層次分析法在評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重時(shí)的應(yīng)用

層次分析法在評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重時(shí)的應(yīng)用

1層次分析法中的專家判斷矩陣權(quán)重系數(shù)通常用于衡量類似度、效率評(píng)價(jià)和方案評(píng)價(jià)的元素、權(quán)重或貢獻(xiàn)。其確定方法很多,可以分為主觀定權(quán)法、客觀定權(quán)法,以及主客觀結(jié)合的定權(quán)法。主觀定權(quán)法在實(shí)際使用中有一定的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍,而基于層次分析法、以九標(biāo)度法構(gòu)建專家判斷矩陣,計(jì)算要素或指標(biāo)權(quán)重是目前較為常用的一種主觀定權(quán)法?，F(xiàn)有文獻(xiàn)資料對(duì)層次分析法中判斷矩陣各元素的取值有兩種定義:(1)所有元素根據(jù)下標(biāo)代表的兩要素或指標(biāo)直接比較取值;(2)直接比較得出第一行元素值后,通過(guò)給定的一致性條件間接計(jì)算出其他元素值。前者所得判斷矩陣若滿足后者所用的一致性條件,則稱該判斷矩陣為一致性矩陣;后者所得判斷矩陣必定為一致性矩陣。本文在簡(jiǎn)要介紹層次分析法的基本思想、使用步驟和權(quán)重系數(shù)確定方法、判斷矩陣處理方法的基礎(chǔ)上,對(duì)應(yīng)用層次分析法確定權(quán)重系數(shù)進(jìn)行分析探討,對(duì)判斷矩陣滿足一致性條件的情況進(jìn)行詳細(xì)分析與推導(dǎo),得出有用結(jié)論。2基于層次分析法的權(quán)重系數(shù)確定方法2.1供給決策依據(jù)法層次分析法(Analytichierarchyprocess,簡(jiǎn)稱AHP法)是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)專家T.L.Saaty教授于1970年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法,它能把定性因素定量化,從而使評(píng)價(jià)趨于定量化。它體現(xiàn)了人們決策的基本思維特征,即分解-判斷-綜合。該方法的核心是將決策者與專家的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化,從而為決策者提供定量形式的決策依據(jù)。該方法在目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要數(shù)據(jù)的情況下較為實(shí)用。其基本思想是:首先按問(wèn)題要求建立一個(gè)能描述系統(tǒng)功能或系統(tǒng)特征的內(nèi)部獨(dú)立有序的遞階層次結(jié)構(gòu),給出相應(yīng)比例標(biāo)度及定義;然后通過(guò)比較遞階層次結(jié)構(gòu)各層中兩兩元素的相對(duì)重要性,構(gòu)造上層某要素對(duì)下層相關(guān)元素的判斷矩陣;通過(guò)處理判斷矩陣,以獲得相關(guān)元素對(duì)上層某要素的相對(duì)重要程度序列,最后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。層次分析法的使用流程與步驟如圖1所示。2.2uij取值方法確定權(quán)重系數(shù)是度量系統(tǒng)或方案間相似度中的重要內(nèi)容,下面就以度量機(jī)械系統(tǒng)相似度為例,論述AHP法確定權(quán)重系數(shù)的使用方法。從客觀上說(shuō),相似機(jī)械系統(tǒng)中每一個(gè)由相似特征屬性構(gòu)成的相似元對(duì)系統(tǒng)的相似度量影響是不等同的。把相似元作為評(píng)估因素,建立評(píng)估因素集U={u1,u2,…,ui,…,uN}式中,ui∈U,(i=1,2,…,N)。設(shè)定uij表示ui對(duì)uj的相對(duì)重要性數(shù)值,其中j=1,2,…,N,uij的取值選擇常用的1~9標(biāo)度方法,如表1所示。根據(jù)上述數(shù)值標(biāo)度及定義,通過(guò)對(duì)評(píng)估因素集U中元素進(jìn)行兩兩比較,構(gòu)造判斷矩陣P如下。在矩陣P中,顯然有:uij>0,uij=0,uij=1/uji,其中i,j=1,2,…,N。另外,對(duì)判斷矩陣P,若對(duì)任意i、j、k均有uij=uik×ukj,則稱該矩陣為一致性矩陣。應(yīng)用層次分析法確定權(quán)重系數(shù)的問(wèn)題,可歸結(jié)為判斷矩陣的特征向量和最大特征值計(jì)算問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō),計(jì)算判斷矩陣的最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量并不需要追求較高的精度,因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧碛邢喈?dāng)?shù)恼`差范圍,且應(yīng)用層次分析法給出的層次中各因素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)只是表達(dá)某種定性概念。因此一般可用迭代法在計(jì)算機(jī)上求得近似的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。主要方法有方根法、和法、特征根法、最小二乘法、冪法等。下面介紹其中兩種常用方法的計(jì)算步驟。2.2.1計(jì)算權(quán)重系數(shù)(1)計(jì)算判斷矩陣P每一行元素的乘積Mi(2)計(jì)算Mi的N次方根Wi(3)將向量歸一化則W=[W1,W2,…,Wn]T即為所求特征向量,其各元素即為權(quán)重系數(shù)。(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征值其中(PW)i表示向量PW的第i個(gè)元素。方根法是一種簡(jiǎn)便易行的方法,可在精度要求不高的情況下使用。另外,由于在對(duì)復(fù)雜事物的各因素進(jìn)行兩兩比較時(shí)做到完全一致的度量很困難,通常存在一定誤差,因此為提高權(quán)重評(píng)價(jià)的可靠性,需要對(duì)判斷矩陣作一致性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)方法詳見(jiàn)和法。2.2.2判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)(1)將判斷矩陣每一列歸一化(3)對(duì)向量進(jìn)行歸一化處理由上述步驟得到的特征向量β=(β1,β2,…,βn)即為各相似元的權(quán)重系數(shù)。該權(quán)重系數(shù)的合理性,可通過(guò)用下列指標(biāo)檢驗(yàn)矩陣P的一致性來(lái)判斷。引入一致性指標(biāo)CI:CI=(λmax-N)/N-1其中λmax為矩陣P的最大特征值,N為P的階數(shù)。λmax的計(jì)算可參考方根法,或通過(guò)MATLAB軟件直接算出。對(duì)于多階判斷矩陣,即相似元很多的情況下,還需引入判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo),記為RI,對(duì)于n=1,2,…,9階判斷矩陣的RI值如表2所示。則隨機(jī)一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.10時(shí),便認(rèn)為判斷矩陣具有滿意一致性,否則需要調(diào)整判斷矩陣,使其滿足CR<0.10,達(dá)到具有滿意的一致性為止。3致性檢驗(yàn)判斷矩陣是層次分析法重要的信息載體,是層次分析法的信息基礎(chǔ)。判斷矩陣中的元素根據(jù)標(biāo)度方法確定、應(yīng)滿足標(biāo)度定義。如果判斷矩陣不滿足一致性條件,則必須進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。判斷矩陣滿足一致性條件的情況,分析推導(dǎo)如下。3.1判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件:uij=uik×ukj時(shí),對(duì)于任意i,j,k,假設(shè)經(jīng)專家判斷后得知:相似元ui、uj、uk的相對(duì)重要性為ui>uj>uk,則當(dāng)選取1~9標(biāo)度法時(shí)應(yīng)有:uik>ujk>1所以有uik/ujk>1。而ukj=1/ujk,所以判斷矩陣中任意uij=uik×ukj=uik/ujk>1,即相對(duì)重要性為ui>uj,所得結(jié)果與專家判斷結(jié)果一致。上述推理過(guò)程說(shuō)明,當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí),矩陣中任意元素uij的取值所表示的相對(duì)重要性與初始的兩兩比較結(jié)果均一致。又由文獻(xiàn)可知,當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí)該矩陣稱為正定互反矩陣,此時(shí)其最大特征根等于判斷矩陣維數(shù)N,即λmax=N。則由前述一致性檢驗(yàn)方法可知,其一致性指標(biāo)CI=0隨機(jī)一致性比率CR=0<0.10,判斷矩陣具有滿意一致性。因此,在判斷矩陣滿足一致性條件的情況下,該矩陣一定具有滿意一致性,不用再進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。3.2和法計(jì)算權(quán)重系數(shù)對(duì)于判斷矩陣滿足一致性條件時(shí)所具有的另一結(jié)論,首先基于和法進(jìn)行如下分析與推導(dǎo)。對(duì)于判斷矩陣P中任意一列構(gòu)成的列向量根據(jù)一致性條件uij=uik×ukj,取k=1時(shí)有:uij=ui1×u1j,代人Uj有Uj=(u11×u1j,u21×u1j,…,ui1×u1j,…,uN1×u1j)T=u1j×(u11,u21,…,ui1,…,uN1)Ti,j=1,2,…,N即與第一列成比例關(guān)系。不難由此擴(kuò)展到對(duì)任意k=1,2,…,N均有如下關(guān)系即與第k列成比例關(guān)系。由此得出結(jié)論,當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件uij=uik×ukj時(shí),判斷矩陣各列間成比例關(guān)系。又由于和法計(jì)算權(quán)重系數(shù)的第一步為各列歸一化,而此時(shí)歸一化后各列顯然將完全相同,所以再經(jīng)過(guò)后續(xù)第二步、第三步處理后所得結(jié)果將與第一步所得各列完全相同。下面舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)驗(yàn)證該結(jié)論。在計(jì)算A、B、C三個(gè)要素的權(quán)重系數(shù)時(shí),假設(shè)經(jīng)專家集體打分后得出結(jié)論:A比B稍微重要,A比C極端重要,B比C稍微重要,則根據(jù)常用的1~9標(biāo)度方法構(gòu)造判斷矩陣如下顯然該判斷矩陣滿足一致性條件。那么按照和法的操作步驟,首先將各列歸一化后得如下結(jié)果可見(jiàn)歸一化后各列元素即已完全相同,若再經(jīng)過(guò)后續(xù)第二步、第三步處理,所得結(jié)果顯然仍為第一步處理后各列結(jié)果。由此驗(yàn)證了前述結(jié)論。應(yīng)用方根法對(duì)前面的簡(jiǎn)單實(shí)例進(jìn)行計(jì)算如下:(1)計(jì)算判斷矩陣P每一行元素的乘積Mi,得M=[2711/27]T;則W=[9/133/131/13]T即為所求各相似元權(quán)重系數(shù)。與和法具有相同結(jié)果。3.3致性條件當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí),該矩陣一定具有滿意一致性,不用再進(jìn)行一致性檢驗(yàn);此時(shí)最終所得權(quán)重系數(shù)為判斷矩陣任意一列元素歸一化所得結(jié)果,該結(jié)果已經(jīng)由任一元素與其他所有元素的比較結(jié)果完全確定。當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí),相當(dāng)于只比較了第一個(gè)要素與其他要素的相對(duì)重要性,即按給定標(biāo)度方法確定了判斷矩陣第一行的值,然后通過(guò)一致性條件計(jì)算出其他要素的相對(duì)重要性數(shù)值,最終得出整個(gè)判斷矩陣。此一致性條件相當(dāng)于其他要素間相對(duì)重要性的比例傳遞關(guān)系。滿足該條件的判斷矩陣所表現(xiàn)的各要素間的相對(duì)重要性一定具有完全的一致性。4確定判斷矩陣的位置在用層次分析法確定評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重系數(shù)時(shí),判斷矩陣的各元素值通過(guò)專家對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較確定。雖然專家的經(jīng)驗(yàn)比較豐富、認(rèn)識(shí)較為深刻,但這種主觀判斷在評(píng)價(jià)指標(biāo)較多時(shí)仍難以保證邏輯上的一致性。比如說(shuō)在對(duì)A、B、C三個(gè)指標(biāo)的權(quán)重打分時(shí),先得出A的權(quán)重大于B、B的權(quán)重大于C,而后在比較A與C的權(quán)重時(shí),若得出C的權(quán)重大于A,結(jié)果顯然不符合邏輯一致性,然而這種情況在評(píng)價(jià)的指標(biāo)較多時(shí)又較容易出現(xiàn),因此需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。針對(duì)上述問(wèn)題,考慮專家打分的評(píng)判本身具有非精確性和主觀性,提出重要性大小在各評(píng)價(jià)指標(biāo)間成比例傳遞的假設(shè),從而將兩兩比較的過(guò)程簡(jiǎn)化:在將第一個(gè)指標(biāo)與其他指標(biāo)作比較之后,通過(guò)一致性條件計(jì)算判斷矩陣其他元素的值。由前面的分析與推導(dǎo)可知,以此方式求得的判斷矩陣為一致性判斷矩陣,后續(xù)不用再進(jìn)行一致性檢驗(yàn),且最終所得權(quán)重系數(shù)即為判斷矩陣任意一列元素歸一化所得結(jié)果。例如,某機(jī)構(gòu)在評(píng)價(jià)大學(xué)畢業(yè)生的綜合素質(zhì)時(shí),選擇了德、智、體、美、勞五個(gè)傳統(tǒng)指標(biāo),并請(qǐng)相關(guān)專家對(duì)五個(gè)指標(biāo)在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)中所占權(quán)重進(jìn)行了初步打分如下:下一步只需根據(jù)一致性條件uij=uik×ukj求出P的上三角中其余元素即可。具體計(jì)算如下:將所求得的值帶入P中,再根據(jù)判斷矩陣為正互反矩陣的基本性質(zhì)可得結(jié)果如下:按照和法將P每一列歸一化得:可見(jiàn)歸一化后各列元素即已完全相同,再次驗(yàn)證了前述結(jié)論。因此最終所得各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)為5歸一化所得結(jié)果本文在對(duì)層次分析法進(jìn)行分析推導(dǎo)后得出兩條結(jié)論:(1)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí),該矩陣一定具有滿意一致