2021-2022學(xué)年河北省唐山市遵化一中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知小鳥是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，戶是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且歸國(guó)＞|尸耳橢圓的離心率為雙曲線

的離心率為02,若|尸耳|=|耳聞，則2+半的最小值為（

)

e\3

A.6+273B.6+2&C.8D.6

4

2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）

（If

A.2zB.-2zC.2D.-2

3.一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將該正方體繞下底面

（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）

A.1B.0C.百D.272

4.已知.f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(x+4)=/(x),當(dāng)xe(0⑵時(shí)，f(x)=2x2,貝！|K3)=()

A.-18B.18C.-2D.2

5.設(shè)函數(shù)g(x)=e'+(l—G)x—a(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-%)+/(x)=x2,

且當(dāng)時(shí)，f\x）＜x.若存在+—+且為為函數(shù)y=g（x）—x的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為（）

、&

A.生+8B.(五,+oo)C.fV^,4-oo)D.——,+00

22

77

6.點(diǎn)。在AABC所在的平面內(nèi)，|明=|礪|=|反I，|雨=2,|尼卜1,而=4而+〃/(Z/zeR),且

/、IUUHi

42-M=2(MHO),則|8C|=()

7V7

A.-B.—C.7D.Jr7

32

V2r2、1r22

7.設(shè)雙曲線號(hào)—*=1（a>0,。>0）的一條漸近線與拋物線y=f+§有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓'+六=1

的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.匚片=1B.r_r=ic.蘭一￡=iD.二一H=i

43432332

8.設(shè)全集U=R，集合M={x|x<l},N={x|x>2},則（d"）cN=（）

A.{x|x>2}B.{x|x>l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>2}

9.給出50個(gè)數(shù)1,2,4,7,lb???,其規(guī)律是：第1個(gè)數(shù)是1,第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)

大2,第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3,以此類推，要計(jì)算這50個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問(wèn)題算法的程序框圖如圖，請(qǐng)?jiān)趫D

中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語(yǔ)句，使之能完成該題算法功能（）

A.i<50；P=P+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；p=p+lD.i<5()；p=p+l

10.在AABC中，。為BC中點(diǎn)，且荏=；而，若月+〃/,貝！M+〃=()

11.已知i（l一切）=2+6G為虛數(shù)單位，a,beR）,則好等于（）

11

A.2B.-2C.—D.-----

22

12.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

13.在矩形ABC。中，BC=4,M為8C的中點(diǎn)，將AABM和△OCM分別沿AM,DM翻折，使點(diǎn)3與。重合

于點(diǎn)P.若NAPA150。，則三棱錐M-的外接球的表面積為.

14.某次足球比賽中，A，B,C,。四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中，A對(duì)陣C，8對(duì)陣。，獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決

賽爭(zhēng)奪冠軍，失利的兩隊(duì)爭(zhēng)奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.

ABCD

A獲勝概率—0.40.30.8

3獲勝概率0.6—0.70.5

C獲勝概率0.70.3—0.3

。獲勝概率0.20.50.7—

則A隊(duì)獲得冠軍的概率為.

15.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,

要求每天消耗4B原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤(rùn)是_________元.

16.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為________人.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知直線y=x-l是曲線/(x)=alnx的切線.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式,

(2)若，K3-41n2,證明:對(duì)于任意/〃>0,〃(x)=+/(%)+/有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

x=2+cos0

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線/的參數(shù)方程為〈6,e(。為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn),

y=J3+2J3cos2-

X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4si〃a

(1)求曲線c的普通方程;

(2)求曲線/和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ox,aeR,awO.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)/(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn)再，X2(X,<X2).

(i)求a的取值范圍;

(血)求證隨著強(qiáng)的增大而增大.

x\

20.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，橢圓。的焦點(diǎn)為月(-6,0),工(6,0),加為橢圓。上任意一點(diǎn)，且

|岬|+|加■閭=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵若直線/：y=丘+袱左>0,m>0)交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，且滿足磕?分別為直線

PQ,OP,OQ的斜率)，求\OPQ的面積為走時(shí)直線PQ的方程.

2

22

21.(12分)已知橢圓E:\+方=l(a>0>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(一1,0)、耳(1,0),點(diǎn)P在橢圓E上,

P鳥J_f；居且歸耳|=3|「閭.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)設(shè)直線/:x=J孫+1(〃2￡R)與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與圓爐+/二片相交于。、。兩點(diǎn),求恒郎|8『

的取值范圍.

22.(10分)［選修4.5：不等式選講］

設(shè)函數(shù)/(x)=U+l|.

(1)求不等式./■(?<5-/(萬(wàn)-3)的解集；

(2)已知關(guān)于x的不等式2/(x)+|x+a區(qū)x+4在上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

3%

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn)二力結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為"，半焦距為c,

則q=￡,4=三,設(shè)居|=加

aa

由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:

歸用+歸國(guó)=2ana=3+c,\PF^-\PF^2a'a!

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.

2.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

442i?

-----7==—T=2z.

(1-z)2-2z-z2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，由此得到結(jié)論.

【詳解】

正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為20，又水的體積是正方體體積的一半，

且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，

所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，

即最大水面高度為故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

由題設(shè)條件〃x+4)=/(x),可得函數(shù)的周期是4,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將“3)轉(zhuǎn)化為/⑴函數(shù)值，即可

得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，J.(x+4)=〃x),則函數(shù)“X)的周期是4，

所以，/(3)=/(3—4)=/(—1),

又函數(shù)”X)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(O,2)時(shí)，/(月=2/,

所以，/(3)=/(-1)=一/.⑴=—2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的周期性，由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)T(x)=/(x)-耳/，由題意判斷出函數(shù)T(x)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)T(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求

出結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)T(x)=〃x)—

因?yàn)椤癟)+/(%)=/,

11

所以T(*)+7'(_*)=/(司―/彳2+/(_*)_5(_*)9-=/(》)+/(_*)_犬2=0,

所以T(尤)為奇函數(shù)，

當(dāng)xWO時(shí)，T'(x)=/'(x)-x<0,所以T(x)在(F,0］上單調(diào)遞減,

所以T(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇嬖谂cx/(x)+^->/(l-x)+xj,

所以/(%)+(2/(1_40)+X0，

所以++："(1-％)+：(1-入0)-+叫

化簡(jiǎn)得T(x0)27(1_4)，

所以玉)41一天)，即/43

令力(x)=g(<x)-x=ex

因?yàn)檠?為函數(shù)y=g(x)-尤的一個(gè)零點(diǎn)，

所以〃(X)在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)

因?yàn)楫?dāng)XV；時(shí),〃，(￡)="—五<1—&=()，

所以函數(shù)〃(力在xK；時(shí)單調(diào)遞減，

a_1

由選項(xiàng)知?！?,一

a

又因?yàn)椤?ea-\[e\—

a=e>09

所以要使力⑴在X45時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

只需使=W0,解得日,

所以a的取值范圍為，故選D.

.7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，難度較大.

6.D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡(jiǎn)得到4=工，/J=~,再根據(jù)前=恁-而計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由阿=|阿=|因可知，點(diǎn)。為AABC外心,

■.1-----?2■?1------*2]--------------------

則A8A0=-4B=2,ACAO=-AC=-,又AO=/L45+〃AC,

222

AOAB^AAB2+^AC-AB^4A+^AC-AB^2,

所以____________________2____.___.JCD

AOAC=4ABAC+〃4C=AAB-AC+

因?yàn)?彳一〃=2,②

54______________

聯(lián)立方程①②可得幾=工，〃=7，ABAC=-1＞因?yàn)榍?恁一通,

63

所以團(tuán)2=/？+通2-2而?南=7,即|配1=4.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

7.B

【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=近，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=(),求出上的值，得到，的值，求出。力關(guān)系，進(jìn)而判

b

9y2

斷a/大小,結(jié)合橢圓5+=1的焦距為2,即可求出結(jié)論.

a~F

【詳解】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y="，

代入拋物線方程得f—乙+g=o,

42

依題意△=-3=0#=土耳，

---^=,a=-^h>b,

by/3

22_______

...橢圓0+}=1的焦距2行萬(wàn)=2，

—b2-b2=-b2=\,b2=3,Q2=4,

33

2)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕-工=1.

43

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.

8.A

【解析】

先求出Q,.M,再與集合N求交集.

【詳解】

由已知，^,M=[x\x>l},又N={x|x>2},所以dMcN={x|x>2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.

9.A

【解析】

要計(jì)算這50個(gè)數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語(yǔ)句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語(yǔ)句②.

【詳解】

因?yàn)橛?jì)算這50個(gè)數(shù)的和，循環(huán)變量i的初值為1,所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1,故判斷語(yǔ)句①應(yīng)為i=i+l,第1個(gè)數(shù)是1,第2

個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2,第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3,這樣可以確定語(yǔ)句②為〃=〃+"故本題

選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.

10.B

【解析】

選取向量通，/為基底，由向量線性運(yùn)算，求出屁，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=^AD-AB,AD=^(AB+AC),

：.BE=-^AB+^AC=AAB+^iAC,

0512

..71=---9U,——f../I+〃=----.

663

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.

【詳解】

/(I—ai)=2+hi9

:.a+i=2+bi,得Q=2,b=1.

:.ab=2?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角，其體積是正方體體積的！，剩余部分體積是正方體體積的工,所以截

66

去部分體積與剩余部分體積的比值為工，故選D.

5

考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.68萬(wàn).

【解析】

計(jì)算外接圓的半徑廣，并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過(guò)外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)

（PMV

加_1面24。，/?2=—+/即可得解.

I2）

【詳解】

由題意可知，MPA.PA,MPLPD,PDcPA=P,

所以可得PM，面PAD，

設(shè)AADP外接圓的半徑為r,

AD

由正弦定理可得2r,即-------〃=4,

sinZAPDsin150°

設(shè)三棱錐M-24。外接球的半徑R,

因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^(guò)底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，

CPM￥

則4=—+,=1+16=17,

I2）

所以外接球的表面積為S=4%R2=68乃.

故答案為：68萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.0.18

【解析】

根據(jù)表中信息，可得A勝C的概率；分類討論B或D進(jìn)入決賽，再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.

【詳解】

由表中信息可知，A勝C的概率為0.3；

若B進(jìn)入決賽，B勝D的概率為0.5,則A勝B的概率為0.5x04=0.2；

若D進(jìn)入決賽，D勝B的概率為().5,則A勝D的概率為0.5x0.8=0.4；

由相應(yīng)的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為P=0.3x(O.5xO.4+().5x0.8)=0.18.

故答案為：0.18

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用，互斥事件的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.1元

設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為X桶，丁桶，利潤(rùn)為z元

x+2y<12

則根據(jù)題意可得《2x+y<12

x,y>0且x,yeN

目標(biāo)函數(shù)z=30()x+400y,作出可行域，如圖所示

作直線L：3x+4y=0,然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y的截距最大，此時(shí)z最大,

尤+2y=12x=4

可得《，即A(4,4)

2%+y=l2y=4

此時(shí)z最大z=300x4+400x4=2800,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1.

【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是

解決本題的關(guān)鍵.

16.42

【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)抽取的樣本為〃，

45+5+4

則由題意得不=~—,解得“=42.

12n

故答案為：42

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)/(x)=lnx(2)證明見解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并設(shè)切點(diǎn)發(fā)(不，%)，利用點(diǎn)既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得與=。=1，即可得答

案；

(2)當(dāng)x充分小時(shí)〃(x)<0,當(dāng)x充分大時(shí)/x)>0,可得以x)至少有一個(gè)零點(diǎn).再證明零點(diǎn)的唯一性，即對(duì)函數(shù)

求導(dǎo)得〃(幻=吁*(9，對(duì)機(jī)分〃2寸和0<“<焉兩種情況討論，即可得答案.

【詳解】

(1)根據(jù)題意，f\x)=-,設(shè)直線y=x-l與曲線/(x)=alnx相切于點(diǎn)用(毛,%).

X

9=1

根據(jù)題意，可得彳小,解之得，%=。=1,

aInx0=x0-1

所以/(x)=lnx.

(2)由(1)可知/?(x)=&+ln尤+*x>0),

則當(dāng)x充分小時(shí)/x)<0,當(dāng)x充分大時(shí)依x)>0,.??〃(、至少有一個(gè)零點(diǎn).

111<1if

Vh\x)------尸+m=mK—r=——

X2yjx16yy/x4,

①若加》上,貝!J"(x)20,以X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn).

16

②若0<〃2<,令/i'(x)=(3-L+m--=0,得〃(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

161Jx4J16

/、11

<%2)，％,/.0<X)<16.

.?./7。)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(斗,馬)上單調(diào)遞減，在(％，+00)上單調(diào)遞增?

嘉+ln%+r.=_"一i+inx1+r，又

.,.極大值為Mx)=…+In玉+，=

，㈤“出+；=茅〉。，

...〃(%)在(0,16)上單調(diào)遞增,

/./?(%))<7?(16)=lnl6—3+Z<lnl6—3+3-41n2=0,

:.h(x)有唯一零點(diǎn).

綜上可知，對(duì)于任意m>0,力(x)=nu-J7+/(%)+/有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論

思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用.

18.(1)x2+(y—2)2=4(2)(2-^/3,—).

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式X=pcos0,y=psin0求解.

(2)先把兩個(gè)方程均化為普通方程，求解公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)即可.

【詳解】

(1)?.,曲線C的極坐標(biāo)方程為O=4sin(9,

p~-4/7sin0,J?!)x2+y2=4y,

即f+(y—2)2=4.

a

x=2+cos2a-2cos2—+1

⑵v2

y=6+2Gcos2—->/3(2cos2—+1)

、22

:.y=6x>x>1

聯(lián)立/+(y_2)2=4可得Y+3d=4瓜，

x=0(舍)或*=百，

公共點(diǎn)(6,3),化為極坐標(biāo)(2百，1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點(diǎn)的求解，熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點(diǎn)問(wèn)題一

般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

19.(1)見解析；(2)G)(?)證明見解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)r(x)=,—〃=匕竺,xe(0,+8),分類討論即可求解；

XX

(2)(0結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍；3)設(shè)，=2>1,通過(guò)轉(zhuǎn)化

玉

ln(x,x2)=lnx1討論函數(shù)的單調(diào)性得證.

【詳解】

(1)因?yàn)?(x)=lnx-ox,所以r(x)='-a=i_—(0,+<?)

XX

當(dāng)。<0時(shí)，尸(幻>。在(0,+8)上恒成立，所以/(幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)4>0時(shí)，/'(幻>0的解集為/'(》)<0的解集為(：,+8),

所以/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(o,：),/(幻的單調(diào)減區(qū)間為+00)；

(2)(I)由(1)可知，當(dāng)。<0時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，當(dāng)4>0時(shí)，因?yàn)閒(x)有

兩個(gè)零點(diǎn)，所以/(尤)1^=/(，〕=心2一1>0,解得0<“<!，因?yàn)?(1)=一。<0,且1<，，所以存在履€[,21

\ajaea\ci)

使得/(F)=o，又因?yàn)?一：=_21na_：,設(shè)g(a)=_21na_：(q,則

g'(a)=4+4=上孚>0,所以g(a)單調(diào)遞增，所以g(a)<gj，]=2-e<0,即/(與)<0,因?yàn)?/p>

aaayeJ\ajaa

所以存在￡€(：，，■)，使得/(%)=0,綜上，ae(0,J]；Gi)因?yàn)镮n%-叫=lnx2-ax2=0,=,

因?yàn)?,所以衛(wèi)>1,設(shè)，=2>1,則々=枕]，所以生”=見2,解得111%=生匚所以

王玉x}x2tx}r-1

iiHnr~ii(r+l)ln/…八(z+l)lnr.、

lnx=InXj4-lnz=---,所以ln(%元2)=皿玉+I11X2=--------，設(shè)〃(，)=---------z(Z>1),m貝l!!

2t—1，一1t—1

lnf+T卜T)T，+Dlnf

Z21n?

-；~,設(shè)“⑺=」-21nf(f>l),則

〃'(r)=

("1)2(—)2t

〃'(f)=l+；—：=包產(chǎn)>0,所以，⑺單調(diào)遞增，所以，⑺>“6=0,所以H(/)>0,即“(/)>0,所以力⑺

單調(diào)遞增，即In(玉與)隨著三=/的增大而增大，所以王々隨著強(qiáng)的增大而增大，命題得證.

x\x\

【點(diǎn)睛】

此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化證明與零點(diǎn)相關(guān)的命

題.

20.(1)—+y2=1(2)y=-x+^-y=-x+-^-

4-22-22

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義求得。力,得橢圓方程;

y=kx+m

⑵設(shè)P(3,yJ,。(孫冉)，由”得(1+4左2)》2+8初六+4加2_4=0,應(yīng)用韋達(dá)定理得3+X2,X1X2,

—+/=1

I4一

代入已知條件可得々=g,再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|PQ|,原點(diǎn)。到直線PQ的距離d,得三角

形面積，從而可求得〃?，得直線方程.

【詳解】

解：(D據(jù)題意設(shè)橢圓C的方程為三+￡=1(4>〃>

3=4

則<c=G

c2=a2+〃

a=2,h2—1

橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+V=1.

4-

y=kx-\-m

⑵據(jù)尤2得(1+4AI%?+8/7nx+4加2-4=0

彳+)=1

64公療—4(1+4巧(4加2—4)>0

m2<4公+1

4m2-4

設(shè)「（不兇），。（工2，%），

1+4/

X|x2

1

.'.(AXj+m)(^x2+m)=kxxx2

1.mk(X[+/)+4=o

*+病=0

1+4/

又：Z〉0,加〉0

；.k=L

2

i------I-------；------4、/(1+/)(4公+1-/

：.\PQ\=y/l+k2-，(內(nèi)+々)--4九也=-------—^72------

1十4K

原點(diǎn)。到直線PQ的距離d

2帆12-M

5*閘*4