2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點知識梳理4.6解直角三角形及其應(yīng)用

4.6解直角三角形及其應(yīng)用◎利用相似的直角三角形,探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值.◎會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.◎能用銳角三角函數(shù)解直角三角形,能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.◎在平面上,能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置.近幾年的安徽中考每年都考查解直角三角形的應(yīng)用,但難度起伏不大,正確地理解銳角三角函數(shù)的定義,構(gòu)造直角三角形和利用直角三角形的邊角關(guān)系是解題的前提.命題點1解直角三角形[僅2012年考查]1.(2012·安徽第19題)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23.求AB的長.解:過點C作CD⊥AB于點D.在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=23,∴CD=AC·sinA=23×AD=AC·cosA=23×3在Rt△BCD中,∠B=45°,∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3+3.命題點2解直角三角形的實際應(yīng)用[必考]2.(2021·安徽第17題)學(xué)生到工廠勞動實踐,學(xué)習(xí)制作機械零件.零件的截面如圖陰影部分所示,已知四邊形AEFD為矩形,點B,C分別在EF,DF上,∠ABC=90°,∠BAD=53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面積.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)解:由題意知AD∥EF,故∠ABE=∠BAD=53°.又∠ABC=90°,所以∠BCF=∠ABE=53°.在Rt△ABE中,AE=AB·sin∠ABE=10sin53°≈8,BE=AB·cos∠ABE=10cos53°≈6.在Rt△BCF中,BF=BC·sin∠BCF=6sin53°≈4.8,CF=BC·cos∠BCF=6cos53°≈3.6.又EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以四邊形ABCD的面積=AE·EF－12AE·BE-12BF·CF=8×10答:零件的截面面積約為53.76cm2.3.(2020·安徽第18題)如圖,山頂上有一個信號塔AC,已知信號塔高AC=15米,在山腳下點B處測得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔頂A的仰角∠ABD=42.0°.求山高CD.(點A,C,D在同一條豎直線上,參考數(shù)據(jù):tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90)解:在Rt△ABD與Rt△CBD中,AD=BD·tan∠ABD≈0.9BD,CD=BD·tan∠CBD≈0.75BD,于是AC=AD－CD=0.15BD.因為AC=15米,所以BD=100米,所以山高CD=0.75BD=75米.改編題匯英中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度,在小山的山頂上有一個高度為10米的5G信號發(fā)射塔AB,如圖所示.在山腳平地上的D處測得塔底B的仰角為30°,向小山前進40米到達點E處,測得塔頂A的仰角為60°,求小山BC的高度.(結(jié)果精確到0.1米,3≈1.73)解:設(shè)BC=x,則AC=10+x.由題可知∠AEC=60°,∠D=30°,DE=40.在Rt△DBC中,DC=BCtanD∴CE=DC－DE=3x－40.在Rt△ACE中,tan∠AEC=ACCE解得x=5+203≈39.6.經(jīng)檢驗,x=5+203是原分式方程的解.答:小山BC的高度約為39.6米.4.(2017·安徽第17題)如圖,游客在點A處坐纜車出發(fā),沿A—B—D的路線可至山頂D處.假設(shè)AB和BD都是直線段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的長.(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,2≈1.41)解:在Rt△ABC中,∵AB=600m,∠ABC=75°,∴BC=AB·cos75°≈600×0.26=156(m).在Rt△BDF中,∵∠DBF=45°,∴DF=BD·sin45°=600×22≈300×1.41=423(m)∵四邊形BCEF是矩形,∴EF=BC=156m,∴DE=DF+EF=423+156=579(m).答:DE的長約為579m.5.(2015·安徽第18題)如圖,平臺AB高為12m,在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°,底部點C的俯角為30°,求樓房CD的高度.(3≈1.7)解:過點B作BE⊥CD于點E,∴CE=AB=12.在Rt△BCE中,BE=CEtan在Rt△BDE中,DE=BE·tan∠DBE=123·∴CD=CE+DE=12+123≈32.4(m).答:樓房CD的高度約為32.4m.6.(2014·安徽第18題)如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通,其中AB段與高速公路l1成30°角,長為20km;BC段與AB,CD段都垂直,長為10km;CD段長為30km,求兩高速公路間的距離.(結(jié)果保留根號)解:如圖,過點A作AB的垂線交DC的延長線于點E,過點E作l1的垂線與l1,l2分別交于點H,F,則HF⊥l2.由題意知AB⊥BC,BC⊥CD,又AE⊥AB,∴四邊形ABCE為矩形,∴AE=BC,AB=EC,∴DE=DC+CE=DC+AB=50.∵AB與l1成30°角,∠EDF=30°,∴∠EAH=60°.在Rt△DEF中,EF=DE·sin30°=50×12在Rt△AEH中,EH=AE·sin60°=10×32∴HF=EF+EH=(25+53)km.答:兩高速公路間的距離為(25+53)km.解

直

角

三

角

形

及

其

應(yīng)

用銳角

三角

函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義正弦:sinA=∠余弦:cosA=∠A的鄰邊斜邊=AC正切:tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=BC特殊角的三角函數(shù)值α三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°sinα12③

32cosα④

3221tanα3⑤1

3三角函數(shù)值的變化規(guī)律(1)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系:(1)sinα=cos⑥(90°-α);(2)cosα=sin⑦(90°-α)

拓展知識sin2α+cos2α=1.解

直

角

三

角

形

及

其

應(yīng)

用解直角

三角形直角三角形的邊角關(guān)系三邊的關(guān)系:⑧a2+b2=c2

三角的關(guān)系:∠A+∠B=∠C=90°邊角關(guān)系:sinA=cosB=ac,cosA=sinB=bc,tanA解直角三角形

的類型及解法已知條件圖形解法已知一條直角邊和一個銳角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=asinA,b=atanA(或已知斜邊和一個銳角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=⑨c·cosA(或b=c2-已知兩條直角邊(a,b)c=a2+b2,由tanA=ab求∠A,∠B已知斜邊和一條直角邊(c,a)b=c2-a2,由sinA=ac求∠A,∠B應(yīng)用概念定義圖形仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫做仰角,視線在水平線⑩下方的角叫做俯角

坡度(坡比)、坡角坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比,叫做坡度(或坡比),用字母i表示;坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作α,所以有i=tanα=

hl方向角一般是指以觀測者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角),通常表達成北(南)偏東(西)××度;方向角的角度值的范圍是0°~90°;如圖,點A,B,C關(guān)于O點的方向角分別是北偏東30°,南偏東60°,北偏西45°

考點1三角函數(shù)的定義典例1在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=12,則sinB=.

【解析】∵∠C=90°,tanA=12【答案】2提分1如圖,在5×4的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,那么sin∠ACB的值為(D)A.355 B.175 C.3【解析】過點A作AD⊥BC于點D.由圖可得AD=4,CD=3.在Rt△ACD中,AC=AD考點2解直角三角形典例2(2021·上海)如圖,在△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=45,BF為AD邊上的中線.(1)求AC的長;(2)求tan∠FBD的值.【答案】(1)∵cos∠ABC=BCAB=4∴AB=10.∵AC⊥BD,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AC=AB2(2)連接CF,過點F作FE⊥BD,垂足為E.∵BF為AD邊上的中線,即F為AD的中點,∴EF是△ACD的中位線,∴EF=12AC∴tan∠FBD=FEBE求銳角三角函數(shù)值的前提是構(gòu)造直角三角形,欲求一個銳角的正切值,一種辦法是以這個銳角為內(nèi)角直接構(gòu)造直角三角形,把所求的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成直角三角形邊的比;另一種辦法是利用“等角的三角函數(shù)值相等”,求它的等角的三角函數(shù)值.提分2如圖,在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34(1)求邊AC的長;(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求ADDB的值解:(1)過點A作AE⊥BC,交BC于點E.在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=3∴AE=3,BE=4,∴CE=BC－BE=5－4=1.在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理,得AC=32(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊BC交于點F,連接CD.∵DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=52∵tan∠DBF=DFBF在Rt△BFD中,根據(jù)勾股定理,得BD=52∴AD=5－258考點3解直角三角形的實際應(yīng)用典例3(2021·四川自貢)在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中,小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處的俯角是53°,從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°,綜合樓高24米.請你幫小明求出辦公樓的高度.(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):tan37°≈0.75,tan53°≈1.33,3≈1.73)【答案】由題意可知AB=24,∠BDA=53°,∴tan∠BDA=ABAD=24AD≈1.33,∴AD≈∵tan30°=CDAD∴CD=18.05×33≈10.4(米)答:辦公樓的高度約為10.4米.典例4(2021·遼寧營口)小張早起在一條東西走向的筆直馬路上晨跑,他在A處時,D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向,當小張沿正東方向跑了600m到達B處時,E處圖書館在他的北偏東15°方向,然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑600m到達C處,此時D處學(xué)校在他的北偏西63.4°方向,求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin63.4°≈0.9,cos63.4°≈0.4,tan63.4°≈2.0,2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4)【答案】過點D作DM⊥AC于點M,過點B作BN⊥AE于點N.設(shè)MD=x,在Rt△ADM中,∠MAD=45°,∴△ADM是等腰直角三角形,∴AM=MD=x,∴AD=2x.在Rt△CDM中,∠MDC=63.4°,∴MC=DM·tan∠MDC≈2x.∵AC=600+600=1200,∴x+2x=1200,解得x=400,∴MD=400,∴AD=2MD∵∠EAB=45°,∠EBC=75°,∴∠E=30°.在Rt△ABN中,∠NAB=45°,AB=600,∴BN=AN=22∴DN=AD－AN=4002-300在Rt△NBE中,∠E=30°,∴NE=3BN∴DE=NE－DN=3006-1002≈答:D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離約為580m.1.明確仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角的意義.2.根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.在作輔助線時,應(yīng)注意:(1)不過特殊角(包括給了三角函數(shù)值的角)的頂點向其他邊作高,即不破壞特殊角原則;(2)常見的輔助線有下面幾種情況,如圖所示;(3)對于不易直接利用三角函數(shù)計算的問題,要有建立方程解決問題的意識.提分3(2021·湖北黃岡)如圖,建筑物BC上有一高為8m的旗桿AB,從D處觀測旗桿頂部A的仰角為53°,觀測旗桿底部B的仰角為45°,則建筑物BC的高約為24.2m.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

【解析】在Rt△BCD中,∠BDC=45°,∴BC=CD.設(shè)BC=CD=x,∴AC=x+8,在Rt△ACD中,tan∠ADC=ACCD=x+8x,∴x+8=x·tan53°,解得x≈24.2.故建筑物BC提分4(2020·重慶B卷改編)如圖,垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊點B處,某測量員從山腳點C出發(fā)沿水平方向前行78米到點D(點A,B,C在同一條直線上),再沿斜坡DE方向前行78米到點E(點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)),在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°,懸崖BC的高為144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,求信號塔AB的高度.(參考數(shù)據(jù):sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0