿足一致性條件uij=uik×ukj時,判斷矩陣各列間成比例關(guān)系。又由于和法計算權(quán)重系數(shù)的第一步為各列歸一化,而此時歸一化后各列顯然將完全相同,所以再經(jīng)過后續(xù)第二步、第三步處理后所得結(jié)果將與第一步所得各列完全相同。下面舉個簡單的例子來驗證該結(jié)論。在計算A、B、C三個要素的權(quán)重系數(shù)時,假設經(jīng)專家集體打分后得出結(jié)論:A比B稍微重要,A比C極端重要,B比C稍微重要,則根據(jù)常用的1~9標度方法構(gòu)造判斷矩陣如下顯然該判斷矩陣滿足一致性條件。那么按照和法的操作步驟,首先將各列歸一化后得如下結(jié)果可見歸一化后各列元素即已完全相同,若再經(jīng)過后續(xù)第二步、第三步處理,所得結(jié)果顯然仍為第一步處理后各列結(jié)果。由此驗證了前述結(jié)論。應用方根法對前面的簡單實例進行計算如下:(1)計算判斷矩陣P每一行元素的乘積Mi,得M=[2711/27]T;則W=[9/133/131/13]T即為所求各相似元權(quán)重系數(shù)。與和法具有相同結(jié)果。3.3致性條件當判斷矩陣滿足一致性條件時,該矩陣一定具有滿意一致性,不用再進行一致性檢驗;此時最終所得權(quán)重系數(shù)為判斷矩陣任意一列元素歸一化所得結(jié)果,該結(jié)果已經(jīng)由任一元素與其他所有元素的比較結(jié)果完全確定。當判斷矩陣滿足一致性條件時,相當于只比較了第一個要素與其他要素的相對重要性,即按給定標度方法確定了判斷矩陣第一行的值,然后通過一致性條件計算出其他要素的相對重要性數(shù)值,最終得出整個判斷矩陣。此一致性條件相當于其他要素間相對重要性的比例傳遞關(guān)系。滿足該條件的判斷矩陣所表現(xiàn)的各要素間的相對重要性一定具有完全的一致性。4確定判斷矩陣的位置在用層次分析法確定評價指標權(quán)重系數(shù)時,判斷矩陣的各元素值通過專家對評價指標進行兩兩比較確定。雖然專家的經(jīng)驗比較豐富、認識較為深刻,但這種主觀判斷在評價指標較多時仍難以保證邏輯上的一致性。比如說在對A、B、C三個指標的權(quán)重打分時,先得出A的權(quán)重大于B、B的權(quán)重大于C,而后在比較A與C的權(quán)重時,若得出C的權(quán)重大于A,結(jié)果顯然不符合邏輯一致性,然而這種情況在評價的指標較多時又較容易出現(xiàn),因此需要進行一致性檢驗。針對上述問題,考慮專家打分的評判本身具有非精確性和主觀性,提出重要性大小在各評價指標間成比例傳遞的假設,從而將兩兩比較的過程簡化:在將第一個指標與其他指標作比較之后,通過一致性條件計算判斷矩陣其他元素的值。由前面的分析與推導可知,以此方式求得的判斷矩陣為一致性判斷矩陣,后續(xù)不用再進行一致性檢驗,且最終所得權(quán)重系數(shù)即為判斷矩陣任意一列元素歸一化所得結(jié)果。例如,某機構(gòu)在評價大學畢業(yè)生的綜合素質(zhì)時,選擇了德、智、體、美、勞五個傳統(tǒng)指標,并請相關(guān)專家對五個指標在綜合素質(zhì)評價中所占權(quán)重進行了初步打分如下:下一步只需根據(jù)一致性條件uij=uik×ukj求出P的上三角中其余元素即可。具體計算如下:將所求得的值帶入P中,再根據(jù)判斷矩陣為正互反矩陣的基本性質(zhì)可得結(jié)果如下:按照和法將P每一列歸一化得:可見歸一化后各列元素即已完全相同,再次驗證了前述結(jié)論。因此最終所得各評價指標的權(quán)重系數(shù)為5歸一化所得結(jié)果本文在對層次分析法進行分析推導后得出兩條結(jié)論:(1)判斷矩陣滿足一致性條件時,該矩陣一定具有滿意一致