高三數(shù)學立體幾何

高三數(shù)學第一輪復習第九章立體幾何2021/5/911.1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體:對于空間的物體,如果只考慮它的的形狀、大小和位置，而不考慮物體的其他性質(zhì),從中抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體2021/5/921.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征多面體的定義：(1)定義:由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體(2)多面體的面：多面體的棱：多面體的頂點：多面體的對角線：圍成多面體的各個多邊形兩個面的公共邊棱和棱的公共點不在同一面上的兩個頂點的連線段(3)多面體的分類:四面體多面體五面體六面體……2021/5/93柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征DABCEFF’A’E’D’B’C’棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球結(jié)構(gòu)特征

有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行。側(cè)棱側(cè)面底面頂點2021/5/94棱柱(分類)ABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1

E1ABCABCDE2021/5/95柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球SABCD頂點側(cè)面?zhèn)壤獾酌娼Y(jié)構(gòu)特征

有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形。首頁2021/5/96柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球結(jié)構(gòu)特征ABCDA’B’C’D’用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分是棱臺.首頁2021/5/97B’柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球AA’OBO’軸底面?zhèn)让婺妇€結(jié)構(gòu)特征

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱。首頁2021/5/98柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球S頂點ABO底面軸側(cè)面母線結(jié)構(gòu)特征

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。首頁2021/5/99柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球結(jié)構(gòu)特征OO’用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分是圓臺.首頁2021/5/910柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球結(jié)構(gòu)特征O半徑球心

以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體.2021/5/911柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐圓柱圓錐圓臺棱臺球（1）棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體。（2）棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。旋轉(zhuǎn)體（2）棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體。多面體2021/5/912畫直觀圖的方法：斜二側(cè)法1、畫水平放置的正六邊形的直觀圖.ADEBFCMOxyN2021/5/913規(guī)則：（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半（2）已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于或軸軸的線段；（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應的軸和軸,兩軸相交于O,且使,它們確定的平面表示水平面；2021/5/9142、畫水平放置的圓的直觀圖.COxyDABEFGH2021/5/9153、畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體的直觀圖.NMPQADCA1BB1C1D12021/5/916規(guī)則：（1）在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸ox、oy,再取oz軸，使∠xoy=450，且∠xoz=900

；（4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半（2）畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸，使所確定的平面表示水平平面；（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸軸或軸的線段；2021/5/9174、已知幾何體的三視圖如下，畫出它的直觀圖.O..pO..p.正視圖側(cè)視圖俯視圖.p..2021/5/918練習1.對幾何體三視圖，下列說法正確的是：（）A.正視圖反映物體的長和寬B.俯視圖反映物體的長和高C.側(cè)視圖反映物體的高和寬D.正視圖反映物體的高和寬C2.若某幾何體有一種視圖為圓，那么這個幾何體可能是

____________球2021/5/919側(cè)視圖俯視圖正視圖2021/5/920側(cè)視圖俯視圖正視圖2021/5/921三視圖主視圖——從正面看到的圖左視圖——從左面看到的圖俯視圖——從上面看到的圖畫物體的三視圖時,要符合如下原則:位置：主視圖

左視圖

俯視圖大?。洪L對正,高平齊,寬相等.挑戰(zhàn)“自我”,提高畫三視圖的能力.2021/5/922練習1

正方體ABCD—A1B1C1D1，E是BB1上的點。畫出平面AEC1和平面ABCD的交線。

一、平面的基本性質(zhì)

如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．

公理1用來判定一條直線是否在平面內(nèi),或直線上的點是否在平面內(nèi)。D1B1A1C1CADBEF作用2021/5/923

如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．

公理21、用來判定兩平面是否相交；2、畫兩個相交平面的交線；即:

3、證明多點共線.練習2：已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延長線分別與平面α交于點M、N、P三點，求證：M、N、P三點共線。BACMNP作用2021/5/9241、確定平面2、證明點、線共面。ACB公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。作用推論1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。LABC推論2.兩條相交直線唯一確定一個平面。推論3.兩條平行直線唯一確定一個平面。2021/5/925二、空間兩直線的位置關(guān)系平行相交異面共面（兩直線沒有公共點）（兩直線只有一個公共點）（兩直線沒有公共點）

不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（也就是既不相交又不平行的兩條直線）1、異面直線2021/5/926如圖：已知E,F分別是所在棱的中點D1B1A1C1CADBOD1B1A1C1CADBEFEFAE和BF是異面直線嗎?AE和CF是異面直線嗎?2021/5/9272.異面直線的畫法:通常用一個或兩個平面來襯托異面直線不同在任何一個平面的特點2021/5/928θa′θ如圖所示,a、b

是兩條異面直線,在空間中任選一點O，過O點分別作a、b的平行線a′和b′,則a′和b′所成的銳角θ,（或直角），稱為異面直線a，b所成的角,也叫異面直線a，b

的夾角。aba′b′O

若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。異面直線a與b垂直也記作a⊥b異面直線所成角θ的取值范圍：

平移3.異面直線成的角:O2021/5/9294.求異面直線所成的角:求兩條異面直線所成角的步驟:1.選點,引平行線找到所求的角;2.把該角放入三角形;3.根據(jù)邊角關(guān)系計算,求角.例1.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是BB1,CC1的中點，求AE,BF所成的角FD1B1A1C1CADBE2021/5/930例2：已知正方體的棱長為a,M為AB的中點,N為BB1的中點，求A1M與C1N所成角的余弦值。解：如圖，取A1B1的中點E,連BE,有BE∥A1M取CC1的中點G，連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a，GE=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5在△EBG中A1D1C1B1ABCDMNEG2021/5/931探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對?相交直線有幾對?平行直線有幾對?2021/5/932若a∥b，b∥c,公理4

平行于同一直線的兩直線互相平行則a∥c5.平行關(guān)系的傳遞性例1：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線AB與C1D1

，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？C1ABCDA1B1D12021/5/933例2已知ABCD是四個頂點不在同一個平面內(nèi)的空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，求證EFGH是一個平行四邊形。AB

DEFGHC解題思想：把所要解的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題是解立體幾何時最主要、最常用的一種方法。2021/5/9346.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。D1B1A1C1CADB

右圖平行六面體中與∠BAD相等的角是哪些角,為什么?與∠BAD互補的角是哪些,為什么?2021/5/935填空：1、空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有________、________、________三種。2、沒有公共點的兩條直線可能是________直線，也有可能是

________直線。3、和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條的位置關(guān)系有______________。4、過已知直線上一點可以作______條直線與已知直線垂直。5

、過已知直線外一點可以作______條直線與已知直線垂直。平行相交異面平行異面無數(shù)無數(shù)相交、異面2021/5/9361、分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線。()2、空間兩條不相交的直線一定是異面直線。()3、垂直于同一條直線的兩條直線必平行。()4、若一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，則它一定與另一條直線垂直。

()

判斷對錯：2021/5/937D1B1A1C1CADBD1B1A1C1CADBD1B1A1C1CADB2021/5/938三、直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理1.直線和平面的位置關(guān)系有哪些？（1）直線在平面內(nèi)：（2）直線與平面相交：（3）直線與平面平行：2021/5/9392.直線和平面平行的判定定理：練習1

判斷下列說法是否正確：（2）若直線a//b，a//c

，且，則

（1）若直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，則a

與平面平行（3）若兩條平行直線中的一條與平面平行，則另一條也與平面平行如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(“線線平行，線面平行”）2021/5/940D1B1A1C1CADB（2）若G為DD1中點，試判斷BD1與平面AGC位置關(guān)系.例題.在正方體中，（1）若E、F

分別為A1D1、AB的中點，求證：EF//平面BB1D1D；D1B1A1C1CADB證明直線與平面平行的方法是什么?思考1.在平面內(nèi)尋找一條直線

2.證明這條直線與已知直線平行.2021/5/9413.直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交,那么這條直線與交線平行.

(線面平行，線線平行）練習:2021/5/942如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。2.直線和平面垂直的判定定理：線不在多，重在相交！如果一條直線與一個平面內(nèi)任何一條直線都垂直，我們就說這條直線與這個平面相互垂直。1.直線和平面垂直的定義：四.直線和平面垂直的判定和性質(zhì)2021/5/943判斷對錯

？3.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：性質(zhì)1如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線垂直于平面的任意一條直線.性質(zhì)2如果兩條平行線中的一條與平面垂直,那么另一條也與這個平面垂直.2021/5/944線線垂直—線面垂直—線線垂直常用方法例2.在正方體AC1中，取DD1的中點E，AC和BD交于O點。

求證：OB1⊥面EACBAA1DCC1B1D1OE2021/5/9454.三垂線定理：正射影自一點P向平面引垂線,垂足Q叫做點P在平面上的正射影.(簡稱射影)PQ如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F1,則F1叫做圖形F在這個平面內(nèi)的射影.FF1O三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.PA2021/5/946三垂線定理的逆定理OPA在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直.練習1.如圖為矩形,由三垂線定理可得到哪些線是垂直的?2021/5/947ABCDOEFG2.四面體ABCD中，ABDCADBC，求證：ACBDPABCD3.直角三角形ABC中，角C為直角，AC=2，BC=，PC平面BCD，PC=3。求點P到直線AB的距離。2021/5/948五.兩個平面平行的判定和性質(zhì)1.空間兩個平面的位置關(guān)系兩個平面平行兩個平面相交2.兩個平面平行的判定定理如果一個平面的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。2021/5/9493.兩個平面平行的性質(zhì)定理1.如果兩個平行平面和第三個平面都相交,那么交線互相平行2.如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面。2021/5/950六.兩個平面垂直的判定和性質(zhì)1.兩個平面垂直的定義(1)二面角平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分,其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,每個半平面叫做二面角的面.如圖,二面角及表示方法.

lAB

ABCD二面角C－AB－D二面角

－AB－

二面角2021/5/951(2)二面角的平面角二面角的大小用它的平面角來度量注意：二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)4）二面角的范圍是以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)兩個平面垂直的定義:如果兩個平面所成的二面角是直二面角,那么就稱這兩個平面互相垂直.2021/5/952101.利用定義.A(4)二面角的平面角的作法3.作棱的垂面.2.利用三垂線定理及其逆定理.2021/5/953練習：作出下列各圖中的二面角的平面角：BACD二面角B—B1C—A

OEO二面角A--BC--D二面角C--AD--E四棱錐中D1B1A1C1CADB2021/5/954OABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO

∴∴所求的二面角P-AB-C

的正切值為例1．如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值?！唷螾EO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE由三垂線定理知PE⊥ABE解：EOP∴

OE⊥AB，做證指求答2021/5/9553.兩個平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面2.兩個平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.2021/5/956七.空間向量.1.空間向量及運算.1.在空間,我們把具有大小和方向的量叫做向量.2.空間向量也用有向線段表示,并且同向且等長的

有向線段表示同一個向量.4.平行于同一個平面的向量叫做共面向量.3.在空間,如果表示向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量.5.共線向量定理:對空間任意兩個向量和,的充要條件是存在實數(shù),使.6.共面向量定理:如果兩個向量和不共線,則向量與向量

,共面的充要條件是存在實數(shù)

,使.2021/5/9577.空間一點P與不共線的三點A、B、C共面的充要條件是:對任意一點O，有:()ABCPO8.空間向量基本定理:如果三個向量不共線,那么對空間任一向量,存在一個唯一的有序數(shù)組,使

叫空間向量的一個基底,都叫做基向量.2021/5/9589.空間向量的數(shù)量積(1)(2)(3)(4)性質(zhì)2021/5/9592.空間向量的坐標運算.1.設為兩兩垂直的單位向量,如果,則叫做向量的坐標,也叫做點的坐標.2.則2021/5/9603.空間向量在解題中的作用(1)證明線線平行,線面平行,線線垂直,線面垂直.(2)求線線角,線面角,面面角.2021/5/961八.直線與平面成的角.1.平面的斜線和平面成的角OABC平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影成的角,是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角.定義:一個平面的斜線和它在這個平面內(nèi)的射影的夾角,叫做斜線和平面所成的角.如果直線和平面垂直那么就說直線和平面所成的角是直角.如果直線和平面平行或在平面內(nèi),就說直線和平面所成的角是00的角.由此得2021/5/9621.直線AB與直二面角的兩個半平面分別交于A、B兩點,且A,B,畫出直線AB與和所成的角,并討論的取值范圍.練習:A． B． C． D．2．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）2021/5/